【正文】 ijXX XXnnn n n? ??? ?????? ??21122 ( 1 )nnn n n??????? ???11 1nnn?? ? ?所以 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 75頁 相關系數(shù) 定義 稱 Corr(X, Y) = 為 X 與 Y 的 相關系數(shù) . C o v ( , )V a r ( ) V a r ( )XYXY第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 76頁 若記 注 意 點 ** , ( ) ( )V a r ( ) V a r ( )XYX E X Y E YXY????則 **C o r r ( , ) C o v ( , )X Y X Y?第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 77頁 相關系數(shù)的性質(zhì) (1) (1) 施瓦茨不等式 { Cov(X, Y) }2 ? Var(X)Var(Y). 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 78頁 相關系數(shù)的性質(zhì) (2) (2) ?1 ? Corr(X, Y) ? 1. (3) Corr(X, Y) = ?1 X 與 Y 幾乎處處有線性關系。 (性質(zhì) ) ? (性質(zhì) ) P(Y=aX+b)=1 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 79頁 Corr(X, Y) 的大小反映了 X與 Y之間的線性關系： 注 意 點 ? Corr(X, Y) 接近于 1， X 與 Y 間 正相關 . ? Corr(X, Y) 接近于 ?1， X 與 Y 間 負相關 . ? Corr(X, Y) 接近于 0， X 與 Y 間 不相關 . 沒有線性關系 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 80頁 例 設 (X, Y) 的聯(lián)合分 布列為 X ?1 0 1 Y ?1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 求 X, Y 的相關系數(shù) . 解 : () i i jijE X x p? ??() i j i jijE X Y x y p? ??= 0 同理 22()i i jijE X x p? ??= 3/4 E(Y) = E(X) = 0 另一方面 = 1/8?1/8?1/8+1/8 = 0 所以 Cov(X, Y) 即 Corr(X, Y) = 0 E(Y2) = E(X2) = 3/4 = E(XY)?E(X)E(Y) = 0 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 81頁 例 (X, Y) ~ p(x, y) = 1( ) , 0 2 , 0 280 x y x y? ? ? ? ? ????? 其 它求 X, Y 的相關系數(shù) 解 : ( ) ( )E X E Y?? 22001 ( ) d d8x x y x y???= 7/6 22 2001 ( ) d d8x x y x y???= 5/3 22( ) ( )E X E Y??所以 , Var(X) = Var(Y) = 11/36 ()E X Y ? 22001 ( ) d d8x y x y x y???= 4/3 4 / 3 7 / 6 7 / 6C o rr ( , )1 1 / 3 6XY??? 111??第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 82頁 二維正態(tài)分布的特征數(shù) 122212( , ) ~ ( , , , ),X Y N ? ? ? ? ?(1) X ~ N( ?1, ?12), Y~ N( ?2, ?22)。 (3) X, Y 獨立 ? = 0. (2) 參數(shù) ? 為 X 和 Y 的相關系數(shù) 。 (4) 不相關與獨立等價 . 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 83頁 隨機向量的數(shù)學期望與協(xié)方差陣 定義 記 稱 12( , , , ) 39。nX X X X?， 則 12( ) ( ( ) , ( ) , , ( ) ) 39。nE X E X E X E X?1 1 2 12 1 2 212Var ( ) C o v ( , ) C o v ( , )C o v ( , ) Var ( ) C o v ( , )C o v ( , ) C o v ( , ) Var ( )nnn n nX X X X XX X X X XX X X X X????????為 X 的協(xié)方差陣，記為 C o v ( ), X 或 ?第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 84頁 定理 協(xié)方差陣對稱、非負定 . 協(xié)方差陣的性質(zhì) 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 85頁 稱 注 意 點 11 12 121 22 212......... ... ... ......nnn n nnR? ? ?? ? ?? ? ??????????為 X 的 相關矩陣 . 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 86頁 課堂練習 1 設 X ~ N(0, 1), Y ~ N(0, 1), Var(X?Y) = 0, 求 (X, Y) 的協(xié)差陣 ? . 1111????????第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 87頁 課堂練習 2 設 X, Y 的協(xié)差陣為 1 1 / 31 / 3 1R ??? ????94 ,4 16????????求相關陣 R. 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 88頁 對二維隨機變量 (X, Y), ? 在給定 Y取某個值的條件下 , X的分布 。 ? 在給定 X取某個值的條件下 , Y的分布 . 167。 條件分布與條件期望 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 89頁 (1) 條件分布列 ： 條件分布 | ( | )iji j i jjp P X x Y y pp?? ? ? ?(2) 條件密度函數(shù) ： ( | ) ( , )()p x y p x ypy?第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 90頁 (3) 條件分布函數(shù) ： ( , )()( | )( | )( | ) diixxxx p t ypyP X x Y yF x yp t y d t t?? ? ? ?? ????? ?? ??????第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 91頁 條件數(shù)學期望 定義 ( | )( | )( | ) diiix P X x Y yE X Y yx p x y x???? ????? ?????第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 92頁 E(X| Y=y) 是 y 的函數(shù) . 注 意 點 所以記 g(y) = E(X| Y=y). 進一步記 g(Y) = E(X| Y). 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學 20 August 2022 第 93頁 重期望公式 定理 ( ) ( ( | ) )E X E E X Y?