【正文】 協(xié)方差 定義 稱 Cov(X, Y) = E[X?E(X)][Y?E(Y)] 為 X 與 Y 的 協(xié)方差 . 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 69頁 協(xié)方差的性質(zhì) (4) Cov(X, Y) = Cov(Y, X). (性質(zhì) ) (1) Cov(X, Y) = E(XY) ? E(X)E(Y). (性質(zhì) ) (2) 若 X 與 Y 獨立，則 Cov(X, Y) = 0. (性質(zhì) ) (6) Cov(aX, bY) = abCov(X, Y) . (性質(zhì) ) (3) Var(X?Y) = Var(X)+ Var (Y) ? 2 Cov(X, Y) (性質(zhì) ) (5) Cov(X, a) = 0. (性質(zhì) ) (7) Cov(X+Y, Z) = Cov(X, Z) + Cov(Y, Z). (性質(zhì) ) 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 70頁 課堂練習(xí) 1 X 與 Y 獨立， Var(X) = 6， Var(Y) = 3， 則 Var(2X?Y) = ( ). 27 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 71頁 課堂練習(xí) 2 X ~ P(2)， Y ~ N(?2, 4)， X與 Y獨立， 則 E( X?Y) = ( )。 多維隨機變量函數(shù)的分布 問題： 已知二維隨機變量 (X, Y) 的分布， 如何求出 Z=g (X, Y)的分布？ 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 44頁 (1) 設(shè) (X1, X2, ……, Xn) 是 n維離散隨機變量， 則 Z = g(X1, ……, Xn) 是 一 維離散隨機變量 . 多維離散隨機變量函數(shù)的分布 (2) 多維離散隨機變量函數(shù)的分布是容易求的： i) 對 (X1, X2, ……, Xn)的各種可能取值對， 寫出 Z 相應(yīng)的取值 . ii) 對 Z的 相同的取值，合并其對應(yīng)的概率 . 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 45頁 最大值與最小值分布 例 設(shè) X與 Y 獨立，且 X, Y 等可能地取值 0 和 1. 求 Z = max(X, Y) 的分布列 . 解 : X 0 1 P 1/2 1/2 Y 0 1 P 1/2 1/2 Z = max(X, Y) 的取值為 : 0, 1 P(Z=0) = P(X=0, Y=0) = P(X=0)P(Y=0) =1/4 P(Z=1) = P(X=0, Y=1) + P(X=1, Y=0) + P(X=1, Y=1) = 3/4 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 46頁 設(shè) X1, X2, …… Xn, 獨立同分布，其分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為 FX(x) 和 pX(x). 一般情況 若記 Y = max (X1, X2, …… Xn), Z = min (X1, X2, …… Xn) 則 Y 的分布函數(shù)為 : FY (y) = [FX(y)]n Y 的密度函數(shù)為 : pY(y) = n[FX(y)]n?1 pX(y) Z 的分布函數(shù)為 : FZ(z) = 1?[1? FX(z)]n Z 的密度函數(shù)為 : pZ(z) = n[1? FX(z)]n?1 pX(z) 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 47頁 連續(xù)場合的 卷積公式 定理 設(shè)連續(xù)隨機變量 X與 Y 獨立， 則 Z=X+ Y 的密度函數(shù)為 ( ) ( ) ( ) d = ( ) ( ) dZ X YXYp z p x p z x xp z y p y y???????????第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 48頁 離散場合的 卷積公式 設(shè)離散隨機變量 X 與 Y 獨立， 則 Z=X+ Y 的分布列為 11) ( ) ( ) ( ) ( )( = l i l iil j jjP X x P Y z xP X z y P Y yP Z z????? ? ? ?? ? ?? ??第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 49頁 卷積公式的應(yīng)用 例 X與 Y 是獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變 量，求 Z = X+ Y 的分布 . ( ) ( ) ( ) dZ X Yp z p x p z x x??????解： 221 1 ( )e x p e x p22dx z x x????? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??21e x p2222z? ? ?????????所以 Z = X+ Y ? N(0, 2). 進一步的結(jié)論見后 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 50頁 分布的可加性 若同一類分布的獨立隨機變量和的分布仍是此類分布，則稱此類分布具有 可加性 . 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 51頁 二項分布的可加性 若 X ? b(n1, p)， Y ? b(n2, p)， 注意： 若 Xi ? b(1, p)，且獨立，則 Z = X1 + X2 + …… + Xn ? b(n, p). 且獨立， 則 Z = X+ Y ? b(n1+n2, p). 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 52頁 泊松分布的可加性 若 X ? P(?1) ， Y ? P(?2)， 注意： X ?Y 不服從泊松分布 . 且獨立， 則 Z = X+ Y ? P(?1+?2). 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 53頁 正態(tài)分布的可加性 若 X ? N( )， Y ? N( ) ， 注意： X ?Y 不服從 N( ). 且獨立， 則 Z = X ? Y ? N( ). X ?Y ? N( ). 獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量 . (見下 ) 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 54頁 獨立正態(tài)變量的線性組合仍為正態(tài)變量 Xi ~ N(?i, ?i2), i =1, 2, ... n. 且 Xi 間相互獨立 , 實數(shù) a1, a2, ..., an 不全為零 , 則 22111 , ~ i i inniiiniiiaaa X N ??????????????第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 55頁 伽瑪分布的可加性 若 X ? Ga(?1, ?)， Y ? Ga(?2, ?) ， 注意： X ?Y 不服從 Ga(?1??2, ? ). 且獨立， 則 Z = X + Y ? Ga(?1+?2, ? ). 第三章 多維隨機變量及其分布 華東師范大學(xué) 20 August 2022 第 56頁 ?2 分布的可加性 若 X ? ?2( n1 )， Y ? ?2( n2 ) ， 注意： (1) X ?Y 不服從 ?2 分布 . 且獨立， 則 Z = X + Y ? ?2( n1+n2). (2) 若 Xi ? N(0, 1)，且獨立，則 Z = ? ?2( n ). 第三章 多維隨機變量及其分布