北師大版高二數(shù)學(xué)正弦定理教案-資料下載頁(yè)
2024-11-15 02:27本頁(yè)面
【正文】 1 ccabc,c=,c=，也就是說(shuō)在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒(méi)有一個(gè)量可以把三個(gè)式子聯(lián)系起來(lái)？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來(lái)，即c=中abc== sinAsinBsinC【師】：對(duì)，很美、很對(duì)稱(chēng)的一個(gè)式子，用文字來(lái)描述就是：“在一個(gè)直角三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們?cè)趲缀萎?huà)板中驗(yàn)證一下，對(duì)任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對(duì)角的正弦比相等”成立？【師】：通過(guò)驗(yàn)證我們得到，在任意的三角形中都有各個(gè)邊和他所對(duì)的角的正弦值相等。在上面這個(gè)對(duì)稱(chēng)的式子中涉及到了三角形三個(gè)角的正弦，因此我們把它稱(chēng)為正弦定理，即我們今天的課題。【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗(yàn)證是不夠的，那能不能對(duì)這個(gè)定理給出一個(gè)證明呢？【生】：可以用三角形的面積公式對(duì)正弦定理進(jìn)行證明：S=1111absinC=acsinB=bcsinA，然后三個(gè)式子同時(shí)處以abc就可以得2222到正弦定理了?！編煛浚哼@是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過(guò)的向量來(lái)證明呢？答案是肯定的。怎么樣利用向量只是來(lái)證明正弦定理呢？大家觀察，這個(gè)式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運(yùn)算同時(shí)涉及到向量的夾角和模呢？（板書(shū)：證法二，向量法）rrrr【生】：向量的數(shù)量積ab=abcosq【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角uuuruuuruuur形的三個(gè)邊向量滿足的關(guān)系：AB+BC=AC,那么，和哪個(gè)向量做數(shù)量積呢？還有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個(gè)又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過(guò)做點(diǎn)A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來(lái)得到）【生】：做A點(diǎn)的垂線【師】：那是那條線的垂線呢？【生】：AC的垂線rr【師】：如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式子的兩邊同時(shí)做數(shù)cos(90A)cos(90+C)=cos90，化簡(jiǎn)000即可得到csinA=asinC，即acbc==，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC銳角三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論?！編煛浚喝绻鰽BC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍rr角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式uuuruuuruuur子AB+BC=AC的兩邊同時(shí)做數(shù)量積運(yùn)算就可以得到ruuurruuurruuur00jABcos(C90)+jBCcos(90+C)=jACcos900，化簡(jiǎn)即可得到csinA=asinC，即acbc==，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC形ABC中也有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。【師】：經(jīng)過(guò)上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對(duì)于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的?！編煛浚捍蠹矣^察一下正弦定理的這個(gè)式子，它是一個(gè)比例式。對(duì)于一個(gè)比例式來(lái)說(shuō)，如果我們知道其中的三項(xiàng)，那么就可以根據(jù)比例的運(yùn)算性質(zhì)得到第四項(xiàng)。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對(duì)角求另外一邊的對(duì)角，或者兩角一邊求出另外一邊。【師】：其實(shí)大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實(shí)只要有上面的任意一個(gè)條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來(lái)看正弦定理的一些應(yīng)用。三、例題解析【例1】?jī)?yōu)化P101例1分析：直接代入正弦定理中運(yùn)算即可ab=sinAsinBcsinA10180。sin45o\a===osinCsin30bcQ=sinBsinCB=180o(A+C)=180o(45o+30o)=105oQcsinB10180。sin105o\b===20=5sinCsin30o總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類(lèi)問(wèn)題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一角，因?yàn)閮蓚€(gè)角都是確定的的，所以只有一種情況）【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺(tái)板演）【隨堂檢測(cè)】見(jiàn)幻燈片四、課堂小結(jié)【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等。寫(xiě)成數(shù)學(xué)式子就是abc==。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC了一些解三角形問(wèn)題。對(duì)于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實(shí)對(duì)于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。五、作業(yè)布置世紀(jì)金榜P86自測(cè)自評(píng)、例例2板書(shū)設(shè)計(jì)：六、教學(xué)反思第五篇：高二數(shù)學(xué)正弦定理強(qiáng)化訓(xùn)練高二數(shù)學(xué)正弦定理強(qiáng)化訓(xùn)練 △ABC 中，b = 8，c =8，S△ABC =3，則∠A 等于() 或 或120186。 △ABC中，若a = 2b sin A，則∠B為()3或3已知△ABC中，a＝4，b＝43，∠A＝30176。，則∠B等于()A．30176。B．30176?；?50176。C．60176。D．60176?；?20176。已知△ABC中，AB＝6，∠A＝30176。，∠B＝120176。，則△ABC的面積為()A．9B．18C．9D．18在△ABC中，A＝60176。，B＝75176。，a＝10，則c＝()A．52B．．6△ABC中，AB＝3，AC＝1，∠B＝30176。，則△ABC的面積等于()32若△ABC滿足下列條件：① a = 4，b = 10，208。A = 30176。；② a = 6，b = 10，208。A = 30176。； ③ a = 6，b = 10，208。A = 150176。；④ a = 12，b = 10，208。A = 30176。； 則△ABC存在且恰有一個(gè)的是()A.①④B.③④C.④D.②④已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，則求sin A在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，＝2，b＝2，sin B＋cos B＝2，則求角A的大小銳角△ABC中，若A＝2B，則求ab
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