【導(dǎo)讀】量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，或常用對(duì)數(shù)；通過閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；3．知道指數(shù)函數(shù)xay?從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多。以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問題。1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題；2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大。Nnna且，則這個(gè)數(shù)稱a的n次方根。1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，na的次方根記作na；1）以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，N10log記作Nlg；ee為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，Nelog，記作Nln；aaayx且稱指數(shù)函數(shù)，aaxya且稱對(duì)數(shù)函數(shù)，

　　

【正文】 型五：?jiǎn)握{(diào)性的應(yīng)用 例 9． 已知偶函數(shù) f(x)在 (0， +∞ )上為增函數(shù)，且 f(2)=0，解不等式 f［ log2(x2+5x+4)］≥ 0。 解 ： ∵ f(2)=0,∴原不等式可化為 f［ log2(x2+5x+4)］≥ f(2)。 又∵ f(x)為偶函數(shù)，且 f(x)在 (0， +∞ )上為增函數(shù)， ∴ f(x)在 (－∞ ,0)上 為減函數(shù)且 f(－ 2)=f(2)=0。 ∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥ 2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－ 2 ② 由①得 x2+5x+4≥ 4，∴ x≤－ 5 或 x≥ 0 ③ 由②得 0＜ x2+5x+4≤41得 2 105??≤ x＜－ 4 或－ 1＜ x≤2 105?? ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－ 5 或2 105??≤ x≤－ 4 或－ 1＜ x≤2 105??或 x≥ 0} 。 例 10． 已知奇函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，且 f(x)在［ 0， +∞］上是增函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù) m，使 f(cos2θ － 3)+f(4m－ 2mcosθ )f(0)對(duì)所有 θ ∈［ 0,2?］都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù) m 的范圍，若不存在，說明理由。 解：∵ f(x)是 R 上的奇函數(shù)，且在［ 0， +∞］上是增函數(shù)， ∴ f(x)是 R 上的增函數(shù)，于是不等式可等價(jià)地 轉(zhuǎn)化為 f(cos2θ － 3)f(2mcosθ － 4m)， 第 25 頁(yè) 共 29 頁(yè) 即 cos2θ － 32mcosθ － 4m,即 cos2θ － mcosθ +2m－ 20。 設(shè) t=cosθ ,則問題等價(jià)地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t) =t2－ mt+2m－ 2=(t－2m)2－42m+2m－ 2 在［ 0， 1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)在［ 0， 1］上的最小值為正。 ∴當(dāng)2m0,即 m0 時(shí)， g(0)=2m－ 20? m1 與 m0不符； 當(dāng) 0≤2m≤ 1 時(shí)，即 0≤ m≤ 2 時(shí)， g(m)=－42m+2m－ 20? 4－ 2 2 m4+2 2 ， ∴ 4－ 2 2 m≤ 2新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/ 當(dāng)2m1,即 m2 時(shí)， g(1)=m－ 10? m1。 ∴ m2 綜上，符合題目要求的 m 的值存在，其取值范圍是 m4－ 2 2 。 另法 (僅限當(dāng) m 能夠解出的情況 )： cos2θ － mcosθ +2m－ 20 對(duì)于 θ ∈［ 0,2?］恒成立，等價(jià)于 m(2－ cos2θ )/(2－ cosθ ) 對(duì)于 θ ∈［ 0,2?］恒成立 ∵當(dāng) θ ∈［ 0,2?］時(shí)， (2－ cos2θ )/(2－ cosθ ) ≤ 4－ 2 2 ，∴ m4－ 2 2 。 點(diǎn)評(píng)：上面兩例子借助于函數(shù)的單調(diào)性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。 題型六：最值問題 例 11． （ 20xx 全國(guó)理， 21）設(shè) a 為實(shí)數(shù)，函數(shù) f（ x） =x2+|x－ a|+1， x∈ R。 （ 1）討論 f（ x）的奇偶性；（ 2）求 f（ x）的最小值。 解：（ 1）當(dāng) a=0 時(shí)，函數(shù) f（－ x） =（－ x） 2+|－ x|+1=f（ x），此時(shí) f（ x）為偶函數(shù)。 當(dāng) a≠ 0 時(shí)， f（ a） =a2+1， f（－ a） =a2+2|a|+1， f（－ a）≠ f（ a）， f（－ a）≠－ f（ a）。 此時(shí)函數(shù) f（ x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)。 （ 2）①當(dāng) x≤ a 時(shí)，函數(shù) f（ x） =x2－ x+a+1=（ x－ 21 ） 2+a+43 。 若 a≤ 21 ，則函數(shù) f（ x）在（－∞， a）上單調(diào)遞減，從而，函數(shù) f（ x）在（－∞， a）上的最小值為 f（ a） =a2+1。 若 a＞ 21 ，則函數(shù) f（ x）在（－∞， a] 上的最小值為 f（ 21 ） =43 +a，且 f（ 21 ）≤ 第 26 頁(yè) 共 29 頁(yè) f（ a）。 ②當(dāng) x≥ a 時(shí)，函數(shù) f（ x） =x2+x－ a+1=（ x+21 ） 2－ a+43 。 若 a≤－ 21 ，則函數(shù) f（ x）在［ a， +∞ ) 上的最小值為 f（－ 21 ） =43 － a，且 f（－ 21 ）≤ f（ a）。 若 a＞－ 21 ，則函數(shù) f（ x）在［ a， +∞］上單調(diào)遞增，從而，函數(shù) f（ x）在［ a， +∞］上的最小值為 f（ a） =a2+1。 綜上，當(dāng) a≤－ 21 時(shí)，函數(shù) f（ x）的最小值是 43 － a。 當(dāng)－ 21 ＜ a≤ 21 時(shí)，函數(shù) f（ x）的最小值是 a2+1。 當(dāng) a＞ 21 時(shí)，函數(shù) f（ x）的最小值是 a+43 。 點(diǎn)評(píng)：函數(shù)奇偶性的討論問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本問題，如果平時(shí)注意知識(shí)的積累，對(duì)解此題會(huì)有較大幫助 .因?yàn)?x∈ R， f（ 0） =|a|+1≠ 0，由此排除 f（ x）是奇函數(shù) 的可能性 .運(yùn)用偶函數(shù)的定義分析可知，當(dāng) a=0 時(shí)， f（ x）是偶函數(shù)，第 2 題主要考查學(xué)生的分類討論思想、對(duì)稱思想。 例 12． 設(shè) m 是實(shí)數(shù)，記 M={m|m1}， f(x)=log3(x2－ 4mx+4m2+m+11?m)。 (1)證明：當(dāng) m∈ M 時(shí)， f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若 f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 都有意義，則 m∈ M； (2)當(dāng) m∈ M 時(shí)，求函數(shù) f(x)的最小值； (3)求證：對(duì)每個(gè) m∈ M,函數(shù) f(x)的最小值都不小于 1。 (1)證明：先將 f(x)變形： f(x)=log3［ (x－ 2m)2+m+11?m］ , 當(dāng) m∈ M 時(shí)， m1,∴ (x－ m)2+m+11?m0 恒成立， 故 f(x)的定義域?yàn)?R。 反之，若 f(x)對(duì)所有實(shí)數(shù) x 都有意義，則只須 x2－ 4mx+4m2+m+11?m0。 第 27 頁(yè) 共 29 頁(yè) 令 Δ ＜ 0，即 16m2－ 4(4m2+m+11?m)＜ 0，解得 m1，故 m∈ M。 (2)解析：設(shè) u=x2－ 4mx+4m2+m+11?m， ∵ y=log3u 是增函數(shù)， ∴當(dāng) u 最小時(shí)， f(x)最小。 而 u=(x－ 2m)2+m+11?m， 顯然，當(dāng) x=m 時(shí)， u 取最小值為 m+11?m， 此時(shí) f(2m)=log3(m+11?m)為最小值。 (3)證明：當(dāng) m∈ M 時(shí)， m+11?m=(m－ 1)+ 11?m+1≥ 3， 當(dāng)且僅當(dāng) m=2 時(shí)等號(hào)成立。 ∴ log3(m+11?m)≥ log33=1。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于函數(shù)最值的綜合性問題，考生需要結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)以及二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行處理。 題型七：周期問題 例 13． 若 y=f(2x)的圖像關(guān)于直線2ax?和 )(2 abbx ??對(duì)稱，則 f(x)的一個(gè)周期為（ ） A．2ba? B． )(2 ab? C．2ab? D． )(4 ab? 解：因?yàn)?y=f(2x)關(guān)于2ax?對(duì)稱，所以 f(a+2x)=f(a－ 2x)。 所以 f(2a－ 2x)=f[a+(a－ 2x)]=f[a－ (a－ 2x)]=f(2x)。 同理， f(b+2x) =f(b－ 2x)， 所以 f(2b－ 2x)=f(2x)， 所以 f(2b－ 2a+2x)=f[2b－ (2a－ 2x)]=f(2a－ 2x)=f(2x)。 所以 f(2x)的一個(gè)周期為 2b－ 2a， 故知 f(x)的一個(gè)周期為 4(b－ a)。 選項(xiàng)為 D。 點(diǎn)評(píng)： 考察函數(shù)的對(duì)稱性以及周期性，類比三角函數(shù)中的周期變換和對(duì)稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于直線 x=a 和 x=b 對(duì)稱（ a≠ b），則這個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為 2（ b－ a）。 第 28 頁(yè) 共 29 頁(yè) 例 14 ． 已知函數(shù) ()y f x? 是定義在 R 上的周期函數(shù)，周期 5T? ，函數(shù)( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇 函數(shù)新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數(shù)，在 [1,4] 上是二次函數(shù)，且在 2x? 時(shí)函數(shù)取得最小值 5? 。 ① 證明： (1) (4) 0ff??； ② 求 ( ), [1, 4]y f x x??的解析式； ③ 求 ()y f x? 在 [4,9] 上的解析式 。 解： ∵ ()fx是以 5 為周期的周期函數(shù)， ∴ ( 4) ( 4 5 ) ( 1)f f f? ? ? ?， 又∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù)， ∴ (1) ( 1) ( 4)f f f? ? ? ? ?， ∴ (1) (4) 0ff??。 ② 當(dāng) [1,4]x? 時(shí)，由題意可設(shè) 2( ) ( 2) 5 ( 0)f x a x a? ? ? ?， 由 (1) (4) 0ff??得 22(1 2 ) 5 ( 4 2 ) 5 0aa? ? ? ? ? ?， ∴ 2a? ， ∴ 2( ) 2 ( 2 ) 5 (1 4 )f x x x? ? ? ? ?。 ③∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數(shù)， ∴ (0) 0f ? ， 又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數(shù)， ∴ 可設(shè) ( ) (0 1)f x kx x? ? ?，而 2(1) 2 (1 2 ) 5 3f ? ? ? ? ?， ∴ 3k?? ， ∴ 當(dāng) 01x??時(shí)， ( ) 3f x x?? ， 第 29 頁(yè) 共 29 頁(yè) 從而當(dāng) 10x? ? ? 時(shí)， ( ) ( ) 3f x f x x? ? ? ? ?，故 11x? ? 時(shí)， ( ) 3f x x?? 。 ∴ 當(dāng) 46x??時(shí)，有 1 5 1x? ? ? ? ， ∴ ( ) ( 5 ) 3 ( 5 ) 3 15f x f x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 當(dāng) 69x??時(shí)， 1 5 4x? ? ? ， ∴ 22( ) ( 5 ) 2 [ ( 5 ) 2 ] 5 2 ( 7 ) 5f x f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴23 1 5 , 4 6() 2 ( 7 ) 5 , 6 9xxfx ? ? ? ??? ? ? ? ? ??。 點(diǎn)評(píng)：該題屬于普通函數(shù)周期性應(yīng)用的題目，周期性是函數(shù)的圖像特征，要將其轉(zhuǎn)化成數(shù)字特征。 五．思維總結(jié) 1． 判斷函數(shù)的奇偶性，必須按照函數(shù)的奇偶性定義進(jìn)行，為了便于判斷，常應(yīng)用定義的等價(jià)形式： f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0； 2． 對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(x)=f(x)和 f(x)=f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè) x， 都有 f(x)=f(x)， f(x)=f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件 。 稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a 對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a)=f(ax)成立新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映 ； 3． 若奇函數(shù)的定義域包含 0，則 f(0)=0，因此，“ f(x)為奇函數(shù)”是 f(0)=0的非充分非必要條件； 4． 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，因此根據(jù)圖象的對(duì)稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性 。 5． 若存在常數(shù) T，使得 f(x+T)=f(x)對(duì) f(x)定義域內(nèi)任意 x 恒成立，則稱 T 為函數(shù) f(x)的周期，一般所說的周期是指函數(shù)的最小正周期新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp:@:/周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集 。 6． 單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的 能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)一般用于簡(jiǎn)單問題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運(yùn)用定義或求導(dǎo)解決。