【導讀】量的變化等），了解指數函數模型的實際背景；理解有理指數冪的含義，通過具體實例了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算。理解指數函數的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函數的圖象，或常用對數；通過閱讀材料，了解對數的發(fā)現歷史以及對簡化運算的作用；數的圖象，探索并了解對數函數的單調性與特殊點；3．知道指數函數xay?從近幾年的高考形勢來看，對指數函數、對數函數、冪函數的考查，大多。以基本函數的性質為依托，結合運算推理，能運用它們的性質解決具體問題。1．題型有兩個選擇題和一個解答題；2．題目形式多以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數來考察函數的性質。同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大。Nnna且，則這個數稱a的n次方根。1）當n為奇數時，na的次方根記作na；1）以10為底的對數稱常用對數，N10log記作Nlg；ee為底的對數稱自然對數，Nelog，記作Nln；aaayx且稱指數函數，aaxya且稱對數函數，

　　

【正文】 型五：單調性的應用 例 9． 已知偶函數 f(x)在 (0， +∞ )上為增函數，且 f(2)=0，解不等式 f［ log2(x2+5x+4)］≥ 0。 解 ： ∵ f(2)=0,∴原不等式可化為 f［ log2(x2+5x+4)］≥ f(2)。 又∵ f(x)為偶函數，且 f(x)在 (0， +∞ )上為增函數， ∴ f(x)在 (－∞ ,0)上 為減函數且 f(－ 2)=f(2)=0。 ∴不等式可化為 log2(x2+5x+4)≥ 2 ① 或 log2(x2+5x+4)≤－ 2 ② 由①得 x2+5x+4≥ 4，∴ x≤－ 5 或 x≥ 0 ③ 由②得 0＜ x2+5x+4≤41得 2 105??≤ x＜－ 4 或－ 1＜ x≤2 105?? ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－ 5 或2 105??≤ x≤－ 4 或－ 1＜ x≤2 105??或 x≥ 0} 。 例 10． 已知奇函數 f(x)的定義域為 R，且 f(x)在［ 0， +∞］上是增函數，是否存在實數 m，使 f(cos2θ － 3)+f(4m－ 2mcosθ )f(0)對所有 θ ∈［ 0,2?］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數 m 的范圍，若不存在，說明理由。 解：∵ f(x)是 R 上的奇函數，且在［ 0， +∞］上是增函數， ∴ f(x)是 R 上的增函數，于是不等式可等價地 轉化為 f(cos2θ － 3)f(2mcosθ － 4m)， 第 25 頁 共 29 頁 即 cos2θ － 32mcosθ － 4m,即 cos2θ － mcosθ +2m－ 20。 設 t=cosθ ,則問題等價地轉化為函數 g(t) =t2－ mt+2m－ 2=(t－2m)2－42m+2m－ 2 在［ 0， 1］上的值恒為正，又轉化為函數 g(t)在［ 0， 1］上的最小值為正。 ∴當2m0,即 m0 時， g(0)=2m－ 20? m1 與 m0不符； 當 0≤2m≤ 1 時，即 0≤ m≤ 2 時， g(m)=－42m+2m－ 20? 4－ 2 2 m4+2 2 ， ∴ 4－ 2 2 m≤ 2新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 當2m1,即 m2 時， g(1)=m－ 10? m1。 ∴ m2 綜上，符合題目要求的 m 的值存在，其取值范圍是 m4－ 2 2 。 另法 (僅限當 m 能夠解出的情況 )： cos2θ － mcosθ +2m－ 20 對于 θ ∈［ 0,2?］恒成立，等價于 m(2－ cos2θ )/(2－ cosθ ) 對于 θ ∈［ 0,2?］恒成立 ∵當 θ ∈［ 0,2?］時， (2－ cos2θ )/(2－ cosθ ) ≤ 4－ 2 2 ，∴ m4－ 2 2 。 點評：上面兩例子借助于函數的單調性處理了恒成立問題和不等式的求解問題。 題型六：最值問題 例 11． （ 20xx 全國理， 21）設 a 為實數，函數 f（ x） =x2+|x－ a|+1， x∈ R。 （ 1）討論 f（ x）的奇偶性；（ 2）求 f（ x）的最小值。 解：（ 1）當 a=0 時，函數 f（－ x） =（－ x） 2+|－ x|+1=f（ x），此時 f（ x）為偶函數。 當 a≠ 0 時， f（ a） =a2+1， f（－ a） =a2+2|a|+1， f（－ a）≠ f（ a）， f（－ a）≠－ f（ a）。 此時函數 f（ x）既不是奇函數，也不是偶函數。 （ 2）①當 x≤ a 時，函數 f（ x） =x2－ x+a+1=（ x－ 21 ） 2+a+43 。 若 a≤ 21 ，則函數 f（ x）在（－∞， a）上單調遞減，從而，函數 f（ x）在（－∞， a）上的最小值為 f（ a） =a2+1。 若 a＞ 21 ，則函數 f（ x）在（－∞， a] 上的最小值為 f（ 21 ） =43 +a，且 f（ 21 ）≤ 第 26 頁 共 29 頁 f（ a）。 ②當 x≥ a 時，函數 f（ x） =x2+x－ a+1=（ x+21 ） 2－ a+43 。 若 a≤－ 21 ，則函數 f（ x）在［ a， +∞ ) 上的最小值為 f（－ 21 ） =43 － a，且 f（－ 21 ）≤ f（ a）。 若 a＞－ 21 ，則函數 f（ x）在［ a， +∞］上單調遞增，從而，函數 f（ x）在［ a， +∞］上的最小值為 f（ a） =a2+1。 綜上，當 a≤－ 21 時，函數 f（ x）的最小值是 43 － a。 當－ 21 ＜ a≤ 21 時，函數 f（ x）的最小值是 a2+1。 當 a＞ 21 時，函數 f（ x）的最小值是 a+43 。 點評：函數奇偶性的討論問題是中學數學的基本問題，如果平時注意知識的積累，對解此題會有較大幫助 .因為 x∈ R， f（ 0） =|a|+1≠ 0，由此排除 f（ x）是奇函數 的可能性 .運用偶函數的定義分析可知，當 a=0 時， f（ x）是偶函數，第 2 題主要考查學生的分類討論思想、對稱思想。 例 12． 設 m 是實數，記 M={m|m1}， f(x)=log3(x2－ 4mx+4m2+m+11?m)。 (1)證明：當 m∈ M 時， f(x)對所有實數都有意義；反之，若 f(x)對所有實數 x 都有意義，則 m∈ M； (2)當 m∈ M 時，求函數 f(x)的最小值； (3)求證：對每個 m∈ M,函數 f(x)的最小值都不小于 1。 (1)證明：先將 f(x)變形： f(x)=log3［ (x－ 2m)2+m+11?m］ , 當 m∈ M 時， m1,∴ (x－ m)2+m+11?m0 恒成立， 故 f(x)的定義域為 R。 反之，若 f(x)對所有實數 x 都有意義，則只須 x2－ 4mx+4m2+m+11?m0。 第 27 頁 共 29 頁 令 Δ ＜ 0，即 16m2－ 4(4m2+m+11?m)＜ 0，解得 m1，故 m∈ M。 (2)解析：設 u=x2－ 4mx+4m2+m+11?m， ∵ y=log3u 是增函數， ∴當 u 最小時， f(x)最小。 而 u=(x－ 2m)2+m+11?m， 顯然，當 x=m 時， u 取最小值為 m+11?m， 此時 f(2m)=log3(m+11?m)為最小值。 (3)證明：當 m∈ M 時， m+11?m=(m－ 1)+ 11?m+1≥ 3， 當且僅當 m=2 時等號成立。 ∴ log3(m+11?m)≥ log33=1。 點評：該題屬于函數最值的綜合性問題，考生需要結合對數函數以及二次函數的性質來進行處理。 題型七：周期問題 例 13． 若 y=f(2x)的圖像關于直線2ax?和 )(2 abbx ??對稱，則 f(x)的一個周期為（ ） A．2ba? B． )(2 ab? C．2ab? D． )(4 ab? 解：因為 y=f(2x)關于2ax?對稱，所以 f(a+2x)=f(a－ 2x)。 所以 f(2a－ 2x)=f[a+(a－ 2x)]=f[a－ (a－ 2x)]=f(2x)。 同理， f(b+2x) =f(b－ 2x)， 所以 f(2b－ 2x)=f(2x)， 所以 f(2b－ 2a+2x)=f[2b－ (2a－ 2x)]=f(2a－ 2x)=f(2x)。 所以 f(2x)的一個周期為 2b－ 2a， 故知 f(x)的一個周期為 4(b－ a)。 選項為 D。 點評： 考察函數的對稱性以及周期性，類比三角函數中的周期變換和對稱性的解題規(guī)則處理即可。若函數 y=f(x)的圖像關于直線 x=a 和 x=b 對稱（ a≠ b），則這個函數是周期函數，其周期為 2（ b－ a）。 第 28 頁 共 29 頁 例 14 ． 已知函數 ()y f x? 是定義在 R 上的周期函數，周期 5T? ，函數( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇 函數新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數，在 [1,4] 上是二次函數，且在 2x? 時函數取得最小值 5? 。 ① 證明： (1) (4) 0ff??； ② 求 ( ), [1, 4]y f x x??的解析式； ③ 求 ()y f x? 在 [4,9] 上的解析式 。 解： ∵ ()fx是以 5 為周期的周期函數， ∴ ( 4) ( 4 5 ) ( 1)f f f? ? ? ?， 又∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數， ∴ (1) ( 1) ( 4)f f f? ? ? ? ?， ∴ (1) (4) 0ff??。 ② 當 [1,4]x? 時，由題意可設 2( ) ( 2) 5 ( 0)f x a x a? ? ? ?， 由 (1) (4) 0ff??得 22(1 2 ) 5 ( 4 2 ) 5 0aa? ? ? ? ? ?， ∴ 2a? ， ∴ 2( ) 2 ( 2 ) 5 (1 4 )f x x x? ? ? ? ?。 ③∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數， ∴ (0) 0f ? ， 又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數， ∴ 可設 ( ) (0 1)f x kx x? ? ?，而 2(1) 2 (1 2 ) 5 3f ? ? ? ? ?， ∴ 3k?? ， ∴ 當 01x??時， ( ) 3f x x?? ， 第 29 頁 共 29 頁 從而當 10x? ? ? 時， ( ) ( ) 3f x f x x? ? ? ? ?，故 11x? ? 時， ( ) 3f x x?? 。 ∴ 當 46x??時，有 1 5 1x? ? ? ? ， ∴ ( ) ( 5 ) 3 ( 5 ) 3 15f x f x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 當 69x??時， 1 5 4x? ? ? ， ∴ 22( ) ( 5 ) 2 [ ( 5 ) 2 ] 5 2 ( 7 ) 5f x f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴23 1 5 , 4 6() 2 ( 7 ) 5 , 6 9xxfx ? ? ? ??? ? ? ? ? ??。 點評：該題屬于普通函數周期性應用的題目，周期性是函數的圖像特征，要將其轉化成數字特征。 五．思維總結 1． 判斷函數的奇偶性，必須按照函數的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應用定義的等價形式： f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0； 2． 對函數奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(x)=f(x)和 f(x)=f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個 x， 都有 f(x)=f(x)， f(x)=f(x)的實質是：函數的定義域關于原點對稱新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/這是函數具備奇偶性的必要條件 。 稍加推廣，可得函數 f(x)的圖象關于直線 x=a 對稱的充要條件是對定義域內的任意 x，都有 f(x+a)=f(ax)成立新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/函數的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映 ； 3． 若奇函數的定義域包含 0，則 f(0)=0，因此，“ f(x)為奇函數”是 f(0)=0的非充分非必要條件； 4． 奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于 y 軸對稱，因此根據圖象的對稱性可以判斷函數的奇偶性 。 5． 若存在常數 T，使得 f(x+T)=f(x)對 f(x)定義域內任意 x 恒成立，則稱 T 為函數 f(x)的周期，一般所說的周期是指函數的最小正周期新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/周期函數的定義域一定是無限集 。 6． 單調性是函數學習中非常重要的內容，應用十分廣泛，由于新教材增加了“導數”的內容，所以解決單調性問題的 能力得到了很大的提高，因此解決具體函數的單調性問題，一般求導解決，而解決與抽象函數有關的單調性問題一般需要用單調性定義解決。注意，關于復合函數的單調性的知識一般用于簡單問題的分析，嚴格的解答還是應該運用定義或求導解決。