【正文】 5 或2 105??≤ x≤－ 4 或－ 1＜ x≤2 105??或 x≥ 0} 。 ②當 x≥ a 時，函數 f（ x） =x2+x－ a+1=（ x+21 ） 2－ a+43 。 點評：該題屬于函數最值的綜合性問題，考生需要結合對數函數以及二次函數的性質來進行處理。 五．思維總結 1． 判斷函數的奇偶性，必須按照函數的奇偶性定義進行，為了便于判斷，常應用定義的等價形式： f(?x)= ?f(x)?f(?x) ? f(x)=0； 2． 對函數奇偶性定義的理解，不能只停留在 f(x)=f(x)和 f(x)=f(x)這兩個等式上，要明確對定義域內任意一個 x， 都有 f(x)=f(x)， f(x)=f(x)的實質是：函數的定義域關于原點對稱新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/這是函數具備奇偶性的必要條件 。 ③∵ ( )( 1 1)y f x x? ? ? ?是奇函數， ∴ (0) 0f ? ， 又知 ()y f x? 在 [0,1] 上是一次函數， ∴ 可設 ( ) (0 1)f x kx x? ? ?，而 2(1) 2 (1 2 ) 5 3f ? ? ? ? ?， ∴ 3k?? ， ∴ 當 01x??時， ( ) 3f x x?? ， 第 29 頁 共 29 頁 從而當 10x? ? ? 時， ( ) ( ) 3f x f x x? ? ? ? ?，故 11x? ? 時， ( ) 3f x x?? 。 (2)解析：設 u=x2－ 4mx+4m2+m+11?m， ∵ y=log3u 是增函數， ∴當 u 最小時， f(x)最小。 此時函數 f（ x）既不是奇函數，也不是偶函數。要記住“同向增、異向減”的規(guī)則。 解：這是抽角函數的單調性問題，應該用單調性定義解決。 必為奇函數的有 _____（要求填寫正確答案的序號） 答案：②④；解析： y=（－ x） f［（－ x） 2］ =－ xf（ x2） =－ y； y=f（－ x）－ f（ x） =－ y。 （ 5）簡單性質 ①奇函數 在其對稱區(qū)間上的單調性相同； ②偶函數在其對稱區(qū)間上的單調性相反； ③在公共定義域內： 增函數 ?)(xf 增函數 )(xg 是增函數； 減函數 ?)(xf 減函數 )(xg 是減函數； 增函數 ?)(xf 減函數 )(xg 是增函數； 減函數 ?)(xf 增函數 )(xg 是減函數 。 例 18．設 1x? ， 1y? ，且 2 log 2 log 3 0xyyx? ? ?，求 224T x y?? 的最小值 。數列 {bn}是一個遞減的正數數列， 對每個自然數 n≥ 2,Bn=bnBn－ 1。解題過程中遇到了恒成立問題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數”不等價，同時又考察了一元二次函數函數值的分布情況，解題過程中結合三個“二次”的重要結論來進行處理。 例 10．設函數 xxfxf xx 22)(,2)( |1||1| ?? ??? 求使的取值范圍。從而結果為 5 。 例 2． 已知 11223xx???，求 22332223xxxx??????的值 。即若 axn? ，則 x 稱 a 的 n 次方根 )1 ??? Nnn 且 ， 1）當 n 為奇數時， na的 次方根記作 na ； 2）當 n 為偶數時，負數 a 沒有 n 次方根，而正數 a 有兩個 n 次方根且互為相反數，第 2 頁 共 29 頁 記作 )0( ?? aan 。 預測 20xx 年對本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個選擇題和一個解答題； 2．題目形式多以指數函數、對數函數、冪函數為載體的復合函數來考察函數的性質。 ③函數值的變化特征： 四．典例解析 題型 1：指數運算 10 ??a 1?a ① 01 ?? yx 時 ， ② 01 ?? yx 時 ， ③ 010 ??? yx 時 . ① 01 ?? yx 時 ， ② 01 ?? yx 時 ， ③ 100 ??? yx 時 . 第 5 頁 共 29 頁 例 1． （ 1）計算： ])()()()945()833[( ???? ???； （ 2）化簡：5 33 2332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa???????? ?。 解：考察對數運算。 題型 5：指數函數的圖像與應用 例 9． 若函數 my x ?? ? |1|)21(的圖象與 x 軸有公共點，則 m 的取 值范圍是（ ） A． m≤－ 1 B．－ 1≤ m0 C． m≥ 1 D． 0m≤ 1 解：????????????)1(2)1()21()21(11|1|xxyxxx? ， 畫圖象可知－ 1≤ m0。 區(qū)別：“有意義問題”正好轉化成“恒成立問題”來處理，而“定義域問題”剛好轉化成“取遍所有問題”來解決（這里轉化成了解集問 題，即取遍解集內所有的數值） （ 3）易知 )(xg 得值域是 ),2[ ?? ，又 )(xg 得值域是 ),3[ 2 ???a ， 得 123 2 ????? aa ，故 a 得取值范圍為 {－ 1， 1}。 則以 bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是 bn+2+bn+1bn， 即 (10a)2+(10a)－ 10， 解得 a－ 5(1+ 2 )或 a5( 5 － 1)。 且 ty alog? 在其定義域內一定是減函數。 （ 3）簡單性質： ①圖象的對稱 性質：一個函數是奇函數的充要條件是它的圖象關于原點對稱；一個函數是偶函數的充要條件是它的圖象關于 y 軸對稱； ② 設 ()fx， ()gx 的定義域分別是 12,DD，那么在它們的公共定義域上： 奇 +奇 =奇，奇 ?奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 ?偶 =偶，奇 ?偶 =奇 2．單調性 （ 1）定義：一般地，設函數 y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域 I 內的某個區(qū)間D 內的任意兩個自變量 x1， x2，當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數（減函數）； 注意： ○ 1 函數的單調性是在定義域內的某個區(qū)間上的性質，是函數的局部性質； ○ 2 必須是對于區(qū)間 D 內的任意兩個自變量 x1， x2；當 x1x2時，總有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函數 y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數或是減函數，那么就說函數 y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調性，區(qū)間 D 叫做 y=f(x)的單調區(qū)間。()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx?????????????????? ②設 )()1(11 11)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx?????????????????????? 第 20 頁 共 29 頁 ③當 x=0 時 f(x)=0，也滿足 f(－ x)=－ f(x)； 由①、②、③知，對 x∈ R 有 f(－ x) =－ f(x)， ∴ f(x)為奇函數； （ 3） 10101 222 ??????????? xxx? ，∴函數的定義域為 1??x ， ∴ f(x)=log21=0(x=177。 （ 2） (定義法 )設 120 xx??，則12 1212 11( ) ( ) xx xxf x f x e e ee? ? ? ? ? 212 1 1 2 11 2 2 111( ) ( 1 ) ( 1 ) xxx x x x xx x x xee e e eee ???? ?? ? ? ? ?， 由 1 2 2 10 , 0 , 0x x x x? ? ? ?，得 2112 0 , 1 0xxx e ?? ? ? ?， 2110xxe ???， ∴ 12( ) ( ) 0f x f x??， 即 12( ) ( )f x f x? ，∴ ()fx在 (0, )?? 上為增函數 。且第 24 頁 共 29 頁 112 2 ????? xx ， 根據復合函數的單調性的規(guī)則： 所以函數 的單調增區(qū)間為 ( , 1),(0,1)?? ? ；單調減區(qū)間為 (1, ),( 1,0)?? ? 。 （ 1）討論 f（ x）的奇偶性；（ 2）求 f（ x）的最小值。 (1)證明：先將 f(x)變形： f(x)=log3［ (x－ 2m)2+m+11?m］ , 當 m∈ M 時， m1,∴ (x－ m)2+m+11?m0 恒成立， 故 f(x)的定義域為 R。 ① 證明： (1) (4) 0ff??； ② 求 ( ), [1, 4]y f x x??的解析式； ③ 求 ()y f x? 在 [4,9] 上的解析式 。 6． 單調性是函數學習中非常重要的內容，應用十分廣泛，由于新教材增加了“導數”的內容，所以解決單調性問題的 能力得到了很大的提高，因此解決具體函數的單調性問題，一般求導解決，而解決與抽象函數有關的單調性問題一般需要用單調性定義解決。 同理， f(b+2x) =f(b－ 2x)， 所以 f(2b－ 2x)=f(2x)， 所以 f(2b－ 2a+2x)=f[2b－ (2a－ 2x)]=f(2a－ 2x)=f(2x)。 綜上，當 a≤－ 21 時，函數 f（ x）的最小值是 43 － a。 設 t=cosθ ,則問題等價地轉化為函數 g(t) =t2－ mt+2m－ 2=(t－2m)2－42m+2m－ 2 在［ 0， 1］上的值恒為正，又轉化為函數 g(t)在［ 0， 1］上的最小值為正。對于含參數的函數應用函數單調性的定義求函數的單調區(qū)間。 例 4．已知定義在 R 上的函數 y= f(x)滿足 f(2+x)= f(2－ x)，且 f(x)是 偶函數，當 x∈第 21 頁 共 29 頁 [0， 2]時， f(x)=2x－ 1，求 x∈ [－ 4， 0]時 f(x)的表達式。 四．典例解析 題型一：判斷函數的奇偶性 例 1． 討論下述函數的奇偶性： )。 預測 20xx 年高考的出題思路是：通過研究函數的定義域、值域，進而研究函數的單調性、奇偶性以及最值。 （ 2）若 a=2，則 )2(lo g)( 2 xxxf ?? 設4121 ??xx ， 則 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211 ???????????? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ?? 故 f(x)為增函數。 由 S△ ABC= log2)4( )2(2??aaa1, 得 0 a2 2 － 2。 解：記 22 3)()( aaxxg ?????? ，則 ?21log)( ?xf； （ 1）不一樣； 定義域為 R? 0)( ?xg 恒成立。 因為 f(－ x)=f(x)，所以 f(x)為偶函數，故只需討論 f(x)在 [0， +∞）上的單調性。 證明：（ 1）左邊2 2 2l o g l o g l o g ( )a b c a b c a b c a b ca b a b? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2( ) 2 2l o g l o g l o g l o g 2 1a b c a a b b c a b c ca b a b a b? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?； 解：（ 2）由4log (1 ) 1bca???得 14bca???， ∴ 30abc? ? ? ? ?????① 由8 2log ( ) 3a b c? ? ?得 2384a b c? ? ? ????? ?????② 由① ? ②得 2ba????????????????③ 由①得 3c a b??，代入 2 2 2a b c??得 2 (4 3 ) 0a a b??， ∵ 0a? ， ∴ 4 3 0ab??????????????④ 由③、④解得 6a? ，