【正文】 ? ? ?得 2384a b c? ? ? ????? ?????② 由① ? ②得 2ba????????????????③ 由①得 3c a b??，代入 2 2 2a b c??得 2 (4 3 ) 0a a b??， ∵ 0a? ， ∴ 4 3 0ab??????????????④ 由③、④解得 6a? ， 8b? ，從而 10c? 。且??? ?? ?? 01 01xx有 1?x 。 因為 f(－ x)=f(x)，所以 f(x)為偶函數(shù)，故只需討論 f(x)在 [0， +∞）上的單調(diào)性。 點評：本題考察了復雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點仍然是1,0,1 ?? aa 兩種情況下函數(shù) xay? 的圖像特征。 解：記 22 3)()( aaxxg ?????? ，則 ?21log)( ?xf； （ 1）不一樣； 定義域為 R? 0)( ?xg 恒成立。 點評：該題主要考察復合對數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問題。 由 S△ ABC= log2)4( )2(2??aaa1, 得 0 a2 2 － 2。 第 13 頁 共 29 頁 (3)∵ 5( 5 － 1)a10，∴ a=7 ∴ bn=20xx(107) 21?n 。 （ 2）若 a=2，則 )2(lo g)( 2 xxxf ?? 設(shè)4121 ??xx ， 則 0]1)(2)[()()(2)2()2( 212121212211 ???????????? xxxxxxxxxxxx )()( 21 xfxf ?? 故 f(x)為增函數(shù)。 點評： 該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對含有對數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進行研究，轉(zhuǎn)化成含有對數(shù)因式的不等式問題，解不等式即可。 預測 20xx 年高考的出題思路是：通過研究函數(shù)的定義域、值域，進而研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及最值。 （ 4）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 第 18 頁 共 29 頁 利用定義證明函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性的一般步驟： ○ 1 任取 x1， x2∈ D，且 x1x2； ○ 2 作差 f(x1)－ f(x2)； ○ 3 變形（通常是因式分解和配方）； ○ 4 定號（即判斷差 f(x1)－ f(x2)的正負）； ○ 5 下結(jié)論（即指出函數(shù) f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調(diào)性）。 四．典例解析 題型一：判斷函數(shù)的奇偶性 例 1． 討論下述函數(shù)的奇偶性： )。 例 2． (20xx 天津文 .16)設(shè)函數(shù) f（ x）在（－∞， +∞）內(nèi)有定義，下列函數(shù)：① y=－|f（ x） |；② y=xf（ x2）；③ y=－ f（－ x）；④ y=f（ x）－ f（－ x）。 例 4．已知定義在 R 上的函數(shù) y= f(x)滿足 f(2+x)= f(2－ x)，且 f(x)是 偶函數(shù)，當 x∈第 21 頁 共 29 頁 [0， 2]時， f(x)=2x－ 1，求 x∈ [－ 4， 0]時 f(x)的表達式。 例 6． 已知 f(x)是定義在 R 上的增函數(shù)，對 x∈ R 有 f(x)0，且 f(5)=1，設(shè) F(x)= f(x)+)(1xf，討論 F (x)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論。對于含參數(shù)的函數(shù)應用函數(shù)單調(diào)性的定義求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 點評：該題考察了復合函數(shù)的單調(diào)性。 設(shè) t=cosθ ,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t) =t2－ mt+2m－ 2=(t－2m)2－42m+2m－ 2 在［ 0， 1］上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù) g(t)在［ 0， 1］上的最小值為正。 當 a≠ 0 時， f（ a） =a2+1， f（－ a） =a2+2|a|+1， f（－ a）≠ f（ a）， f（－ a）≠－ f（ a）。 綜上，當 a≤－ 21 時，函數(shù) f（ x）的最小值是 43 － a。 第 27 頁 共 29 頁 令 Δ ＜ 0，即 16m2－ 4(4m2+m+11?m)＜ 0，解得 m1，故 m∈ M。 同理， f(b+2x) =f(b－ 2x)， 所以 f(2b－ 2x)=f(2x)， 所以 f(2b－ 2a+2x)=f[2b－ (2a－ 2x)]=f(2a－ 2x)=f(2x)。 ② 當 [1,4]x? 時，由題意可設(shè) 2( ) ( 2) 5 ( 0)f x a x a? ? ? ?， 由 (1) (4) 0ff??得 22(1 2 ) 5 ( 4 2 ) 5 0aa? ? ? ? ? ?， ∴ 2a? ， ∴ 2( ) 2 ( 2 ) 5 (1 4 )f x x x? ? ? ? ?。 6． 單調(diào)性是函數(shù)學習中非常重要的內(nèi)容，應用十分廣泛，由于新教材增加了“導數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問題的 能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問題，一般求導解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問題一般需要用單調(diào)性定義解決。 稍加推廣，可得函數(shù) f(x)的圖象關(guān)于直線 x=a 對稱的充要條件是對定義域內(nèi)的任意 x，都有 f(x+a)=f(ax)成立新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp::/函數(shù)的奇偶性是其相應圖象的特殊的對稱性的反映 ； 3． 若奇函數(shù)的定義域包含 0，則 f(0)=0，因此，“ f(x)為奇函數(shù)”是 f(0)=0的非充分非必要條件； 4． 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對稱，因此根據(jù)圖象的對稱性可以判斷函數(shù)的奇偶性 。 ① 證明： (1) (4) 0ff??； ② 求 ( ), [1, 4]y f x x??的解析式； ③ 求 ()y f x? 在 [4,9] 上的解析式 。 題型七：周期問題 例 13． 若 y=f(2x)的圖像關(guān)于直線2ax?和 )(2 abbx ??對稱，則 f(x)的一個周期為（ ） A．2ba? B． )(2 ab? C．2ab? D． )(4 ab? 解：因為 y=f(2x)關(guān)于2ax?對稱，所以 f(a+2x)=f(a－ 2x)。 (1)證明：先將 f(x)變形： f(x)=log3［ (x－ 2m)2+m+11?m］ , 當 m∈ M 時， m1,∴ (x－ m)2+m+11?m0 恒成立， 故 f(x)的定義域為 R。 若 a≤－ 21 ，則函數(shù) f（ x）在［ a， +∞ ) 上的最小值為 f（－ 21 ） =43 － a，且 f（－ 21 ）≤ f（ a）。 （ 1）討論 f（ x）的奇偶性；（ 2）求 f（ x）的最小值。 例 10． 已知奇函數(shù) f(x)的定義域為 R，且 f(x)在［ 0， +∞］上是增函數(shù)，是否存在實數(shù) m，使 f(cos2θ － 3)+f(4m－ 2mcosθ )f(0)對所有 θ ∈［ 0,2?］都成立？若存在，求出符合條件的所有實數(shù) m 的范圍，若不存在，說明理由。且第 24 頁 共 29 頁 112 2 ????? xx ， 根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性的規(guī)則： 所以函數(shù) 的單調(diào)增區(qū)間為 ( , 1),(0,1)?? ? ；單調(diào)減區(qū)間為 (1, ),( 1,0)?? ? 。 題型四：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 第 23 頁 共 29 頁 例 7． （ 20xx 春季北京、安徽， 12）設(shè)函數(shù) f（ x）＝ bx ax?? （ a＞ b＞ 0），求 f（ x）的單調(diào)區(qū)間，并證明 f（ x）在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性。 （ 2） (定義法 )設(shè) 120 xx??，則12 1212 11( ) ( ) xx xxf x f x e e ee? ? ? ? ? 212 1 1 2 11 2 2 111( ) ( 1 ) ( 1 ) xxx x x x xx x x xee e e eee ???? ?? ? ? ? ?， 由 1 2 2 10 , 0 , 0x x x x? ? ? ?，得 2112 0 , 1 0xxx e ?? ? ? ?， 2110xxe ???， ∴ 12( ) ( ) 0f x f x??， 即 12( ) ( )f x f x? ，∴ ()fx在 (0, )?? 上為增函數(shù) 。 點評：該題考察函數(shù)奇偶性的應用。()1(1111)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx?????????????????? ②設(shè) )()1(11 11)1(1)(,0,0xfxxnxxnxxnxfxx?????????????????????? 第 20 頁 共 29 頁 ③當 x=0 時 f(x)=0，也滿足 f(－ x)=－ f(x)； 由①、②、③知，對 x∈ R 有 f(－ x) =－ f(x)， ∴ f(x)為奇函數(shù)； （ 3） 10101 222 ??????????? xxx? ，∴函數(shù)的定義域為 1??x ， ∴ f(x)=log21=0(x=177。 注意： ○ 1 函數(shù)最大（?。┦紫葢撌悄?一個函數(shù)值，即存在 x0∈ I，使得 f(x0) = M； ○ 2 函數(shù)最大（?。撌撬泻瘮?shù)值中最大（小）的，即對于任意的 x∈ I，都有 f(x)≤ M（ f(x)≥ M）。 （ 3）簡單性質(zhì)： ①圖象的對稱 性質(zhì)：一個函數(shù)是奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱；一個函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于 y 軸對稱； ② 設(shè) ()fx， ()gx 的定義域分別是 12,DD，那么在它們的公共定義域上： 奇 +奇 =奇，奇 ?奇 =偶，偶 +偶 =偶，偶 ?偶 =偶，奇 ?偶 =奇 2．單調(diào)性 （ 1）定義：一般地，設(shè)函數(shù) y=f(x)的定義域為 I， 如果對于定義域 I 內(nèi)的某個區(qū)間D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1， x2，當 x1x2 時，都有 f(x1)f(x2)（ f(x1)f(x2)），那么就說 f(x)在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（減函數(shù)）； 注意： ○ 1 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)； ○ 2 必須是對于區(qū)間 D 內(nèi)的任意兩個自變量 x1， x2；當 x1x2時，總有 f(x1)f(x2) （ 2）如果函數(shù) y=f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù) y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴格的）單調(diào)性，區(qū)間 D 叫做 y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。 五．思維總結(jié) 1． bNNaaN abn ??? lo g, （其中 1,0,0 ??? aaN ）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算 .在運算中，根式常?；癁橹笖?shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同應化為同底； 2．要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆 項、添項、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經(jīng)驗； 3．解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高的知識； 4．指數(shù)、對數(shù)函數(shù)值的變化特點（上面知識結(jié)構(gòu)表中的 12 個小點）是解決含指數(shù)、對數(shù)式的問題時使用頻繁的關(guān)鍵知識，要達到滾瓜爛熟，運用自如的水平，在使用時常常還要結(jié)合指數(shù)、對數(shù)的特殊值共同分析； 5．含有參數(shù)的指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的討論問題是重點題型，解決這類問題的最基本的分類方案是以“ 底”大于 1 或小于 1 分類； 6．在學習中含有指數(shù)、對數(shù)的復合函數(shù)問題大多數(shù)都是以綜合形式出現(xiàn)，如與其它函數(shù)（特別是二次函數(shù)）形成的復合函數(shù)問題，與方程、不等式、數(shù)列等內(nèi)容形成的各類綜合問題等等，因此要努力提高綜合能力。 且 ty alog? 在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。 （ 3）若函數(shù) y=f(x)是增函數(shù)，求 a 的取值范圍。 則以 bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是 bn+2+bn+1bn， 即 (10a)2+(10a)－ 10， 解得 a－ 5(1+ 2 )或 a5( 5 － 1)。 解： （ 1）易知 D 為線段 AB 的中點 , 因 A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))， 所以由中點公式得 D(a+2, log2 )4( ?aa )。 區(qū)別：“有意義問