【正文】 ∴ 1 7xx???， ∴ 12( ) 49xx???， 第 6 頁(yè) 共 29 頁(yè) ∴ 2247xx???， 又∵ 3 3 1 1 12 2 2 2( ) ( 1 ) 3 ( 7 1 ) 1 8x x x x x x?? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ∴ 2233222 4 7 2 31 8 33xxxx??? ? ??????。 點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。 ③函數(shù)值的變化特征： 四．典例解析 題型 1：指數(shù)運(yùn)算 10 ??a 1?a ① 01 ?? yx 時(shí) ， ② 01 ?? yx 時(shí) ， ③ 010 ??? yx 時(shí) . ① 01 ?? yx 時(shí) ， ② 01 ?? yx 時(shí) ， ③ 100 ??? yx 時(shí) . 第 5 頁(yè) 共 29 頁(yè) 例 1． （ 1）計(jì)算： ])()()()945()833[( ???? ???； （ 2）化簡(jiǎn)：5 33 2332323323134)2(248aaaaabaaabbbaa???????? ?。 ③函數(shù)值的變化特征： 10 ??a 1?a ① 100 ??? yx 時(shí) ， ② 10 ?? yx 時(shí) ， ③ 10 ?? yx 時(shí) ① 10 ?? yx 時(shí) ， ② 10 ?? yx 時(shí) ， ③ 100 ??? yx 時(shí) ， 第 4 頁(yè) 共 29 頁(yè) （ 2）對(duì)數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù) )1,0(lo g ??? aaxy a 且稱對(duì)數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域?yàn)?),0( ?? ； 2）函數(shù)的值域?yàn)?R； 3）當(dāng) 10 ??a 時(shí)函 數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) 1?a 時(shí)函數(shù)為增函數(shù)； 4）對(duì)數(shù)函數(shù) xy alog? 與指數(shù)函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 互為反函數(shù)。 2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) （ 1）指數(shù)函數(shù)： ①定義：函數(shù) )1,0( ??? aaay x 且 稱指數(shù)函數(shù)， 1）函數(shù)的定義域?yàn)?R； 2）函數(shù)的值域?yàn)?),0( ?? ； 3）當(dāng) 10 ??a 時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) 1?a 時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。 ③運(yùn)算性質(zhì)：如果 ,0,0,0,0 ???? NMaa 則 1） NMMN aaa lo glo g)(lo g ?? ； 第 3 頁(yè) 共 29 頁(yè) 2） NMNM aaa logloglog ??； 3） ?? nMnM ana (lo glo g R）。 （ 3）．對(duì)數(shù)的概念 ①定義：如果 )1,0( ?? aaa 且 的 b 次冪等于 N，就是 Nab? ，那么數(shù) b 稱以 a 為底 N 的對(duì)數(shù)，記作 ,log bNa ? 其中 a 稱對(duì)數(shù)的底， N 稱真數(shù)。 ②性質(zhì)： 1） raaaa srsr ,0( ??? ? 、 ?s Q）； 2） raaa srsr ,0()( ?? ? 、 ?s Q）； 3） ?????? rbababa rrr ,0,0()( Q）。 ②性質(zhì)： 1） aa nn ?)( ； 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， aan n ? ； 3）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，??? ?? ??? )0( )0(|| aaaaaan。 三．要 點(diǎn)精講 1．指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 （ 1）根式的概念： ①定義：若一個(gè)數(shù)的 n 次方等于 ),1( ??? Nnna 且 ，則這個(gè)數(shù)稱 a 的 n 次方根。 預(yù)測(cè) 20xx 年對(duì)本節(jié)的考察是： 1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題； 2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。 2． 對(duì)數(shù)函數(shù) （ 1）理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用； （ 2）通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； 3．知道指數(shù)函數(shù) xay? 與對(duì)數(shù)函數(shù) xy alog? 互為反函數(shù)（ a＞ 0， a≠ 1）。第 1 頁(yè) 共 29 頁(yè) 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 4） — 基本初等函數(shù) 一．課標(biāo)要求 1．指數(shù)函數(shù) （ 1）通過(guò)具體實(shí)例（如細(xì)胞的分裂，考古中所用的 14C 的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景； （ 2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。 （ 3）理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)； （ 4）在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。 二．命題走向 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大。即若 axn? ，則 x 稱 a 的 n 次方根 )1 ??? Nnn 且 ， 1）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， na的 次方根記作 na ； 2）當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù) a 沒(méi)有 n 次方根，而正數(shù) a 有兩個(gè) n 次方根且互為相反數(shù)，第 2 頁(yè) 共 29 頁(yè) 記作 )0( ?? aan 。 （ 2）．冪的有關(guān)概念 ①規(guī)定： 1） ????? naaaa n (? N*； 2） )0(10 ?? aa ； n 個(gè) 3） ??? paa pp (1Q， 4） maaa n mnm ,0( ?? 、 ?n N* 且 )1?n 。 （注）上述性質(zhì)對(duì) r、 ?s R 均適用。 1）以 10 為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)， N10log 記作 Nlg ； 2）以無(wú)理數(shù) )( ??ee 為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)， Nelog ，記作 Nln ； ②基本性質(zhì)： 1）真數(shù) N 為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù)）； 2） 01log ?a ； 3） 1log ?aa ； 4）對(duì)數(shù)恒等式： Na Na ?log 。 ④換底公式： ),0,1,0,0,0(l ogl ogl og ?????? NmmaaaNN mma 1） 1loglog ?? ab ba ； 2） bmnb ana m loglog ?。 ②函數(shù)圖像： 1）指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），且圖象都在第一、二象限； 2）指數(shù)函數(shù)都以 x 軸為漸近線（當(dāng) 10 ??a 時(shí)，圖象向左無(wú)限接近 x 軸，當(dāng) 1?a 時(shí)，圖象向右 無(wú)限接近 x 軸）； 3）對(duì)于相同的 )1,0( ?? aaa 且 ，函數(shù) xx ayay ??? 與 的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱。 ②函數(shù)圖像： 1）對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)（ 0， 1），且圖象都在第一、四象限； 2）對(duì)數(shù)函數(shù)都以 y 軸為漸近線（當(dāng) 10 ??a 時(shí)，圖象向上無(wú)限接近 y 軸；當(dāng) 1?a時(shí)，圖象向下無(wú)限接近 y 軸）； 4）對(duì)于相同的 )1,0( ?? aaa 且 ，函數(shù) xyxyaa 1loglog ?? 與的圖象關(guān)于 x 軸對(duì)稱。 解：（ 1）原 式 = 41322132 )10000625(]10 2450)81000()949()278[( ????? 922)2917(21]10 2425 1253794[ ???????????； （ 2）原式 =51312121323131231313123133133131)()(2)2()2()(])2()[(aaaaababbaabaa????????? 23231616531313131312)2( aaaaaabaabaa ????????? 。 例 2． 已知 11223xx???，求 22332223xxxx??????的值 。 點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。 解：（ 1） 原式 22( l g 2 ) ( 1 l g 5 ) l g 2 l g 5 ( l g 2 l g 5 1 ) l g 2 2 l g 5? ? ? ? ? ? ? ? (1 1 ) l g 2 2 l g 5 2( l g 2 l g 5 ) 2? ? ? ? ? ?； （ 2） 原式 l g 2 l g 2 l g 3 l g 3 l g 2 l g 2 l g 3 l g 3( ) ( ) ( ) ( )l g 3 l g 9 l g 4 l g 8 l g 3 2 l g 3 2 l g 2 3 l g 2? ? ? ? ? ? ? ? 3 lg 2 5 lg 3 52 lg 3 6 lg 2 4? ? ?； （ 3）分子 = 3)2lg5( l g2lg35lg3)2( l g3)2lg33(5lg 2 ?????? ； 分母 = 41006lg26lg101100036lg)26(l g ???????； ?原式 = 43 。 例 4． 設(shè) a 、 b 、 c 為正數(shù)，且滿足 2 2 2a b c??新疆源頭學(xué)子小屋 特級(jí)教師 王新敞htp::/ 第 7 頁(yè) 共 29 頁(yè) （ 1）求證：22l o g (1 ) l o g (1 ) 1b c a cab??? ? ? ?； （ 2）若4log (1 ) 1bca???，8 2log ( ) 3a b c? ? ?，求 a 、 b 、 c 的值 。 點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見(jiàn)形式再來(lái)處理即可。 解：（ 1）原方程為 124 ??? xxb ， 11)12(22)2(24 221 ????????? ? xxxxx? ， ),1[ ????? b當(dāng) 時(shí)方程有實(shí)數(shù)解； （ 2）①當(dāng) 1??b 時(shí)， 12?x ，∴方程有唯一解 0?x ； ②當(dāng) 1??b 時(shí)， bb xx ??????? 1121)12( 2? . bb xx ???????? 112,011,02? 的解為 )11(lo g 2 bx ??? ； 第 8 頁(yè) 共 29 頁(yè) 令 ,0111011 ?????????? bbb bb x ??????? 112,01 時(shí)當(dāng) 的解為 )11(lo g 2 bx ?? ； 綜合①、②，得 1）當(dāng) 01 ??? b 時(shí)原方程有兩解： )11(lo g 2 bx ??? ； 2）當(dāng) 10 ??? bb 或 時(shí)，原方程有唯一 解 )11(lo g 2 bx ??? ； 3）當(dāng) 1??b 時(shí)，原方程無(wú)解。 例 6．（ 20xx 遼寧 文 13） 方程 22log ( 1 ) 2 log ( 1 )xx? ? ? ?的解為 。原方程變形為 2)1(l o g)1(l o g)1(l o g 2222 ?????? xxx ，即412 ??x ，得 5??x 。從而結(jié)果為 5 。 題型 4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì) 例 7． 設(shè) 1232 , 2( ) ( ( 2 ) )l o g ( 1 ) 2 .xexf x f fxx???? ? ????＜ ， 則 的 值 為，（ ） A． 0 B． 1