【正文】 1.例3 求微分方程y162。162。+y=xcos2x的一個(gè)特解.解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,且f(x)屬于elx[Pl(x)coswx+Pn(x)sinwx]型(其中l(wèi)=0, w=2, Pl(x)=x, Pn(x)=0）.與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為y162。162。+y=0,它的特征方程為r2+1=0.由于這里l+iw=2i 不是特征方程的根, 所以應(yīng)設(shè)特解為y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.把它代入所給方程, 得(3ax3b+4c)cos2x(3cx+3d+4a)sin2x=xcos2x.比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù), 得 a=, b=0, c=0, d=于是求得一個(gè)特解為 y*=xcos2x+sin2x.提示:y*=(ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x.y*162。=acos2x2(ax+b)sin2x+csin2x+2(cx+d)cos2x,=(2cx+a+2d)cos2x+(2ax2b+c)sin2x,y*162。162。=2ccos2x2(2cx+a+2d)sin2x2asin2x+2(2ax2b+c)cos2x=(4ax4b+4c)cos2x+(4cx4a4d)sin2x.y*162。162。+ y*=(3ax3b+4c)cos2x+(3cx4a3d)sin2x. 134.91349高等數(shù)學(xué)教案236。3a=1239。3b+4c=014由237。, 得a=, b=0, c=0, d=. 3c=039239。238。4a3d=0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）第三篇：167。 數(shù)列的極限函數(shù)研究?jī)蓚€(gè)變量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而極限則是研究自變量變化時(shí)，因變量的變化趨勢(shì)。―割圓術(shù)：用圓內(nèi)接正多邊形面積逼近圓面積圓內(nèi)接正六邊形面積記為A1十二 A2二十四 A36180。2n1 An(n206。N)A1,A2,L,An,L構(gòu)成一列有次序的數(shù)――→大，An174。A(圓面積)。不論n如何大，只要n取定, An185。174。165。，即內(nèi)接正多邊形邊數(shù)無限增加，在這個(gè)過程中，內(nèi)接正多邊形的面積無限接近于圓，同時(shí)An→確定的數(shù)值（即圓的面積）數(shù)學(xué)上就稱為的極限（n174。165。）。極限方法是高數(shù)中一個(gè)基本方法。――xn=f(n)，D為正整數(shù)。:當(dāng)項(xiàng)數(shù)n無限增大時(shí)，如果xn無限接近于一個(gè)確定的常數(shù)a，.“eN”def 當(dāng)e0，不論它多么小，總$N0,39。對(duì)于nN的一切xn，恒有xnae成立，則limxn=，就稱是發(fā)散的。n174。165。 *（任意性）*，隨e給定而選定，一般地e越小，N越大，N大到何種程度，取決于使xnae成立時(shí)xn的項(xiàng)數(shù)n的取值，定義中僅要求N有關(guān)，并不一定要找出最小的自然數(shù)N.*3幾何意義：nN時(shí)，所有的xn都落在(ae,a+e)內(nèi)，即數(shù)列只有有限個(gè)（最多只有N個(gè)）在區(qū)間之外。*4利用定義不能直接求極限。1例1 證明lim(1+)=1n174。165。1+n1111=e，222。n1 證：e0，要使1+1+n1+ne1111=取N=[1],則當(dāng)nN時(shí),有1+e, 1+n1+ne1 ∴l(xiāng)im(1+)=1n174。165。1+n limxn=a的證明步驟：n174。165。 1)給定e02)要使xnae,解出N=N(e)3)取N，即N$.4)當(dāng)nN時(shí)，有xnae5)下結(jié)論。n!例2 證明 limn=0n174。165。nn!證：e0，要使n0＜e，nn!nn111只要n0＝Lennnnnn!11取 N=[],則當(dāng)nN=[]時(shí)，有n0eneen!∴l(xiāng)imn=0 n174。165。n 例3 174。165。(n+1n=0 n+1ne)證：e0，要使只要111e,n24en+1+n2n1取N=[2]則當(dāng)nN時(shí)有n+1ne, 4e∴l(xiāng)imn174。165。(n+1n=) 例4 設(shè)q1，證明等比數(shù)列1,q,q,L,qn1,L的極限是0。e 證：e0(e1)∵xn0=qlne取自然對(duì)數(shù)，解得∴n1+，lnqlnen1]，則當(dāng)nN時(shí)有xn0=qe 取N=[1+lnq limqn174。165。n1=0。定理１ 數(shù)列不能收斂于兩個(gè)不同的極限。（1）有界概念：數(shù)列xn，若$M0，對(duì)一切xn有xn163。M，稱xn有界。（2）收斂數(shù)列的有界性定理2 如果數(shù)列xn收斂，那么數(shù)列xn一定有界。若xn無界222。xn發(fā)散。xn有界，則不一定收斂。如xn=(1)n+1,即1,1,1,1,L,(1)n+1,L∴數(shù)列有界是收斂的必要條件，非充分條件。子數(shù)列：在數(shù)列{xn}中任意抽取無限多項(xiàng)并保持這些項(xiàng)在原數(shù)列中的次序，得到的一個(gè)數(shù)列為原數(shù)列{xn}的子數(shù)列。xnk定理3 若{xn}收斂于a，則它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是a。一個(gè)發(fā)散的數(shù)列也可能有收斂的子數(shù)列。*小結(jié)：本節(jié)介紹了數(shù)列極限的定義，理解利用定義證明數(shù)列的極限，知道收斂數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)。{}第四篇：第一章：函數(shù)與極限教學(xué)目的 1。正確理解函數(shù)的概念，掌握函數(shù)的表示方法，并會(huì)建立簡(jiǎn)單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式； 2． 正確理解函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性和有界性；3．理解復(fù)合函數(shù)及分段函數(shù)的概念，了解反函數(shù)及隱函數(shù)的概念； 4． 掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖形。教學(xué)重點(diǎn) 分段函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，初等函數(shù)。教學(xué)難點(diǎn) 有界性，初等函數(shù)的判斷。教學(xué)內(nèi)容： 前言名稱：高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程一學(xué)年主要內(nèi)容：一元、多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)、矢量代數(shù)、空間解析幾何、無窮級(jí)數(shù)和微分方程。教學(xué)目的：掌握高等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)，基本理論，基本計(jì)算方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力，辯證的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下一定的基礎(chǔ)，還要為學(xué)習(xí)專業(yè)的后繼課程準(zhǔn)備必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第一節(jié)：映射與函數(shù)一、集合集合概念具有某種特定性質(zhì)的事物的總體叫做集合。組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素 表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)A={a1,a2,a3,LL}2)A={xx的性質(zhì)P}元素與集合的關(guān)系：a207。Aa206。A一個(gè)集合，若它只含有有限個(gè)元素，則稱為有限集；不是有限集的集合稱為無限集。常見的數(shù)集：N，Z，Q，R，N+元素與集合的關(guān)系：A、B是兩個(gè)集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，則稱A是B的子集，記作A204。B。如果集合A與集合B互為子集，則稱A與B相等，記作A=B 若作A204。B且A185。B則稱A是B的真子集?？占痜： f204。A集合的運(yùn)算并集A200。B ：A200。B={x|x206。A或x206。B} 交集A199。B ：A199。B={x|x206。A且x206。B}差集AB：AB={x|x206。A且x207。B}C全集I、E補(bǔ)集A：集合的并、交、余運(yùn)算滿足下列法則： 交換律、A200。B=B200。AA199。B=B199。A 結(jié)合律、(A200。B)200。C=A200。(B200。C)(A199。B)199。C=A199。(B199。C)分配律(A200。B)199。C=(A199。C)200。(B199。C)(A199。B)200。C=(A200。C)199。(B200。C)對(duì)偶律(A200。B)c=AcIBc(A199。B)c=Ac200。Bc 笛卡兒積AB={(x,y)|x206。A且y206。B}區(qū)間和鄰域開區(qū)間(a,b)閉區(qū)間[a,b] 半開半閉區(qū)間(a,b]o[a,b)有限、無限區(qū)間鄰域：U(a)U(a,d)={xadpxpa+d}a 鄰域的中心d鄰域的半徑去心鄰域U(a,d)左、右鄰域二、映射定義設(shè)X，Y是兩個(gè)非空集合，如果存在一個(gè)法則f，使得對(duì)X中的每一個(gè)元素x，按法則f，在Y中有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，則稱f為從X到Y(jié)的映射，記作f：X174。Y其中y 稱為元素x的像，并記作f(x)，即y=f(x)注意：1）集合X；集合Y；對(duì)應(yīng)法則f2）每個(gè)X有唯一的像；每個(gè)Y的原像不唯一3)單射、滿射、雙射映射、復(fù)合映射三、函數(shù)函數(shù)的概念：定義：設(shè)數(shù)集D204。R，則稱映射f:D174。R為定義在D上的函數(shù)記為y=f(x),x206。D自變量、因變量、定義域、值域、函數(shù)值用f、g、j函數(shù)相等：定義域、對(duì)應(yīng)法則相等自然定義函數(shù)；單值函數(shù)；多值函數(shù)、：１)ｙ＝２2)ｙ＝x236。13)符號(hào)函數(shù) y=239。x=0237。0 239。1xp0238。4)取整函數(shù) y=[x]（階梯曲線）5)分段函數(shù) y=237。xf0236。2x238。1+x0163。x163。1xf1函數(shù)的幾種特性1）函數(shù)的有界性(上界、下界；有界、無界)有界的充要條件：既有上界又有下界。注：不同函數(shù)、不同定義域，有界性變化。2)函數(shù)的單調(diào)性（單增、單減）在xx2點(diǎn)比較函數(shù)值f(x1)與f(x2)的大?。ㄗⅲ号c區(qū)間有關(guān)）3)函數(shù)的奇偶性(定義域?qū)ΨQ、f(x)與f(x)關(guān)系決定)圖形特點(diǎn)(關(guān)于原點(diǎn)、Y軸對(duì)稱)4)函數(shù)的周期性(定義域中成立：f(x+l)=f(x))反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)反函數(shù)：函數(shù)f:D174。f(D)是單射，則有逆映射f函數(shù)與反函數(shù)的圖像關(guān)y=x于對(duì)稱1(y)=x，稱此映射f1為f函數(shù)的反函數(shù)復(fù)合函數(shù)：函數(shù)u=g(y)定義域?yàn)镈1，函數(shù)y=f(x)在D上有定義、且f(D)204。D1。則u=g(f(x))=gof(x)為復(fù)合函數(shù)。(注意：構(gòu)成條件)函數(shù)的運(yùn)算和、差、積、商(注：只有定義域相同的函數(shù)才能運(yùn)算)初等函數(shù)：1)冪函數(shù)：y=x2)指數(shù)函數(shù)：y=a3)對(duì)數(shù)函數(shù) y=loga(x)4)三角函數(shù)y=sin(x),y5)反三角函數(shù)ax=cos(x),y=tan(x),y=cot(x)y=arcsin(x)，y=arccox)s(y=arctan(x)y=arccot(x)以上五種函數(shù)為基本初等函數(shù)6)雙曲函數(shù)ex+exexex==shxchx22shxexexthx==xchxe+ex注：雙曲函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性。雙曲函數(shù)公式sh(x+y)=shxchy+chxshysh(xy)=shxchychxshych(x+y)=chxchy+shxshy ch(xy)=chxchyshxshyy=arshx反雙曲函數(shù)：y=archx y=arthx第五篇：scratch教案——變量研究課教案教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：了解變量的定義；學(xué)會(huì)使用廣播；學(xué)會(huì)設(shè)置變量。過程與方法：學(xué)會(huì)多個(gè)角色之間的配合使用；學(xué)會(huì)程序的調(diào)試； 情感態(tài)度與價(jià)值觀：認(rèn)真細(xì)致的態(tài)度，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)某绦蛩枷?。教學(xué)重點(diǎn)：變量的設(shè)置和使用 教學(xué)難點(diǎn)：初步了解變量的含義和使用 教學(xué)過程：導(dǎo)入：請(qǐng)一位同學(xué)到前面來，玩一個(gè)游戲“貓捉老鼠”。這個(gè)游戲好玩嗎？其實(shí)，這個(gè)軟件的編程并不難，只要了解程序的組成，我們也可以做出來。哪位同學(xué)能為我們解讀一下角色“貓”和角色“老鼠”的程序？（學(xué)生解讀程序）利用你們玩電腦游戲的經(jīng)驗(yàn)，說說這個(gè)軟件有哪些問題或不足？（預(yù)期答案：沒有計(jì)數(shù)）教師：既然是一款益智游戲，就應(yīng)當(dāng)有得分的顯示。下面，我們來為游戲增加記分的功能。新知：今天，我們要接觸一個(gè)新的知識(shí)：“變量”。變量的定義：是指沒有固定的值，可以改變的數(shù)，它可以保存供后續(xù)腳本使用的信息。我們先在變量模塊組中，設(shè)置一個(gè)變量“score”（得分、記分）。雖然在Scratch中對(duì)變量的名字沒有過多的要求，但是，還是建議名字有具體的意義，便于識(shí)別。對(duì)于游戲的記分功能，大家能否給我一些建議？（預(yù)期答案：游戲開始，計(jì)數(shù)為0；抓到1次，計(jì)數(shù)+1）請(qǐng)你們找到能夠?qū)崿F(xiàn)這兩個(gè)功能的模塊，并結(jié)合重復(fù)模塊，完善程序，實(shí)現(xiàn)記分功能。學(xué)生：以小組為單位，探究實(shí)現(xiàn)記分功能的方法。教師巡視指導(dǎo)。（如果學(xué)生能夠完成）請(qǐng)一位同學(xué)，介紹一下他的做法和思路。（如果學(xué)生沒有完成）我們大家來分析一下，只需要兩個(gè)步驟：當(dāng)點(diǎn)擊綠旗開始后，將變量變?yōu)?；加入重復(fù)+1程序。我們看看效果。請(qǐng)沒有完成的同學(xué)，完成自己的游戲程序，并看看效果。小結(jié)：在程序中我們引入了一個(gè)變量，它代表著一個(gè)不斷變化的數(shù)，并能根據(jù)我們的需要計(jì)算和存儲(chǔ)。（語(yǔ)言描述變量記分的過程）下面，我們來看“擲骰子”游戲。比一比，看誰(shuí)的點(diǎn)數(shù)多。你們想做一個(gè)這樣的游戲程序嗎？這個(gè)程序非常簡(jiǎn)單，只要大家利用今天學(xué)習(xí)的變量，就可以制作出來。大家觀察游戲過程，想一想，哪個(gè)地方或?qū)ο髴?yīng)該用變量？（預(yù)期答案：骰子）下面，我們來分析這個(gè)游戲的程序：因?yàn)轺蛔拥牟淮_定性，會(huì)隨機(jī)出現(xiàn)一個(gè)1—6之間的數(shù)，因此，要設(shè)置一個(gè)變量，來代替這個(gè)數(shù)。游戲中有兩個(gè)角色，學(xué)生和骰子。學(xué)生的動(dòng)作是：讓rand1變個(gè)數(shù)，然后發(fā)出擲骰子的命令。骰子的動(dòng)作是：接到命令后，不斷滾動(dòng)，然后停止，顯示對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)。學(xué)生的程序包括：點(diǎn)綠旗開始，為rand1隨機(jī)賦予數(shù)（1—6之間的數(shù)），發(fā)出命令；骰子的程序包括：接到命令后，變成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)數(shù)（造型）?，F(xiàn)在以小組為單位，討論，如何實(shí)現(xiàn)學(xué)生的程序和骰子的程序。（教師巡視指導(dǎo)，學(xué)生探究思考。）（在學(xué)生解決主要程序后）教師問：骰子滾動(dòng)的效果如何實(shí)現(xiàn)？（教師給出提示，學(xué)生思考重復(fù)的次數(shù)）問：讓學(xué)生喊出結(jié)果如何實(shí)現(xiàn)？用到什么模塊？（學(xué)生解決）教師小結(jié)，梳理學(xué)生和一個(gè)骰子的程序結(jié)構(gòu)。拓展：添加一個(gè)骰子，要求：點(diǎn)擊綠旗，兩個(gè)骰子不斷變化，并隨機(jī)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)，博士讀出總點(diǎn)數(shù)。（學(xué)生動(dòng)手完成，教師巡視指導(dǎo)）總結(jié)：今天完成了兩個(gè)程序的設(shè)計(jì)，同學(xué)們，你們都能在Scratch中實(shí)現(xiàn)哪些效果？誰(shuí)能說一下你對(duì)變量的了解呢？