利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問(wèn)題-資料下載頁(yè)
2024-10-26 15:20本頁(yè)面
【正文】 ab證明：0g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2 2證明：設(shè)g(x)=xlnx,g39。(x)=lnx+1 設(shè)F(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)2則F39。(x)=g39。(x)2[g(a+xa+x)]=lnxln22當(dāng)0xa時(shí)，F(xiàn)39。(x)0，當(dāng)xa時(shí)，F(xiàn)39。(x)0 因此，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x=a 時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值F(a)=0又ba，所以0g(a)+g(b)2g(a+b)2設(shè)G(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)(xa)ln2，則G39。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當(dāng)x0時(shí)，G39。(x)0，因此G（x）在區(qū)間(0,+165。)內(nèi)為減函數(shù)； 因?yàn)镚(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。2評(píng)注：本題在設(shè)輔助函數(shù)時(shí)，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，因此，設(shè)輔助函數(shù)時(shí)就把其中一個(gè)端點(diǎn)設(shè)為自變量，范例中選用右端點(diǎn)，讀者不妨設(shè)為左端點(diǎn)試一試，就更能體會(huì)到其中的奧妙了。通過(guò)以上例題，我們可以體會(huì)到用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式的基本要領(lǐng)和它的簡(jiǎn)捷。總之，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵是“構(gòu)造函數(shù)”，解決問(wèn)題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用的非常廣泛，因此，希望同學(xué)門(mén)能認(rèn)真對(duì)待，并通過(guò)適當(dāng)?shù)木毩?xí)掌握它。第五篇：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式克維教育（82974566）中考、高考培訓(xùn)專家鑄就孩子輝煌的未來(lái)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（三）核心考點(diǎn)五、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式一、函數(shù)類不等式證明函數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明不等式f(x)g(x)（f(x)g(x)）的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明f(x)g(x)0（f(x)g(x)0），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)=f(x)g(x)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)h(x)的單調(diào)性或證明函數(shù)h(x)的最小值（最大值）大于或等于零（小于或等于零）。例已知函數(shù)f(x)=lnxax2+(2a)x（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）設(shè)a0，證明：當(dāng)0x111時(shí)，f(+x)f(x)； aaa（3）若函數(shù)f(x)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f`(x0)0【變式1】已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)x，求證：恒有11163。ln(x+1)163。x成立。x+1x【變式2】（1）x185。0，證明：e1+xx2ln(1+x)(2)x0時(shí)，求證：x2二、常數(shù)類不等式證明常數(shù)類不等式證明的通法可概括為：證明常數(shù)類不等式的問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明不等式 f(a)f(b)的問(wèn)題，在根據(jù)a,b的不等式關(guān)系和函數(shù)f(x)的單調(diào)性證明不等式。例已知mne,，求證：nm例已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)（1）求f(x)的極小值；（2）若a,b0，求證：lnalnb179。1mnx，1+xb a【變式3】已知f(x)=lnx，g(x)=127，直線l與函數(shù)f(x)、g(x)的 x+mx+（m0）22圖像都相切，且與函數(shù)f(x)的圖像的切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1．（Ⅰ）求直線l的方程及m的值；（Ⅱ）若h(x)=f(x+1)g162。(x)（其中g(shù)162。(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)），求函數(shù)h(x)的最大值；（Ⅲ）當(dāng)0ba時(shí)，求證：f(a+b)f(2a)ba． 2a【變式4】求證：bablnbabaa(0ab)1+x)x163。0(x1)【變式5】證明：ln（ln22ln32lnn2(n1)(2n+1)【引申】求證： 2+2+L+2(n179。2,n206。N*)23n2(n+1)【變式6】當(dāng)t1時(shí)，證明：1lntt1 1tx21(x185。1)，各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}滿足4Sngf()=1，【引申】已知函數(shù)f(x)=an2(x1)1n+11（1）求證：ln； an+1nan（2）設(shè)bn=1，Tn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：T20081ln2008T2007。an
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