專題09導(dǎo)數(shù)與不等式的解題技巧-資料下載頁(yè)
2025-03-24 05:51本頁(yè)面
【正文】 明：∵，∴，要證，即證∵，只要證，即證令，即證，也即證設(shè)，∵∴在為減函數(shù)故，即，所以成立.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略() ，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（）根據(jù)條件，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).． Ⅰ若函數(shù)的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；Ⅱ若當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；Ⅲ若，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，求證：．【答案】Ⅰ；Ⅱ；證明見解讀.【解讀】Ⅰ求出函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求解函數(shù)的最大值，然后求出即可；Ⅱ化簡(jiǎn)恒成立的不等式為，得到令，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，得到，然后求解的范圍；Ⅲ，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，可得，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出，得到，即可證明結(jié)論．【詳解】Ⅰ函數(shù)的定義域?yàn)橐驗(yàn)?，所以在?nèi)，單調(diào)遞增；在內(nèi)，單調(diào)遞減．所以函數(shù)在處取得唯一的極大值，即的最大值．因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為，所以，解得Ⅱ因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒成立，所以，所以，即．令，則因?yàn)椋裕栽趩握{(diào)遞增所以，所以，所以即實(shí)數(shù)的取值范圍是；Ⅲ由Ⅰ可知：，．所以因?yàn)椋呛瘮?shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以．因?yàn)榱睿瑒t．所以在，單調(diào)遞減．所以．所以，即．由Ⅰ知，在單調(diào)遞增，所以，所以【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值、證明不等式以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 數(shù)形結(jié)合( 圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數(shù). （八）不等式與參數(shù)例．【江西省南康中學(xué)屆高三數(shù)學(xué)試卷】已知函數(shù). （）討論函數(shù)的單調(diào)性； （）當(dāng)時(shí)，若方程在區(qū)間上有唯一的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （）當(dāng)＞時(shí)，若對(duì)于區(qū)間[，]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且＜，都有成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（）見解讀；（）；（）【解讀】（）求得函數(shù)定義域后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)分成兩類，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（）化簡(jiǎn)，由此求得的取值范圍.（）由（），構(gòu)造函數(shù)，利用在上遞減，導(dǎo)數(shù)小于零，分離出常數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【詳解】（）（）的定義域是（，∞）， ′（）， ≥時(shí)，′（）＞， 故≥時(shí)，（）在（，∞）遞增； ＜時(shí)，方程的判別式為： △＞， 令′（）＞，解得：＞， 令′（）＜，解得：＜＜， 故＜時(shí)，（）在（，∞）遞增，在（，）遞減； （）時(shí)，由題意得： ， 整理得：， 令（），′（）， 令′（）＞，解得：∈（，），函數(shù)（）在（，）遞增， 令′（）＜，解得：∈（，∞），函數(shù)（）在（，∞）遞減； 若方程（）在[，∞）上有唯一實(shí)數(shù)根， 須求（）在[，∞）上的取值范圍， （）≤（），又（）＞，（＞）， ∴的范圍是（）≤≤， 即≤≤； 令（），則′（）＞， 故（）在[，]遞增， 故（）∈[，］， 故≤． 實(shí)數(shù)的最大值為. 21 / 21
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