蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末總結(jié)-資料下載頁
2024-12-05 09:21本頁面
【導(dǎo)讀】先設(shè)切點(diǎn)為Q，則切線方程為y－y1＝f′，再由切線過點(diǎn)P. 確定函數(shù)f的定義域；解方程f′＝0的根；若左負(fù)右正，則f在此根處取得極小值；求f在(a，b)內(nèi)的極值；例3設(shè)23<a<1，函數(shù)f＝x3－32ax2＋b的最大值為1，最小值為－62，已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍時(shí)，可以有兩種方法：一是利用函數(shù)單調(diào)性的定義，二是利用導(dǎo)數(shù)法．利用導(dǎo)數(shù)法更為簡(jiǎn)捷．在解決問題的過程中主要處理好等號(hào)的問題，則由導(dǎo)數(shù)定義得切線的斜率k＝f′＝3x20－3，即x30－3x0＝3x0＋16，因此，f的單調(diào)增區(qū)間是??????又f(－1)－f＝12(a＋1)2(a－2)<0，所以－32a＝－62，所以a＝63.要使f在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，則f′≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，∵x2>0，∴2x3－a≥0，例5解∵f＝x3－12x2－2x＋5，令f′＝0，即3x2－x－2＝0，
【正文】 ′( x)＝ 2x－ ax2＝ 2x3－ ax2 . 要使 f(x)在 [2，＋ ∞) 上是單調(diào)遞增的， 則 f′( x)≥0 在 x∈ [2，＋ ∞) 上恒成立， 即 2x3－ ax2 ≥0 在 x∈ [2，＋ ∞) 上恒成立． ∵ x20， ∴ 2x3－ a≥0 ， ∴ a≤2 x3在 x∈ [2，＋ ∞) 上恒成立． ∴ a≤ (2x3)min. ∵ x∈ [2，＋ ∞) ， y＝ 2x3是單調(diào)遞增的， ∴ (2x3)min＝ 16， ∴ a≤16. 當(dāng) a＝ 16時(shí)， f′( x)＝ 2x3－ 16x2 ≥0 ( x∈ [2，＋ ∞)) 有且只有 f′(2) ＝ 0， ∴ a的取值范圍是 a≤16. 例 5 解 ∵ f(x)＝ x3－ 12x2－ 2x＋ 5， ∴ f′( x)＝ 3x2－ x－ 2. 令 f′( x)＝ 0，即 3x2－ x－ 2＝ 0， ∴ x＝ 1或 x＝－ 23. 當(dāng) x∈ ??? ???－ 1，－ 23 時(shí)， f′( x)0， f(x)為增函數(shù)； 當(dāng) x∈ ??? ???－ 23， 1 時(shí)， f′( x)0， f(x)為減函數(shù)； 當(dāng) x∈ (1,2)時(shí)， f′( x)0， f(x)為增函數(shù)． 所以，當(dāng) x＝－ 23時(shí)， f(x)取得極大值 f??? ???－ 23 ＝ 15727； 當(dāng) x＝ 1時(shí)， f(x)取得極小值 f(1)＝ 72. 又 f(－ 1)＝ 112 ， f(2)＝ 7， 因此， f(x)在 [－ 1,2]上的最大值為 f(2)＝ 7. 要使 f(x)m恒成立，需 f(x)maxm，即 m7. 所以，所求實(shí)數(shù) m的取值范圍是 (7，＋ ∞) ．
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