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高中數(shù)學(xué)北師大版選修2-2第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用綜合測試-資料下載頁

2024-12-05 06:26本頁面

【導(dǎo)讀】[解析]畫出圖像即可知y=x2存在極值f=0.[解析]∵y′=xx+-xx+x+2=2x+2,∴切線方程為y+1=2(x+1),即y=2x+1.3.已知對任意實(shí)數(shù)x,有f(-x)=-f,g(-x)=g.當(dāng)x>0時,f′>0,g′>0,又由x>0時,f是增函數(shù),g是增函數(shù),[解析]f′=3x2+2ax+7A.當(dāng)Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21時,f′≥0恒。8.設(shè)函數(shù)f在定義域內(nèi)可導(dǎo),y=f的圖象如下。9.函數(shù)f=sinx+2xf′(π3),f′為f的導(dǎo)函數(shù),令a=-12,b=log32,則。11.已知函數(shù)f=13ax3+12ax2-2ax+2a+1的圖。[解析]f′=ax2+ax-2a=a(x-1)(x+2),∴-65<a<-316,綜上知,-65<a<-316.13.若函數(shù)f=xx2+a(a>0)在[1,+∞]上的最大值為33,則a的值為________.

  

【正文】 32,其中 a∈ R,且曲線 y= f(x)在點(diǎn) (1, f(1))處的切線垂直于 y= 12x. (1)求 a的值; (2)求函數(shù) f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值. [解析 ] (1)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?(0,+ ∞) , f′( x)= 14- ax2- 1x,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,且切線與 y= 12x垂直. 得 f′(1) = 14- a- 1=- 2, ∴ a= 54. (2)由 (1)知 f(x)= x4+ 54x- lnx- 32, ∴ f′( x)= 14- 54x2- 1x= x2- 4x- 54x2 . 令 f′( x)= 0解得 x=- 1或 5,- 1不在定義域之內(nèi)故舍去. ∴ 當(dāng) x∈ (0,5), f′( x)0, ∴ f(x)在 (0,5)遞減. 當(dāng) x∈ (5,+ ∞) , f′( x)0, ∴ f(x)在 (5,+ ∞) 遞增. ∴ f(x)的增區(qū)間為 (5,+ ∞) ,減區(qū)間為 (0,5) ∴ f(x)在 x= 5時取極小值 f(5)= 54+ 14- ln5- 32=- ln5. f(x)= ex- ax- 2. (1)求 f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若 a= 1, k為整數(shù),且當(dāng) x0時, (x- k)f ′( x)+ x+ 10,求 k的最大值. [分析 ] (1)先確定函數(shù)的定義域,然后求導(dǎo)函數(shù) f ′( x),因不確定 a 的正負(fù),故應(yīng)討論,結(jié)合 a 的正負(fù)分別得出在每一種情況下 f ′( x)的正負(fù),從而確立單調(diào)區(qū)間; (2)分 離參數(shù) k,將不含有參數(shù)的式子看作一個新函數(shù) g(x),將求 k 的最大值轉(zhuǎn)化為求 g(x)的最值問題. [解析 ] (1)f(x)的定義域?yàn)?(- ∞ ,+ ∞) , f ′( x)= ex- A. 若 a≤0 ,則 f ′( x)0,所以 f(x)在 (- ∞ ,+ ∞) 單調(diào)遞增. 若 a0,則當(dāng) x∈ (- ∞ , lna)時, f ′( x)0; 當(dāng) x∈ (lna,+ ∞) 時, f ′( x)0, 所以 f(x)在 (- ∞ , lna)單調(diào)遞減,在 (lna,+ ∞) 單調(diào)遞增. 綜上, a≤0 時 f(x)增區(qū)間 (- ∞ ,+ ∞) a0時 f(x)增區(qū)間 (lna,+ ∞) ,減區(qū)間 (- ∞ , lna) (2)由于 a= 1,所以 (x- k)f ′( x)+ x+ 1= (x- k)(ex- 1)+ x+ 1. 故當(dāng) x0時, (x- k)f ′( x)+ x+ 10等價于 kx+ 1ex- 1+ x (x0). ① 令 g(x)= x+ 1ex- 1+ x, 則 g′( x)= - xex- 1x- 2+ 1=ex x- x-x- 2 . 由 (1)知,函數(shù) h(x)= ex- x- 2在 (0,+ ∞) 單調(diào)遞增.而 h(1)0, h(2)0,所以 h(x)在 (0,+ ∞) 存在唯一的零點(diǎn).故 g′( x)在 (0,+ ∞) 存在唯一的零點(diǎn).設(shè)此零點(diǎn)為 α ,則α ∈ (1,2). 當(dāng) x∈ (0, α )時, g′( x)0; 當(dāng) x∈ (α ,+ ∞) 時, g′( x)0. 所以 g(x)在 (0,+ ∞) 的最小值為 g(α ). 又由 g′( α )= 0,可得 eα = α + 2, 所以 g(α )= α + 1∈ (2,3). 由于 ① 式等價于 kg(α ),故整數(shù) k的最大值為 2. [點(diǎn)評 ] 本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及參數(shù)的取值范圍的求法.利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍時,經(jīng)常需將參數(shù)分離出來,轉(zhuǎn)化為恒成立問題,最終轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,求得參數(shù)的取值范圍.
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