韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用-資料下載頁
2024-12-04 07:53本頁面
【導(dǎo)讀】容之一，其知識脈絡(luò)貫穿于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終.理在解析幾何中的應(yīng)用，等等.但這些研究中幾乎很少涉及韋達(dá)定理在三角關(guān)系中的應(yīng)用，了計算步驟，同時解題的思路也比較清晰.稱為“韋達(dá)定理”．韋達(dá)最重要的貢獻(xiàn)是對代數(shù)學(xué)的推進(jìn)，他最早系統(tǒng)地引入代數(shù)符號，韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，它是初中課程中的重要定理,分析:該題條件中,兩根的平方和等于8,關(guān)于兩根的對稱式的條件,故可利用韋達(dá)定理解題.例3已知且，求.尋找以、為根的方程構(gòu)造韋達(dá)定理是關(guān)鍵.顯然，與是方程的兩個根，解之得，韋達(dá)定理在代數(shù)中的應(yīng)用主要有：求代數(shù)式的值、求最值、取值范圍等.的一元二次方程進(jìn)行求解.當(dāng)=15，=8時，、是方程的兩根，且，而方程沒有正整數(shù)根，不合題意，舍去.長之比和面積之比等于，則的最小值為_____.因為，所以即，又，間的某些關(guān)系等.
【正文】 例 26 已知 的三個內(nèi)角 、 、 成等差數(shù)列，且 ，求角 、 、 的大小 . 解：因為 、 、 成等差數(shù)列，所以 又 ，所以 ，即 ，從而 因為 ， （ 1） 所以 （ 2） 由（ 1）（ 2）及韋達(dá)定理逆定理知 、 是方程 的 兩根，將上述方程左邊分解因式得 ，解得 當(dāng) 時， 當(dāng) 時， （逆定理）求三角形面積 例 27 已知不等邊 中， ，三角形的最大邊與最小邊是方程 的兩根，求 . 解：因為不等邊 中， ，所以 、 為最大邊與最小邊 因而 、 是方程 的兩根，所以 =333 于是 = = = . 例 28 直角三角形的周長為 20，求它的最大面積 .（ 1991年南昌市初中數(shù)學(xué)競賽） 解：設(shè)直角三角形的直角邊為 、 ，斜邊為 ，則 ， 所以 ， 由韋達(dá)定理逆定理知 、 是方程 的兩個根，再由判別 式定理得 解得 或 （舍去） 由此知，當(dāng) 時， 有最大值，且 = . 例 29 在 中， 、 、 分別是 、 、 的對邊， 是 邊上一點，且 ，設(shè) ，求證：（ 1） （ 2） 圖 3 證明：如圖 3所示， 和 中，由余弦定理有 ， 所以 ， 于是， 、 是方程 的兩個根 由韋達(dá)定理有 ， . 4韋達(dá)定理在應(yīng)用中的思考 韋達(dá)定理作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要定理之一，應(yīng)用十分廣泛，但由于通常對于韋達(dá)定理的應(yīng)用是通過大量的公式變形和混合運算來達(dá)到目的，這就需要有一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和運算能力，而直接在定理的兩個公式和推導(dǎo)思路中另辟蹊徑，將數(shù)與數(shù)的運算先轉(zhuǎn)變?yōu)樽帜赶禂?shù)間的關(guān)系，在最后一步再代入系數(shù)， “ 一步登天 ” ，似乎更為便捷，也易于理解 . 構(gòu)造一方程，使方程兩根為一元二次方程 的 (1)相反數(shù)； (2)3倍 (1)解一：設(shè)方程 的兩根為 、 ，則 ， 因為 ， 所以 、 為方程 的兩根，從而所求方程為 . 解二：對于任意一元二次方程 ，有 所以 ，從而 、 可看作方程 的根，本題中， ， ，故所求方程為 . (2)解一： 因為 ， 所以 從而以 、 為兩根的方程為 . 解二：對于任意一元二次方程 ，有 所以 ，從而以 、 為兩根的方程為 當(dāng) 時，所求方程為 . 此例中，由于構(gòu)造方程的類型不外乎這幾種，而搬弄字母比搬弄數(shù)字方便得多，且結(jié)果往往與一般形式 有相似之處 .推導(dǎo)過程雖同常規(guī)解法相去無幾，然而當(dāng)數(shù)字較繁雜時，優(yōu)劣繁簡一目了 然 . 在初中階段，韋達(dá)定理往往局限在一元二次方程中，事實上韋達(dá)定理的真正魅力在于對任意一元高次方程系數(shù)的處理工作，因而在構(gòu)造一元高次方程中韋達(dá)定理同樣顯示了它的獨到之處 . 首先，對韋達(dá)定理進(jìn)行新推導(dǎo)：設(shè)方程 的根為 、 ，得 ， 所以 ， ， ， 設(shè)方程 的根為 、 、 ，得 ， 所以 ， ， ， ， ， ， ?? 更一般地，設(shè)方程 ? 的根為 ? 得 ? , ? ? ? 所以 ? , ? ， ? ， ?? 若根皆為原方程根的相反數(shù)，則該方程為 ? . 若根皆為原方程根的倒數(shù)，則該方程為 ? . 若根皆為原方程根的 倍，則該方程為 ? . 5結(jié)語 本文主要利用韋達(dá)定理及相關(guān)數(shù)學(xué)知識對韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用作了一定研究，并對其進(jìn)行分析、歸類、 補充、反思、改進(jìn)和推廣，著重分析探究韋達(dá)定理在三角關(guān)系中的應(yīng)用 .韋達(dá)定理在三角關(guān)系中的應(yīng)用是近年高考的一個命題趨向，也是試題改革的一個熱點 .韋達(dá)定理在解決此類問題中起著重要作用，它利用設(shè)而不求的方法進(jìn)行求解，化繁為簡，同時解題的思路也比較清晰 .
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