韋達(dá)定理在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用(文件)
【正文】 ＝ ＝ ＝ 證畢 . 例 10 已知 ，其中 、 、 為實(shí)數(shù) .求證： . 分析：根據(jù)題目特點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)一元二次方程，使不等式中涉及的量成為方程的系數(shù)，然后令 . 證明： 因?yàn)? （ 1） 所以 ， 于是 （ 2） 由（ 1）（ 2）知， 、 是方程 的根 因?yàn)? 、 是實(shí)數(shù)，所以 ，解得 同理可證 ， . 例 11 如果一元二次方程 的兩根之比為 2： 3，求證： .（初中《代數(shù)》第三冊(cè) ) 證明： 設(shè)兩根為 則 （ 1） （ 2） 由（ 1）（ 2）得 ，即 . 韋達(dá)定理在解析幾何中的應(yīng)用主要有：求直線方程、點(diǎn)的軌、弦長(zhǎng)；解決圓錐曲線有關(guān)對(duì)稱問題、定點(diǎn)問題、存在性問題等 . 例 12 過點(diǎn) （ 0， 1）作一直線 ，使它包含在兩已知直線 和 之間的線段平分于 點(diǎn)，求直線 的方程 . 解：兩直線 、 的方程可寫為： 設(shè)直線 的方程為 ，代入上式得： 即 此方程的兩個(gè)根 、 是 與 、 焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，根據(jù)題意，由韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得： 解得 故直線 的方程為 . 例 13 已知雙曲線 ，過點(diǎn) （ 1， 2）的直線 與所給雙曲線交于 、 兩點(diǎn)，求 的中點(diǎn) 的軌跡 . 解：設(shè) 點(diǎn)坐標(biāo)為 ，則 的方程可寫成參數(shù)式 將其代入雙曲線方程并整理得： 由于 為 的中點(diǎn)，由參數(shù) 的幾何意義及韋達(dá)定理可 得： 所以 ， 于是 ，故 點(diǎn)的軌跡方程為 . 設(shè)直線 與非退化圓錐曲線相交于 、 兩點(diǎn)，則： 又因?yàn)橹本€ 的斜率 ， 于是可得弦長(zhǎng)公式為 例 14 為不同的值而被移動(dòng)的拋物線 與直線 相交于 、 兩點(diǎn)，求 最大時(shí) 的值和 的最大值 . 解：由 得 所以 于是 ＝ ＝ ＝ 故當(dāng) 時(shí)， 例 15 已知橢圓 ，試確定 的取值范圍，使得對(duì)于直線 橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱 . 解：設(shè)橢圓上兩點(diǎn) 、 關(guān)于直線 對(duì)稱，則直線 的方程可設(shè)為 聯(lián)立方程 和 ，得 由 得 （ 1） 由韋達(dá)定理得 ，故 所以 的中點(diǎn) 的坐標(biāo)為 又因?yàn)辄c(diǎn) 在直線 上，將點(diǎn) 的坐標(biāo)代入得 （ 2） 由（ 1）（ 2）可知 . 例 16 如圖 1，設(shè)點(diǎn) 、 為拋物線 上的動(dòng)點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ，求證：直線 恒過定點(diǎn) . 圖 1 證明：設(shè)直線 的方程為 聯(lián)立 和 ，得 設(shè) 、 ，則
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