【正文】 螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇蠆膃腿芆螁羅肅蒞襖螈莃莄薃羄艿莃蚆螆芅莃 袈肂膁莂薈裊 肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)荿襖肈膈蒈薄袁肄蕆蚆肇羀蕆衿袀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇蠆膃腿芆螁羅肅蒞襖螈莃莄薃羄艿莃蚆螆芅莃袈肂膁 莂薈裊肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)荿襖肈膈蒈薄袁肄蕆蚆肇羀蕆衿袀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇蠆膃腿芆螁羅肅蒞襖螈莃莄薃羄艿莃蚆螆芅莃 袈肂膁莂薈裊 肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)荿襖肈膈蒈薄袁肄蕆蚆肇羀蕆衿袀莈 蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇蠆膃腿芆螁羅肅蒞襖螈莃莄薃羄艿莃蚆螆芅莃袈肂膁莂薈裊肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)荿襖肈膈蒈薄袁肄蕆蚆肇羀 蕆衿袀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇蠆膃腿芆螁羅肅蒞襖螈莃莄薃羄艿莃蚆螆芅莃袈肂膁莂薈裊 肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)荿襖肈膈蒈薄袁肄蕆蚆肇羀蕆衿袀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇蠆膃腿芆螁羅肅蒞襖螈莃莄薃羄艿莃蚆螆芅莃袈肂膁 莂薈裊肇莁蝕肀莆莀螂袃節(jié)荿襖肈膈蒈薄袁肄蕆蚆肇羀蕆衿袀莈蒆薈膅芄蒅蟻羈膀蒄螃膃肆蒃裊羆蒞蒂薅蝿芁薁蚇羄膇薁螀螇肅薀葿羃聿蕿螞螆莇薈螄肁芃薇袆襖腿薆薆聿肅薆蚈袂莄蚅螀肈芀蚄袃袀膆蚃薂肆膂艿螅罿肈艿袇膄莇羋薇羇芃芇 學號： 數(shù)形結合思想在中學數(shù)學中的應用 學院名稱： 數(shù)學與信息科學學院 專業(yè)名稱： 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 年級班別： 姓 名： 指導教師： 2020 年 05 月 河南師范大學 本科畢業(yè)論文 ***大學本科畢業(yè)論文 １ 數(shù)形結合思想在中學數(shù)學中的應用 摘 要 數(shù)與形是數(shù)學中兩個最主要最基本的研究對象 ， 數(shù)與形是緊密相連的 ， 在一些特定的條件下 ， 數(shù)與形是可以相互轉化的 ， 這就是 “ 數(shù)形結合 ”。 關鍵詞 數(shù)與形 ； 數(shù)形結合 ； 中 學 數(shù)學 ***大學本科畢業(yè)論文 ２ The bination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the bination of shapes and number. The bination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces： the research background and significance of the bination of shapes and number,it39。中學階段的基本數(shù)學思想包括：分類討論的思想、數(shù)形結合的思想、變換與轉化的思想、整體思想、函數(shù)與方程的思想、抽樣統(tǒng)計思想、極限思想等等。而數(shù)形結合主要是指數(shù)與形之間的一一對應關系。那么接下來我們將要研究數(shù)形結合思想在我們中學中到底有哪些用處，我們解什么樣問題時需要用到數(shù)形結合思想？ 1 數(shù)形結合思想方法概述 數(shù)形結合思想的研究背景 數(shù)學以現(xiàn)實世界的數(shù)量關系和空間形式作為研究的對象，而數(shù)和形是相互聯(lián)系，也是可以相互轉化的?！皵?shù)形結合”的應用大致又可以分為兩種情形：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種是“以形助數(shù)”。首先，“數(shù)形結合” 能更好幫助學生對所學知識的掌握與記憶。第四，應用“數(shù)形結合”有益于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。 2 數(shù)形結合思想方法在中學數(shù)學教學中的地位 從新課程標準對思維能力的要求看數(shù)形結合 數(shù)形結合思想能幫助學生樹立現(xiàn)代思維意識：第一通過數(shù)與形的有機結合，把形象思維與抽象思維有機地結合，盡可能地先形象后抽象，不但能促進這兩種思維能力同步發(fā)展，還為學生初步形成辯證思維能力創(chuàng)造了條件。 從新課程教學內(nèi)容的特點來看數(shù)形結合 數(shù)學基本知識與數(shù)學思想方法是課堂教學內(nèi)容的兩個不可分割的有機組成部份?！?（ 2） 然而在課堂教學中教師過于呆板地強調著邏輯思維能力。事實上教材中體現(xiàn)數(shù)形結合思想方法的內(nèi)容很多，可以通過數(shù)形結合給代數(shù)提供幾何模型，形象直觀地揭示問題的本質，減輕學生學習的負擔，從而引發(fā)學生學習數(shù)學的興趣。教師更要幫助學生渡過這個關口。高考試題這種以能力立意的積極導向，決定了我們在教學中必須以數(shù)學思想指導知識 、方法的運用，整體把握各部分知識的內(nèi)在聯(lián)系。 3 數(shù)形結合思想應用的途徑和原則 ．數(shù)形結合的途徑 （ 1）通過坐標系形題數(shù)解 借助于建立直角坐標系、復平面可以將圖形問題代數(shù)化。例如，將 a＞ 0與距離互化，將 a2與面積互化，將 a2+b2+ab=a2+b2－ 2 )12060(c os ???? ??? 或ba 與余弦定理溝通，將 a≥ b≥ c＞ 0且 b+c＞ a中的 a、 b、 c與三角形的三邊溝通，將有序實數(shù)對和點溝通，將二元一次方程與直線、將二元二次方程與相應的圓錐曲線對應等等。 （ 2）雙向性原則 在數(shù)形結合時，既要進行幾何直觀的分析，又要進行代數(shù)抽象的探索，兩方面相輔相成，僅對代數(shù)問題進行幾何分析，在許多時候是很難行得通的。 4 數(shù)形結合思想方法在中學解題中的應用 “數(shù)”中思“形” 利用韋恩圖法解決集合之間的關系問題 一般情況我們用圓來表示集合，兩個圓相交則表示兩個集合有公共的元素，兩個圓相離就表示兩個集合沒有公共的元素。用 n表示集合的元素，則有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A n B n C n A B n A C n B C n A B C? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 807 739 437 593 371 267 213 965? ? ? ? ? ? ? 即：參加競賽總人數(shù)為 965人 . 利用數(shù)軸解決集合的有關運算 例 2 設 ? ? ? ? .,034|,016| 22 RIxxxBxxA ???????? 求 ., BABABABA ???? 分析 分別先確定集合 A， B 的元素， ? ? ? ?13|,44| ??????? xxxBxxA 或，然后把它們分別在數(shù)軸上表示出來，從數(shù)軸上的重合和覆蓋情況可直接寫出答案： ? ?4314| ?????? xxxBA 或? (公共部分 ) IBA ?? (整個數(shù)軸都被覆蓋 ) ? ?4314| ?????? xxxxBA 或或? (除去重合部分剩下的區(qū)域 ) ??BA? (除去覆蓋部分剩下的區(qū)域 ) 數(shù)形結合思想在解決對稱問題中的應用 例 3 如圖，已知 (4,0)A 、 (0,4)B ，從點 (2,0)P 射出的光線經(jīng)直線 AB 反向后再射到直線 OB 上，最后經(jīng)直線 OB 反射后又回到 P 點，則光線所經(jīng)過的路程是（ ） A． 210 B． 6 C． 33 D． 25 C（化） A（數(shù)） B（理） 。 ***大學本科畢業(yè)論文 ９ [解題思路 ] 利用對稱知識，將折線 PMN 的長度轉化為折線 CNMD 的長度 [解析 ] 設點 P 關于直線 AB 的對稱點為 )2,4(D ，關于 y 軸的對稱點為 )0,2(?C ，則光線所經(jīng)過的路程 PMN 的長 ???????? CDNCMNDMNPMNPM 210 本例是運用數(shù)形結合解題的典范，關鍵是靈活利用平面幾何知識與對稱的性質實現(xiàn)轉化，一般地，在已知直線上求一點到兩個定點的距離之和的最小值，需利用對稱將兩條折線由同側化為異側，在已知直線上求一點到兩個定點的距離之差的最大值，需利用對稱，將兩條折線由異側化為同 側，從而實現(xiàn)轉化 (9)。 ②當 1??k 時 , 1y 與 2y 有兩個交點 ,原方程有兩個不同的解 。 在做很多題目時把圖形畫出來，問題自然就解決了，利用“數(shù)”與“形”的相互轉化來解決幾何問題，它具有直觀性 、靈活性等特點。另外，它對于我們進行數(shù)學解題和數(shù)學研究是非常有幫助的。 參考文獻 [1]中華人民共和國教育部制定 . 數(shù)學課程標準 (實驗 )[M]. 北京 : 人民教育出版社 , 2020. [2]周春荔，《數(shù)學觀與方法論》，首都師范大學出版社， 1996年 8月第一次出版 . 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Appl. 10,Number 2 .2020，634663. 致謝 在論文的準備和寫作過程中，筆者得到了 **老師的悉心指導和熱情幫助。在此感謝數(shù)學院全體教師在我成長的道路上給于我的影響和幫助。在此，向王老師致以崇高的敬意和 衷心地感謝。在教學中要注重數(shù)形結合思想方法的培養(yǎng)，在培養(yǎng)學生數(shù)形結合思想的過程中 , 要充分挖掘教材內(nèi)容 , 將數(shù)形結合思想滲透于具體的問題中 , 在解決問題中讓學生正確理解 “數(shù)”與 “形” 的相對性 , 使之有機地結合起來。 5 結束語 數(shù)無形不直觀， 形無數(shù)難入微。 分析 作出雙曲線 的圖象，并注意到直線是過定點（ ）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 。如： 例 4 試判斷 2, 三個數(shù)間的大小順序． 分析 這三個數(shù)我們可以看成三個 函數(shù) xyxyxy 2,lo g, 32221 ??? 在 ?x 時， 所對應的函數(shù)值．在同一坐標系內(nèi)作出這 三個函數(shù)的圖像 (如圖 )，從圖像可以直觀 地看出當 ?x 時，所對應的三個點 321 , PPP 的位置，從而可得出結論： ?? ． 數(shù)形結合思想在解方程問題中的應用 例 5 解方程 xx ??23 分