【導(dǎo)讀】數(shù)字信號(hào)處理在通信、語(yǔ)音、圖像、自動(dòng)控制、雷達(dá)、軍事、航空航。天、醫(yī)療和家用電器等眾多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。在數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中，數(shù)字。濾波器十分重要并已獲得廣泛應(yīng)用。數(shù)字濾波是數(shù)字信號(hào)處理的重要內(nèi)容，數(shù)字濾波器可分為IIR和FIR兩大類。計(jì)方法是窗函數(shù)法。本文根據(jù)FIR濾波器的特點(diǎn)，在MATLAB壞境下用窗函數(shù)設(shè)計(jì)。FIR數(shù)字濾波器，并對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，最后給出了FIR帶通濾波器對(duì)信號(hào)濾波的效果。

　　

【正文】 e d21e [ H ( )W ( )d ]2???????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? 如果也以幅度函數(shù) H(ω )和相位函數(shù)來(lái)表示 jH(e )? , jnjH(e ) H( )e??? ?? 則實(shí)際 FIR 濾波器的幅度函數(shù) H()? 為 dR1H( ) H ( )W ( )d2 ???? ? ? ? ? ? ?? ? 正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。 (a) 0?? 的響應(yīng) ,因一般有 c 2 / N? ?? ? ， RW()? 在 [ c, c]?? ? 內(nèi)近似包含全頻域的值，所以， dH(0) H (0)? ； (b) c??? 時(shí)，一半重 疊， cH( ) / H(0) ??； (c) c 2 / N? ? ? ? ? 時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)正肩峰； (d) c 2 / N? ? ? ? ? 時(shí)，第一旁瓣（負(fù)數(shù)）在通帶內(nèi)，出現(xiàn)負(fù)肩峰。 28 (e)由最后的頻響函數(shù)圖我們可以看到 : 在通帶截止頻率的兩旁 c 2 / N? ? ? ? ? 的地方， H()? 出現(xiàn)最大正負(fù)肩峰值； 在這兩個(gè)肩峰之間形成一個(gè)過(guò)渡帶， 過(guò)渡帶的寬度等于 WR(ω )的主瓣寬度。在最大肩峰的兩側(cè)，則形成長(zhǎng)長(zhǎng)的余振； 看公式R s i n ( N / 2 ) s i n ( N / 2 ) s i nW ( ) N Ns i n ( / 2 ) ( N / 2 ) x??? ? ? ?其中 x N 2?? ,所以 N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關(guān)系，最多只能改變 RW()? 的絕對(duì)值大小和起伏的密度，當(dāng) N 增加時(shí)，幅值拉高，頻率軸變密，而最大肩峰經(jīng)計(jì)算可知總為 %，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（ Gibbs） [10]效應(yīng)。 肩峰值的大小決定了濾波器通帶內(nèi)的平穩(wěn)程度和阻帶內(nèi)的衰減，所以 對(duì)濾波器的性能有很大的影響。 為了改善濾波器的這些特性，只有改變窗函數(shù)的形狀，標(biāo)準(zhǔn)為： 窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過(guò)渡帶； 相對(duì)于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實(shí)際上這兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不能兼得，一般總是通過(guò)增加主瓣寬度來(lái)?yè)Q取對(duì)旁瓣的抑制。 窗口法的優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單，有閉合的公式可用，性能及參數(shù)都有表格資料可查，計(jì)算程序簡(jiǎn)單，較為實(shí)用。缺點(diǎn) 是當(dāng) jdH(e )? 較為復(fù)雜時(shí)， dh(n) 就不容易由反 傅 里葉變換求得。邊界頻率因?yàn)榧哟暗挠绊懚灰卓刂啤? 29 計(jì) 算 hd( n )調(diào) 用 窗 函 數(shù) 子 程 序計(jì) 算 h ( n ) = hd( n ) w ( n ) 調(diào) 用 子 程 序 （ 函 數(shù) ） 計(jì) 算 H （ k ） = D F T [ h ( n ) ]調(diào) 用 繪 圖 子 程 序 （ 函 數(shù) ） 繪 制 H （ k ） 幅 度輸 入 窗 口 長(zhǎng) 度 N開 始結(jié) 束 圖 314 窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR數(shù)字濾波器的結(jié)構(gòu)流程框圖 用頻率抽樣法設(shè)計(jì) FIR 濾波器 FIR 濾波器具有線性相位的條件是 h(n)是實(shí)序列，且滿足 h(n)=h(Nn1)，從而推出傳輸函數(shù)所滿足的條件 [13]： j j ( )dgH (e ) H ( )e? ???? （ 315） ( ) (N 1) / 2? ? ? ? ? ? （ 316） ggH ( ) H (2 )? ? ? ? ? ， N=奇數(shù) （ 317） ggH ( ) H (2 )? ? ? ? ? ?， N=偶數(shù) （ 318） 30 在 =0 2??之間等間隔采樣 N點(diǎn) k 2 k / N k 0 , 1,2 , , N 1? ? ? ? ? ? ? ? 逼近誤差及改進(jìn)措施 如果待設(shè)計(jì)的濾波器為 jdH(e )? ，對(duì)應(yīng)的單位取樣響應(yīng)為 dh(n) j j ndd1h (n ) H (e )e d2 ???????? ? （ 319） 則由頻率采樣定理知道，在頻域 02? 之間等間隔采樣 N 點(diǎn)，利用 IDFT 得到的 h(n)應(yīng)是 dH(n) 以 N 為周期， 周期性延拓乘以 NR(n) ，即 dNh(n)= H (n N )R (n )?? ? ?? ??? （ 320） 由于時(shí)域混疊，因其所設(shè)計(jì)的 h(n)和 dH(n) 有偏差。為此，如果所需的頻率采樣點(diǎn)數(shù) N加大。 N 愈大，所設(shè)計(jì)的濾波器愈逼近待設(shè)計(jì)的濾波器 jdH(e )? 若從頻域分析，由采樣定理表明，頻率域等間隔采 樣 H(k) ，經(jīng)過(guò) IDFT 得到 h(n)，其Z變換 H(z) 和 H(k) 的關(guān)系為 ： 1N N12kjk0 N(1 z ) H( k )H( z ) N 1 e Z ?? ????? ?? （ 321） 頻率采樣法的 MATLAB 程序如下： M=40。 %取濾波器的階數(shù)為 40 al=(M1)/2。 %群時(shí)延 n=0:M1。 T2=。 T1=。 Hrs=[zeros(1,5),T1,T2,ones(1,7),T2,T1,zeros(1,9),T1,T2,ones(1,7),T2,T1,zeros(1,4)]。 %采樣值的幅值 31 k1=0:floor((M1)/2)。k2=floor((M1)/2)+1:M1。 angH=[al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(Mk2)]。 %采樣值的相位 H=Hrs.*exp(j*angH)。 h=real(ifft(H,M))。 %長(zhǎng)度為 M的單位脈沖響應(yīng) stem(n,h)。 title(39。濾波器的實(shí)際單位脈沖響應(yīng) 39。)。 freqz(h,1,512)。 title(39。幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 39。)。 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 00500N o r m a l i z e d Fr e q u e n c y ( ? ? r a d / s a m p l e )Phase (degrees)0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 5 0 1 0 0 5 0050N o r m a l i z e d Fr e q u e n c y ( ? ? r a d / s a m p l e )Magnitude (dB)幅度響應(yīng)和相位響應(yīng) 315 所設(shè)計(jì)的帶通濾波器的幅度和相位響應(yīng) 切比雪夫逼近法設(shè)計(jì) FIR濾波器 除了窗函數(shù)設(shè)計(jì)法（時(shí)間窗口法）和頻率采樣法，還可以用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì) FIR 濾波器，且切比雪夫逼近法是一種等波紋逼近法，在用切比雪夫逼近法設(shè)計(jì)FIR 濾波器時(shí)，需要用到雷米茲（ Remez）交替算法，并且需要 遵從兩個(gè)準(zhǔn)則：均方誤差最小準(zhǔn)則和最大誤差最小化準(zhǔn)則。 雷米茲（ Remez）交替算法 [14]：能很好的解決通帶截止頻率 pw 和阻帶截止頻率 sw 不能精確控制的問(wèn)題。 下圖就是雷米茲（ Remez）交替算法的流程圖： 32 ( r + 1 ) 個(gè) 極 值 頻 率 的 初 始 猜 測(cè) 值計(jì) 算 極 值 頻 率 集 上 的 最 優(yōu) q通 過(guò) r 點(diǎn) 內(nèi) 插 得 到 P ( w )計(jì) 算 E ( w ) 并 求 出 | E ( w ) | q 處 得 局 部極 大 值 極 值 點(diǎn) 是 否 多 于 （ r + 1 ） 個(gè)極 值 點(diǎn) 位 置 是 否 變化舍 去 ω = 0 ， π 中 較 小 的 一 個(gè)局 部 極 值 ， 保 留 （ r + 1 ） 個(gè) 最大 極 值最 優(yōu) 逼 近YYNN 316 雷米茲（ Remez）交替算法的流程圖 基于切比雪夫一致逼近法設(shè)計(jì) FIR 數(shù)字低通 濾波器 的程序如下： clear all。 f=[0 1]。 %給定頻率軸分點(diǎn) A=[1 1 0 0]。 %給定在這些頻率分點(diǎn)上理想的幅頻響應(yīng) weigh=[1 10]。 %給定在這些頻率分點(diǎn)上的加權(quán) b=remez(32,f,A,weigh)。 %設(shè)計(jì)出切比雪夫最佳一致逼近濾波器 [h,w]=freqz(b,1,256,1)。 h=abs(h)。 h=20*log10(h)。 subplot(211) stem(b,39。.39。)。 33 grid。 title(39。切比雪夫逼近濾波器的抽樣值 39。) subplot(212) plot(w,h)。 grid。 title(39。濾波器幅頻特性 (dB)39。) 0 5 10 15 20 25 30 35 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 8切比雪夫逼近濾波器的抽樣值0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5 1 0 0 5 0050濾波器幅頻特性 ( d B ) 317 切比雪夫逼近濾波器的抽樣值和濾波器的幅頻特性 4 FIR 數(shù)字濾波器 的最優(yōu)化設(shè)計(jì) 最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法 [15]是指采用最優(yōu)化準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)的方法。在 FIR DF 的最優(yōu)化設(shè)計(jì)中 ,最優(yōu)化準(zhǔn)則有均方誤差最小化準(zhǔn)則和等波紋切比雪夫逼近 (也稱最大誤差最小化 ) 準(zhǔn)則兩種。實(shí)際設(shè)計(jì)中 ,只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗才能滿足前一種最優(yōu)化準(zhǔn)則 ,但 由于吉布斯 (Gibbs) 效應(yīng)的存在 ,使其根本不能滿足設(shè)計(jì)的要求。為了滿足設(shè)計(jì)的要求 ,可以采用其它的窗函數(shù)來(lái)消除吉布斯效應(yīng) ,但此時(shí)的設(shè)計(jì)已 經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準(zhǔn)則了。因此 ,要完成 FIR DF 的最優(yōu)化設(shè)計(jì) ,只能采用后一種優(yōu) 34 化準(zhǔn)則來(lái)實(shí)現(xiàn)。 4. 1 等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則 在濾波器的設(shè)計(jì)中 ,通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。等波紋切比雪夫逼近準(zhǔn)則就是通過(guò)對(duì)通帶和阻帶使用不同的加權(quán)函數(shù) ,實(shí)現(xiàn)在不同頻段 (通常指的是通帶和阻帶 ) 的加權(quán)誤差最大值相同 ,從而實(shí)現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標(biāo)的條 件下達(dá)到最小值。 4. 2 Remez 算法 Remez 算法是由 Parks 和 McClellan 等人在 1972年推導(dǎo)出來(lái)的。它是將 FIR DF 的五個(gè)參數(shù) (N, 1? ， 2? , pw , sw ), 1? ， 2? , pw , sw ) 中的 N , pw ， sw 和 1/ 2??固定 ,而視 1? (或 2? ) 為變量的一種迭代方法。盡管 Herrmann 等人在 1971 年也 推導(dǎo)出來(lái)了將 N 和 1? , 2? 固定 ,而將 pw , sw 設(shè)為變量的另一種迭代方法 , 但由于前一種算法最靈活且最有效。因而成為最優(yōu)化設(shè)計(jì)的主要方法。該方法求解過(guò)程為 : ①求解 ? : 首 先 在 濾 波 器 的 通 帶 和 阻 帶 內(nèi) 等 間 隔 地 取 r1? 個(gè)頻率點(diǎn)k( k 0 , 1 r)? ? ? ? 作 為 交 錯(cuò) 點(diǎn) 的 初 始 值 , 然 后 利 用 交 錯(cuò) 定 理 中r1n0P( ) a(n) cos(wn)???? ?的表達(dá)式及 ? 的解析式求解出滿足下式的δ值 : ( ) [ ( ) ( ) ] ( 1 ) k 0 , 1 , , r? ? ? ? ? ?kdW w H w P w ? (320) ②求解 ()Pw:利用求解出來(lái)的 ? 值和預(yù)先假定的 r1? 個(gè)頻率點(diǎn)求出 ()iPw (其中 i = 0 ,1Λ r 1)的值 ,然后根據(jù)拉格朗日插值公式求出 ()Pw 的最終表達(dá)式。 ③求解 ()Ew:將求得的 ()Pw代入下式判定其是否滿足不等式 dE( ) W( )[ H ( ) P( )]? ? ? ? ? ? ? ? (321)的要 求。 若滿足要求 , 則說(shuō)明已經(jīng)獲得了最優(yōu)解 。 若在某些頻率點(diǎn)不滿足要求 , 則需要將這些頻率點(diǎn)作為新的極值點(diǎn)重新計(jì)算 , 經(jīng)過(guò)反復(fù)的迭代直到在所有的頻率點(diǎn)上都滿足不等式的要求。這時(shí)的 ? 值就是最終所