【導讀】數(shù)字信號處理在通信、語音、圖像、自動控制、雷達、軍事、航空航。天、醫(yī)療和家用電器等眾多領域得到了廣泛的應用。在數(shù)字信號處理應用中，數(shù)字。濾波器十分重要并已獲得廣泛應用。數(shù)字濾波是數(shù)字信號處理的重要內容，數(shù)字濾波器可分為IIR和FIR兩大類。計方法是窗函數(shù)法。本文根據(jù)FIR濾波器的特點，在MATLAB壞境下用窗函數(shù)設計。FIR數(shù)字濾波器，并對信號進行分析，最后給出了FIR帶通濾波器對信號濾波的效果。

　　

【正文】 e d21e [ H ( )W ( )d ]2???????????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ??? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ????? 如果也以幅度函數(shù) H(ω )和相位函數(shù)來表示 jH(e )? , jnjH(e ) H( )e??? ?? 則實際 FIR 濾波器的幅度函數(shù) H()? 為 dR1H( ) H ( )W ( )d2 ???? ? ? ? ? ? ?? ? 正好是理想濾波器幅度函數(shù)與窗函數(shù)幅度函數(shù)的卷積。 (a) 0?? 的響應 ,因一般有 c 2 / N? ?? ? ， RW()? 在 [ c, c]?? ? 內近似包含全頻域的值，所以， dH(0) H (0)? ； (b) c??? 時，一半重 疊， cH( ) / H(0) ??； (c) c 2 / N? ? ? ? ? 時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶外，出現(xiàn)正肩峰； (d) c 2 / N? ? ? ? ? 時，第一旁瓣（負數(shù)）在通帶內，出現(xiàn)負肩峰。 28 (e)由最后的頻響函數(shù)圖我們可以看到 : 在通帶截止頻率的兩旁 c 2 / N? ? ? ? ? 的地方， H()? 出現(xiàn)最大正負肩峰值； 在這兩個肩峰之間形成一個過渡帶， 過渡帶的寬度等于 WR(ω )的主瓣寬度。在最大肩峰的兩側，則形成長長的余振； 看公式R s i n ( N / 2 ) s i n ( N / 2 ) s i nW ( ) N Ns i n ( / 2 ) ( N / 2 ) x??? ? ? ?其中 x N 2?? ,所以 N的改變不能改變主瓣與旁瓣的比例關系，最多只能改變 RW()? 的絕對值大小和起伏的密度，當 N 增加時，幅值拉高，頻率軸變密，而最大肩峰經(jīng)計算可知總為 %，這種現(xiàn)象稱為吉布斯（ Gibbs） [10]效應。 肩峰值的大小決定了濾波器通帶內的平穩(wěn)程度和阻帶內的衰減，所以 對濾波器的性能有很大的影響。 為了改善濾波器的這些特性，只有改變窗函數(shù)的形狀，標準為： 窗譜主瓣寬度要窄，以獲得較陡的過渡帶； 相對于主瓣幅度，旁瓣要盡可能小，使能量盡量集中在主瓣中，這樣就可以減小肩峰和余振，以提高阻帶衰減和通帶平穩(wěn)性。 但實際上這兩個標準不能兼得，一般總是通過增加主瓣寬度來換取對旁瓣的抑制。 窗口法的優(yōu)點是簡單，有閉合的公式可用，性能及參數(shù)都有表格資料可查，計算程序簡單，較為實用。缺點 是當 jdH(e )? 較為復雜時， dh(n) 就不容易由反 傅 里葉變換求得。邊界頻率因為加窗的影響而不易控制。 29 計 算 hd( n )調 用 窗 函 數(shù) 子 程 序計 算 h ( n ) = hd( n ) w ( n ) 調 用 子 程 序 （ 函 數(shù) ） 計 算 H （ k ） = D F T [ h ( n ) ]調 用 繪 圖 子 程 序 （ 函 數(shù) ） 繪 制 H （ k ） 幅 度輸 入 窗 口 長 度 N開 始結 束 圖 314 窗函數(shù)設計 FIR數(shù)字濾波器的結構流程框圖 用頻率抽樣法設計 FIR 濾波器 FIR 濾波器具有線性相位的條件是 h(n)是實序列，且滿足 h(n)=h(Nn1)，從而推出傳輸函數(shù)所滿足的條件 [13]： j j ( )dgH (e ) H ( )e? ???? （ 315） ( ) (N 1) / 2? ? ? ? ? ? （ 316） ggH ( ) H (2 )? ? ? ? ? ， N=奇數(shù) （ 317） ggH ( ) H (2 )? ? ? ? ? ?， N=偶數(shù) （ 318） 30 在 =0 2??之間等間隔采樣 N點 k 2 k / N k 0 , 1,2 , , N 1? ? ? ? ? ? ? ? 逼近誤差及改進措施 如果待設計的濾波器為 jdH(e )? ，對應的單位取樣響應為 dh(n) j j ndd1h (n ) H (e )e d2 ???????? ? （ 319） 則由頻率采樣定理知道，在頻域 02? 之間等間隔采樣 N 點，利用 IDFT 得到的 h(n)應是 dH(n) 以 N 為周期， 周期性延拓乘以 NR(n) ，即 dNh(n)= H (n N )R (n )?? ? ?? ??? （ 320） 由于時域混疊，因其所設計的 h(n)和 dH(n) 有偏差。為此，如果所需的頻率采樣點數(shù) N加大。 N 愈大，所設計的濾波器愈逼近待設計的濾波器 jdH(e )? 若從頻域分析，由采樣定理表明，頻率域等間隔采 樣 H(k) ，經(jīng)過 IDFT 得到 h(n)，其Z變換 H(z) 和 H(k) 的關系為 ： 1N N12kjk0 N(1 z ) H( k )H( z ) N 1 e Z ?? ????? ?? （ 321） 頻率采樣法的 MATLAB 程序如下： M=40。 %取濾波器的階數(shù)為 40 al=(M1)/2。 %群時延 n=0:M1。 T2=。 T1=。 Hrs=[zeros(1,5),T1,T2,ones(1,7),T2,T1,zeros(1,9),T1,T2,ones(1,7),T2,T1,zeros(1,4)]。 %采樣值的幅值 31 k1=0:floor((M1)/2)。k2=floor((M1)/2)+1:M1。 angH=[al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(Mk2)]。 %采樣值的相位 H=Hrs.*exp(j*angH)。 h=real(ifft(H,M))。 %長度為 M的單位脈沖響應 stem(n,h)。 title(39。濾波器的實際單位脈沖響應 39。)。 freqz(h,1,512)。 title(39。幅度響應和相位響應 39。)。 0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 2 0 0 0 1 5 0 0 1 0 0 0 5 0 00500N o r m a l i z e d Fr e q u e n c y ( ? ? r a d / s a m p l e )Phase (degrees)0 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1 1 5 0 1 0 0 5 0050N o r m a l i z e d Fr e q u e n c y ( ? ? r a d / s a m p l e )Magnitude (dB)幅度響應和相位響應 315 所設計的帶通濾波器的幅度和相位響應 切比雪夫逼近法設計 FIR濾波器 除了窗函數(shù)設計法（時間窗口法）和頻率采樣法，還可以用切比雪夫逼近法設計 FIR 濾波器，且切比雪夫逼近法是一種等波紋逼近法，在用切比雪夫逼近法設計FIR 濾波器時，需要用到雷米茲（ Remez）交替算法，并且需要 遵從兩個準則：均方誤差最小準則和最大誤差最小化準則。 雷米茲（ Remez）交替算法 [14]：能很好的解決通帶截止頻率 pw 和阻帶截止頻率 sw 不能精確控制的問題。 下圖就是雷米茲（ Remez）交替算法的流程圖： 32 ( r + 1 ) 個 極 值 頻 率 的 初 始 猜 測 值計 算 極 值 頻 率 集 上 的 最 優(yōu) q通 過 r 點 內 插 得 到 P ( w )計 算 E ( w ) 并 求 出 | E ( w ) | q 處 得 局 部極 大 值 極 值 點 是 否 多 于 （ r + 1 ） 個極 值 點 位 置 是 否 變化舍 去 ω = 0 ， π 中 較 小 的 一 個局 部 極 值 ， 保 留 （ r + 1 ） 個 最大 極 值最 優(yōu) 逼 近YYNN 316 雷米茲（ Remez）交替算法的流程圖 基于切比雪夫一致逼近法設計 FIR 數(shù)字低通 濾波器 的程序如下： clear all。 f=[0 1]。 %給定頻率軸分點 A=[1 1 0 0]。 %給定在這些頻率分點上理想的幅頻響應 weigh=[1 10]。 %給定在這些頻率分點上的加權 b=remez(32,f,A,weigh)。 %設計出切比雪夫最佳一致逼近濾波器 [h,w]=freqz(b,1,256,1)。 h=abs(h)。 h=20*log10(h)。 subplot(211) stem(b,39。.39。)。 33 grid。 title(39。切比雪夫逼近濾波器的抽樣值 39。) subplot(212) plot(w,h)。 grid。 title(39。濾波器幅頻特性 (dB)39。) 0 5 10 15 20 25 30 35 0 . 200 . 20 . 40 . 60 . 8切比雪夫逼近濾波器的抽樣值0 0 . 0 5 0 . 1 0 . 1 5 0 . 2 0 . 2 5 0 . 3 0 . 3 5 0 . 4 0 . 4 5 0 . 5 1 0 0 5 0050濾波器幅頻特性 ( d B ) 317 切比雪夫逼近濾波器的抽樣值和濾波器的幅頻特性 4 FIR 數(shù)字濾波器 的最優(yōu)化設計 最優(yōu)化設計方法 [15]是指采用最優(yōu)化準則來設計的方法。在 FIR DF 的最優(yōu)化設計中 ,最優(yōu)化準則有均方誤差最小化準則和等波紋切比雪夫逼近 (也稱最大誤差最小化 ) 準則兩種。實際設計中 ,只有采用窗函數(shù)法中的矩形窗才能滿足前一種最優(yōu)化準則 ,但 由于吉布斯 (Gibbs) 效應的存在 ,使其根本不能滿足設計的要求。為了滿足設計的要求 ,可以采用其它的窗函數(shù)來消除吉布斯效應 ,但此時的設計已 經(jīng)不能滿足該最優(yōu)化準則了。因此 ,要完成 FIR DF 的最優(yōu)化設計 ,只能采用后一種優(yōu) 34 化準則來實現(xiàn)。 4. 1 等波紋切比雪夫逼近準則 在濾波器的設計中 ,通常情況下通帶和阻帶的誤差要求是不一樣的。等波紋切比雪夫逼近準則就是通過對通帶和阻帶使用不同的加權函數(shù) ,實現(xiàn)在不同頻段 (通常指的是通帶和阻帶 ) 的加權誤差最大值相同 ,從而實現(xiàn)其最大誤差在滿足性能指標的條 件下達到最小值。 4. 2 Remez 算法 Remez 算法是由 Parks 和 McClellan 等人在 1972年推導出來的。它是將 FIR DF 的五個參數(shù) (N, 1? ， 2? , pw , sw ), 1? ， 2? , pw , sw ) 中的 N , pw ， sw 和 1/ 2??固定 ,而視 1? (或 2? ) 為變量的一種迭代方法。盡管 Herrmann 等人在 1971 年也 推導出來了將 N 和 1? , 2? 固定 ,而將 pw , sw 設為變量的另一種迭代方法 , 但由于前一種算法最靈活且最有效。因而成為最優(yōu)化設計的主要方法。該方法求解過程為 : ①求解 ? : 首 先 在 濾 波 器 的 通 帶 和 阻 帶 內 等 間 隔 地 取 r1? 個頻率點k( k 0 , 1 r)? ? ? ? 作 為 交 錯 點 的 初 始 值 , 然 后 利 用 交 錯 定 理 中r1n0P( ) a(n) cos(wn)???? ?的表達式及 ? 的解析式求解出滿足下式的δ值 : ( ) [ ( ) ( ) ] ( 1 ) k 0 , 1 , , r? ? ? ? ? ?kdW w H w P w ? (320) ②求解 ()Pw:利用求解出來的 ? 值和預先假定的 r1? 個頻率點求出 ()iPw (其中 i = 0 ,1Λ r 1)的值 ,然后根據(jù)拉格朗日插值公式求出 ()Pw 的最終表達式。 ③求解 ()Ew:將求得的 ()Pw代入下式判定其是否滿足不等式 dE( ) W( )[ H ( ) P( )]? ? ? ? ? ? ? ? (321)的要 求。 若滿足要求 , 則說明已經(jīng)獲得了最優(yōu)解 。 若在某些頻率點不滿足要求 , 則需要將這些頻率點作為新的極值點重新計算 , 經(jīng)過反復的迭代直到在所有的頻率點上都滿足不等式的要求。這時的 ? 值就是最終所