【導讀】本設計研究是基于MATLAB的FIR數(shù)字濾波器設計。文章中將圍繞濾波原理，濾。波器設計方法進行相關討論。除了實現(xiàn)符合理想設計要求的多類FIR濾波器的之外，還會通過設計仿真的結(jié)果，評估每種濾波器的優(yōu)劣性和使用環(huán)境。的全面分析了解。簡單介紹了最小二乘法，升余弦函數(shù)設計法和任意響應設。在濾波特性上做了比較，并且還進行了相關階。力求突出FIR濾波器的線性相位，脈沖響應有限，運算方便，穩(wěn)定性好。同時，在完成濾波器設計和分析的過程中，采用的MATLAB工具軟件。輸出過程有更直觀的展示，突出了MATLAB功能強大。指標，選擇最佳設計方案。

　　

【正文】 特點總結(jié)如下表 3 1： 表 3 1 四種線性相位 FIR 濾波器的特性 . . 3. 結(jié)論 針對以上分析的四種 FIR 濾波器各自的特點和濾波器實現(xiàn)的功能，可以把濾波器設 計的結(jié)論歸納出以下幾點： ① 情況 1：對稱脈沖響應， N 為奇數(shù)?？梢詫崿F(xiàn)所有的濾波特性（低通、高通、帶通和帶阻等） ② 情況 2：對稱脈沖響應， N 為偶數(shù)。滿足 ( ) 0gH ? ? ，因此不能實現(xiàn)高通，帶阻濾波器 . . ③ 情況 3：反對稱脈沖響應， N 為奇數(shù)。滿足 ( 0) ( ) = ( 2 ) = 0g g gH H H???，不適合設計低通或高通濾波器。能夠?qū)崿F(xiàn)帶通濾波器。因為 exp( / 2)jj? ? ，這種特性特別適合設計希爾伯特變換器和微分器。 ④ 情況 4：反對稱脈沖響應， N 為偶數(shù)。 (0)=0gH并且 exp( / 2)jj? ? ，不能實現(xiàn)低通、帶阻和點阻濾波器，但是適用于設計希爾伯特變換器和微分器。 總之，在第 3,4 種情況中，都是反對成脈沖響應，對于任何頻率都有固定的 n/2相移，通常采用這兩種情況設計微分器和 90176。相移器。如果只是設計一般的選頻濾波器大多采用第 1,2 種情況。從幅度特性考慮，低通濾波器選 用情況 1,4 的線性相位；高通濾波器選用第 1,4 情況；帶阻濾波器只能選擇第一種。而帶通濾波器可以任選。通過以上分析將線性相位的基本特點歸納于表 32，它可以直觀充分的總結(jié)線性相位特征 和設計的具體關聯(lián) 。 表 3 2 四種線性相位與四種選頻濾波器設計對應關系 選頻類型 線性相位 低通 高通 帶通 帶阻 情況 1 √ √ √ √ 情況 2 √ √ 情況 3 √ 情況 4 √ √ 為了方便設計的使用， MATLAB 就以上討論的四種線性相位單獨定義了 4 種輔助函數(shù)。 hr_type1(h)， hr_type2(h)， hr_type3(h)， hr_type4(h)。從數(shù)字上可以明顯的看出對應關系。具體函數(shù)見附錄，在后面的設計中會廣泛運用到。 第二節(jié) 窗函數(shù)設計 FIR 濾波器 分析 一、 窗函數(shù)設計思想 FIR 濾波器在設計中，其主要任務就是根據(jù)給定的性能指標確定濾波器的系數(shù)，以及系統(tǒng)單位脈沖序列 h(n)，特別的，它是一個有限長的序列。 FIR 濾波器的理想頻率響應的傅里葉級數(shù)形式表示為： . . ? ? ? ?nj j nddnH e h e???? ?? ??? ? （ 3 5） 式中： 錯誤 !未找到引用源。 對應單位脈沖響應序列。由于濾波器的頻率響應和單位脈沖 響 應互為傅里葉變換對。因此還可以得到： π1( n ) ( )2 jddh H e d? ? ???? ? （ 3 6） 但是 錯誤 !未找到引用源。 故只能截取其中的某些項，這種處理相當于 (n)dh 將 與函數(shù)()wn 相乘， ()wn 可以表示為具有以下形式的函數(shù) ： ? ?0 0 ,1, 0n n Nnnw N???? ? ??? ， （ 3 7） 明顯看出 ()wn 相當于一個矩形窗。所以可采取函數(shù) ()wn 將無線脈沖響應 (n)dh 截取一段 h(n)來近似表示為 (n)dh ，這種截取在數(shù)學上的表示是： ? ? (n ) ( )n ndh hw? 。截取之后的濾波器傳遞函數(shù)變?yōu)?： 1d 0 (() )N nnH h n zn? ??? ? （ 3 8） 式中： N 為窗口的寬帶， H(z)是物理可實現(xiàn)系統(tǒng)。因為這種方法的基本原理是利用一定寬度的窗函數(shù)來截取無線長單位響應序列，獲得有限長脈沖響應序列，從而得到 FIR 濾波器的脈沖響應，故而稱之為 FIR 濾波器的窗函數(shù)設計法。理想頻響也可以寫成幅度函數(shù)和相位函數(shù)的形式： ( ) ( )jjddH e H e? ???? （ 3 9） 其中幅度函數(shù)為： ? ? 1, | |0 , | | cd cdH ??? ? ? ???? ? ??? （ 3 10） 事實上 FIR 的幅度響應函數(shù) ()H? 正好是理想幅度函數(shù)與窗函數(shù)的幅度卷積 ? ? ? ?1 ( 2)j dRe H W dH ???? ? ? ????? ? （ 3 11） 卷積的具體過程可以用圖 35 來說明。 . . 圖 3 4 窗函數(shù)的卷積過程 從上圖可以歸納出加窗對理想頻率響應的影響為： ① ? ?H? 的最大肩峰值出現(xiàn)在通帶截止頻率 c? 的兩旁，也就是 c 2 / N? ? ???的地方。 過渡帶形成于兩個肩峰之間，其寬度為 △ω=4π/N。肩峰和余振大小取決于? ?RW? 函數(shù)的副瓣。規(guī)律表明，副瓣多少和余振成正比；而副瓣的相對值大，余振就強，與 N 值大小無關。具體關 系可以通過以下表達式來說明。 ? ? s in ( / 2 ) s in ( / 2 ) s in ( )s in ( / 2 ) s in ( / 2 )R N N xW N N x??? ? ? ? （ 3 12） 式中： /2xN?? 。所以 N 的改變不會改變主瓣與旁瓣的比例，最多只能改變 ? ?RW?的絕對值大小和起伏的密度。 ② 旁瓣使濾波器在通帶和阻帶內(nèi)產(chǎn)生余振。分析表明：阻帶內(nèi)最小衰減是由窗函數(shù)形狀來決定，而過渡帶寬度則是由窗 函數(shù)的長度 N 確定。當 N 增大時， ? ?RW? 的幅值變大，頻率軸變密，這種現(xiàn)象稱之為吉布斯（ Gibbs）效應。這種效應是因為將 ()dhn直接截斷而引起的，所以又被稱之為截斷效應。 ③ 為了改善濾波器特性，必須改變窗函數(shù)的形狀，窗函數(shù)要滿足以下兩點要求： ，以求獲得較陡的過渡帶。 ，旁瓣要盡可能的小，使能量能夠盡量集中在旁瓣中，這樣就可以通過減少肩峰和余振，來提高 阻帶衰減和通帶的平穩(wěn)性。 但實際設計中會發(fā)現(xiàn)，以上這兩點不可以兼得。窗譜肩峰的大小影響到通帶的平穩(wěn)的阻帶的衰減。雖然一直在盡力改善窗函數(shù)的形狀，但只有當窗譜逼近沖擊函數(shù)時. . ()H? 才會逼近 ()dH? 。這相當于將窗的長度變?yōu)闊o限長，沒有實際意義。一般總是通過增加主瓣寬度來換取旁瓣的抑制。 二、 窗函數(shù)簡介 常見的窗函數(shù)主要有 6 種，它們分別是矩形窗，三角窗，漢寧窗，海明窗，布萊克曼窗和凱塞窗。下面就它們各自的窗體表達式和頻率響應進行 介紹。 1. 矩形窗 矩形窗的窗體表達式為： ? ? 0 0 ,n1 , 0R n n Nw nN???? ? ??? ， （ 3 13） 其頻率響應為： ? ? ? ? ? ? 1122s in ( / 2 )s in ( / 2 )NNjjjR N R NW e R n W e e??? ?? ?????? ?? （ 3 14） 2. 三角窗 三角窗又叫做 巴特列特窗（ Bartlett）。三角窗的設計原理與矩形窗基本相同，只不過生成窗函數(shù)時采用函數(shù)生成三角窗。其分析如下： 21,012()212 , 112BrnNnNwnnN nNN?? ???? ??? ??? ? ? ?? ?? （ 3 15） 窗譜為： 2 211( ) ( )221si nsi n( )422 4() 1si n( ) si n( )22NNjjjBrN NW e e eNN ??????????????? ? ??? ???????? ????????????? ???? （ 3 16） “? ”當且僅當 1N? 成立。主瓣寬度 8 錯誤 !未找到引用源。 /N。且三角形窗頻譜密度函數(shù)永遠是正數(shù)。 3. 漢寧（ Hanning）窗（又稱升余弦窗） 12( ) 1 c o s2 ()1H n Nn nw n RN ??????? ????????? （ 3 17） 利用傅里葉變換的調(diào)制性質(zhì)，即利用 ? ?00() ( )j n je x n X e? ? ??? “? ”表示傅里葉變換對。再利用， 000c o s 2j n j neen ??? ??? . . 考慮到 錯誤 !未找到引用源。 的傅里葉變換為 ? ? ? ? 12NjjRRW e W e ?? ? ??? 得： ? ? ? ?? ?12 ( ) 5 ( ) ( )1D1T F TjHnNjHRnRRWW W WNNe w nWe???? ? ?????????? ? ? ? ???????? ??????? （ 3 18） 當 N187。1 時， N1≈N。所以窗譜的幅度函數(shù)為 ? ? 22( ω ) 0 . 5 0 . 2 5 [ ]H n R R RW W W WNN??? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? （ 3 19） 漢寧窗是下面一類窗的特例：當 a=2 時就是漢寧窗。 ( ) s in ( ) ( )1a Nnw n R nN ???? ????? （ 3 20） 4. 海明（ Hamming）窗（又稱改進之后的升余弦窗） 對于升余弦加以改進，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式為： 2 π( ) 0 .5 4 0 .4 6 c o s R ( )1 NHm nw n nN?????? ???? ????? （ 3 21） 其頻率響應的幅度函數(shù)為： ? ? 2 π 2 π( ) 0 . 5 4 0 . 2 3 [ ]11RRHm RW W W WNN? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? （ 3 22） 結(jié)果是可將 %的能量集中在窗譜的主瓣內(nèi)，與漢寧窗相比，主瓣寬度相同，但是旁瓣可能更小，旁瓣峰值小于主瓣峰值的 1%。同樣，海明窗是下面一類窗的特例（ ?? 時 ） N2 π( ) (1 ) c o s R ( )1nw n nN??????? ? ? ???? ????? （ 3 23） 5. 布萊克曼（ Blackman）窗（又稱二階升余弦窗） 為了更進一步的抑制旁瓣，可再加上余弦的二階諧波分量，得到布拉克曼窗 ： ? ?2 π 4 π0 . 4 2 0 . 5 c o s 0 . 0 8 c o s R ( )11Bl Nw N nn Nnn??? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? （ 3 24） 其頻率響應的幅度函數(shù)為： . . ? ? ? ? RRRR2 π 2 W W114 π 4 π [ W W ]11Bl RWW NNNN? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ? （ 3 25） 此時主瓣寬度為矩形窗譜主瓣寬度的三倍，即為 12 錯誤 !未找到引用源。 /N。布拉克曼窗是下面一類窗的特例：選 M=2， 錯誤 !未找到引用源。 =， 錯誤 !未找到引用源。 =， 錯誤 !未找到引用源。 = 時，即為布拉克曼窗。 02( ) ( 1 ) 0 . 5 c o s ( ) ( )1M m mNmnw n a m R nN ???????? ???? (3 26) 6. 凱賽（ Kaiser）窗 這是一種自適應型較強的窗 。其他幾個窗的窗體一旦確定，衰減程度也就被確定在一個較小的范圍內(nèi)。但凱澤窗通過引入?yún)⒆兞?錯誤 !未找到引用源。 錯誤 !未找到引用源。 來提高它窗體可供不同衰減的選擇性。 其窗函數(shù)的表達式為： 20k02I ( 1 ( 1 ) )1( ) , 0 1I ( )nNw n n N? ??? ?? ? ? ? （ 3 27） 其中 錯誤 !未找到引用源。 是貝塞爾函數(shù)， 錯誤 !未找到引用源。 是一個可以自由選擇的參數(shù)，它的直接作用就是調(diào)整主瓣與旁瓣電平關系， 錯誤 !未找到引用源。 越大，則 錯誤 !未找到引用源。 窗越窄，而頻譜的旁瓣越小，但是主瓣寬度也相應的增加。因而改變 錯誤 !未找到引用源。 值就可以對主瓣 寬度和旁瓣寬度進行選擇。一般情況下選擇 4錯誤 !未找到引用源。 9，這相當于旁瓣幅度與主瓣幅度的比值由 %變到了 %（ 30dB 到 76dB） 。 凱塞窗在不同的 錯誤 !未找到引用源。 下的性能歸納在表 3 3 中 表 3 3 凱塞窗的性能 過渡帶寬 /（ /N? ） 通帶波紋 /dB