【導(dǎo)讀】倒立擺是典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。在對(duì)倒立擺的控制。及跟蹤問題等，所以倒立擺被廣泛的用來驗(yàn)證各種控制理論和控制方法的有效性。首先利用牛頓力學(xué)分析的方法建立了直線一級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的線性狀態(tài)方程，并在此基礎(chǔ)上分析了該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，同時(shí)又是能控的和能觀的。MATLAB仿真分析了這種算法的優(yōu)缺點(diǎn)。在LQR最優(yōu)控制器的設(shè)計(jì)中，我們通過不斷。系統(tǒng)，并具有較好的穩(wěn)態(tài)效果。LQR法適合應(yīng)用到對(duì)穩(wěn)態(tài)性能要求較高的控制系統(tǒng)中。

　　

【正文】 平衡狀態(tài)時(shí)，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或可線性化的，并且性能指標(biāo)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。它解很容易獲得，并且可以達(dá)到非常好的控制效果。其控制原理框圖如圖 31 所示 : 圖 31 LQR控制系 統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖 由系統(tǒng)的方程： BuAXX ??? (36) 確定下列最優(yōu)控制向量的矩陣 K： )(tKxu ?? (37) 使得性能指標(biāo)達(dá)到最小值 : ?? ??0 )(21 dtRuuQxxJ TT (38) 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 21 式中 Q— 為正定 (或正半定 )厄米特或?qū)崒?duì)稱陣 。 R— 為正定厄米 特或?qū)崒?duì)稱陣 [19]。 方程右端第二項(xiàng)是考慮到控制能量的損耗而引進(jìn)的，矩陣 Q和 R確定了誤差和能量損耗的相對(duì)重要性，并且假設(shè)控制向量是無約束的。 如前所述，線性二次最優(yōu)控制規(guī)律是最優(yōu)控制規(guī)律，因此，如果能夠確定反饋矩陣 K 的未知元素，使得性能指標(biāo)達(dá)到最小，則 )(tKxu ?? 對(duì)任意初始狀態(tài) x(0)而言都是最優(yōu)的，下面求解最優(yōu)化問題，將方程 (37)代入 (36)中可以得到 : xBKAB K xAxx )( ????? (39) 在下面的推導(dǎo)中，假設(shè) ABK 是一個(gè)穩(wěn)態(tài)矩陣，也就是 A－ BK 的特征值都具有負(fù)實(shí)部，將方程 (37)代入 (38)，得到 : ? ?? ? ???? 0 0 )()( x dtRKQxdtR KxxQxxJ TTT (310) 令： )()( pxxdtdxRTKQx TTT ??? 式中 P為厄米特或是對(duì)稱矩陣，于是得到： xBKAPPBKAxxPxPxxxRKKQx TTTTTT )]()[()( ????????? ?? (311) 比較（ 311）方程兩端，該方程對(duì)于任意 x都成立，要求： )()()( RKKQBKAPPBKA TT ?????? （ 312） 可以證明，如果 ABK 是穩(wěn)態(tài)矩陣，則 比存在一個(gè)正定矩陣 P，滿足式（ 312）因此，可以按下一步求解，由方程（ 312）確定 P的元素，并檢驗(yàn)是否正定（應(yīng)當(dāng)之處，可能不知一個(gè) P 滿足該方程。如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則比存在一個(gè)正定的矩陣 P滿足這個(gè)方程，這就意味著，若求解這個(gè)方程，并且找到一個(gè)正定的矩陣 P，那么系統(tǒng)就是穩(wěn)定的，若滿足方程的其他矩陣 P不是正定的，則必須舍棄） 性能指標(biāo)計(jì)算如下方程： )0()0()()()(00 PxxPxxPxxx dtRKKQxJ TTTTT ????????? ??? （ 313） 因此假設(shè) ABK 的所有特征值都具有負(fù)實(shí)部，所以有 x(? )趨近與 0，因此得到： )0()0( PxxJ T? （ 314） 于是性能指標(biāo)可以由初始條件 x(0)和 P得到。 為求解二次最優(yōu)控制問題的解，可以假設(shè) P是正定厄米特或?qū)崒?duì)稱矩陣，所以設(shè)： TTR T? （ 315） 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 22 式中： T為非奇異矩陣，于是，方程（ 312）可以寫成： 0)()( ?????? TKTKQBKAPPBKA TTT （ 316） 可以改寫成下一種形式： 0])([])([ 111 ??????? ??? QPBP B RPBTTKPBTTKPAPA TTTTTTT （ 317） 求 J 對(duì) K 的極小值，既當(dāng)： PBRPBTTK TTT 11)( ?? ?? （ 318） 時(shí)取極小值，因此方程： PBRPBTTK TTT 111 )( ??? ?? （ 319） 給出最有矩陣 K，因此當(dāng)二次最優(yōu)控制性能指標(biāo)由方程（ 313）給出時(shí)，其最有控制系統(tǒng)是線性的，并且由一下形式給出： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT （ 320） 方程（ 320）稱為退化矩陣?yán)杩ㄌ岱匠蹋傊?，可以按如下方法進(jìn)行設(shè)計(jì)： ，求解矩陣 P，如果存在正定矩陣 P，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 P 帶入方程 12中求得的矩陣 K即為最優(yōu)矩陣 [20]。 對(duì)于以經(jīng)知道狀態(tài)方程的系統(tǒng)而言，利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣 K，具體的方法是： 對(duì)于線性系統(tǒng)：??? ? ??CXY BuAXX? 根據(jù)期望的性能指標(biāo)選取 Q和 R，利用： ),( RQBAlqrK ? (321) 既可以得到 K的值。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 23 第四章 仿真及性能參數(shù)分析 在 LQR 算法中，性能參數(shù) Q、 R 的選擇非常重要，如果選擇不當(dāng)，則可能使系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)，就更談不上“最優(yōu)”了。因此只有通過反復(fù)的實(shí)驗(yàn)選取合適的 Q和 R 才能實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。下面是選擇性能參數(shù) Q和 R的一般原則： 1）通常將 Q和 R選為對(duì)角線矩陣，并且在實(shí)際的應(yīng) 用中我們一般將 R的值固定，然后再改變 Q的值，最優(yōu)控制的確定通常是在經(jīng)過仿真或?qū)嶋H比較后得到的。當(dāng)控制輸入只有一個(gè)時(shí)， R 成為一個(gè)標(biāo)量值（一般可直接選取 R=1）。 2） Q 的選擇不唯一，這說明當(dāng)?shù)玫降目刂破飨嗤瑫r(shí)，可以有多種 Q 值可選擇，但是其中總有一個(gè)是對(duì)角線形式的 Q。根據(jù)以上原則，我們以第二章推導(dǎo)出的倒立擺的狀態(tài)方程并結(jié)合仿真實(shí)驗(yàn)來分析如何選定合適的 Q參數(shù) . 平面一級(jí)倒立擺的 LQR 控制器設(shè)計(jì) 下面我們用 Matlab 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真， LQR 仿真語句如下： A=[0 1 0 0。 0 0。 0 0 0 1。 0 0]。 B=[0 0 ]。 C=[1 0 0 0。 0 1 0 0。 0 0 1 0。 0 0 0 1]。 D=[0。0。0。0]。 x=1。 y=1。 Q=[x 0 0 0。 0 0 0 0。 0 0 y 0。 0 0 0 0]。 R=1。 K=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(AB*K)]。 Bc=[B]。 Cc=[C]。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 24 Dc=[D]。 T=0::5。 U=ones(size(T))。 x0=[0 0 0 0]。 [Y,X]=lsim(Ac,Bc,Cc,Dc,U,T,x0)。 plot(T,Y)。 仿真結(jié)果分析： ?????????????00000000000000yxQ ， R＝ 1； 我們選取初始值 x=1,y=1 首先進(jìn)行仿真調(diào)節(jié)，得到的二次最有矩陣 K =［ ］，并且得到一級(jí)倒立擺的仿真圖形如圖 41所示。 圖 41 x=1,y=1時(shí)一級(jí)倒立擺的仿真圖 在圖 41中，可以看出小車位移和擺桿角度的調(diào)整時(shí)間均要大于 2 秒，擺桿的最大震動(dòng)幅度約為 ,小車的位移最大震動(dòng)幅度約為 米，控制作用是非常微弱的。為此我們考慮加大權(quán)矩陣 Q 并保持矩陣 R 不變來觀察系統(tǒng)的響應(yīng)情況，我們來調(diào)整矩陣 Q的系數(shù)，選取 x=5000,y=100 的一組來仿真。 仿真的結(jié)果是二次最優(yōu)矩陣 K =[ ],系內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 25 統(tǒng)的響應(yīng)如圖 42所示 . 圖 42 x=5000,y=100時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 圖 42 中可以看出，小車位移和擺桿角度的調(diào)整時(shí)間都減小到了 秒以下，小車位移的最大震動(dòng)幅度減小到 米，擺桿的震動(dòng)幅度減小到 ，控制作用非常明顯。 圖 43 系統(tǒng)受到?jīng)_激的響應(yīng)曲線 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 26 為了進(jìn)一步觀察控制作用，給系統(tǒng)一個(gè)強(qiáng)度為 的沖激，具體到 matlab 程序中，把程序中的輸入信號(hào)改為 U=*ones(size(T))。進(jìn)行仿真得到的圖形如圖 43所示，圖 43顯示系統(tǒng)對(duì)沖激具有非常好的穩(wěn)定性，擺桿在水平上的位移和擺桿的角度都均控制到了非常的小。 對(duì)優(yōu)化系統(tǒng)進(jìn)一步仿真，改變系統(tǒng)的初始條件，把 x=[0 0 0 0]改 變?yōu)?x=[ 0 0],即給小車的位移和擺桿的角度一個(gè)初始量，仿真曲線如圖 44 所示，圖 44曲線表明 :系統(tǒng)具有很好的穩(wěn)態(tài)性能和動(dòng)態(tài)性能 ,小車位移和擺桿的角度能非?？斓幕謴?fù)到平衡狀態(tài) ,超調(diào)量很小 ,性能指標(biāo)的精度非常高。 圖 44 系統(tǒng)改變初始條件后的仿真曲線 通過合理地選擇輸入量，建立了一種基于加速度控制的倒立擺數(shù)學(xué)模型。模型的正確性不但在理論上通過 Matlab 仿真，而且在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎(chǔ)上得到的LQR控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。 改變矩陣 Q的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q 的值越大（在一 定的范圍內(nèi)），系統(tǒng)抗干擾能力越強(qiáng)，調(diào)整時(shí)間越短，但是 Q 不能過大。應(yīng)該選擇合適的 Q和 R 。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 27 結(jié) 論 倒立擺系統(tǒng)作為典型的非線性、多變量、強(qiáng)耦合和高階次不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)其的穩(wěn)定控制需要很高的控制精度和實(shí)時(shí)性，因此倒立擺出現(xiàn)以來一直是研究控制理論和控制工程的理想實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。本文以直線一級(jí)倒立擺為研究對(duì)象，首先介紹了倒立擺系統(tǒng)研究的意義、國內(nèi)外發(fā)展的現(xiàn)狀、幾種常見的倒立擺的控制方法及倒立擺實(shí)物系統(tǒng)的硬件和軟件組成；然后推導(dǎo)出了直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型，并在次基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)了線性二次最優(yōu)控制的控制器，利用 MATLAB 對(duì)上述方法進(jìn)行了仿真，取得了一些成果和有一定價(jià)值的結(jié)論。 （ 1）直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)由于數(shù)學(xué)模型較為簡(jiǎn)單，計(jì)算量較小，因此我們選通俗易懂的牛頓力學(xué)法的分析方法進(jìn)行建模，這樣整個(gè)建模過程就顯得清晰明了。同時(shí)為了得到倒立擺系統(tǒng)精確的線性狀態(tài)方程，我們采取了合理的線性化，忽略了一些次要的因素，這在理論上是可行的，通過 MATLAB 仿真驗(yàn)證也是可行的。 （ 2）通 過線 性二次 最優(yōu)控 制研究 倒立擺 的穩(wěn)定 控制 ，提出 了基于MATLAB/Simulink 的 LQR 控制參數(shù)整定的方法，并通過不斷的 MATLBA 仿真實(shí)驗(yàn)總結(jié)出了線性二次 最優(yōu)控制的性能矩陣 Q選擇的基本規(guī)律。同時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)證明：線性二次最優(yōu)控制能較好的實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的穩(wěn)定控制。 （ 3）雖然線性二次最優(yōu)控制能較好對(duì)倒立擺實(shí)施有效的控制，同時(shí)均具有良好的穩(wěn)態(tài)效果，但是還是存在一定差異的。通過對(duì)這種控制算法仿真圖的比較，我們認(rèn)為 LQR 法更適合應(yīng)用到對(duì)穩(wěn)態(tài)性能要求較高的控制系統(tǒng)中。然而綜合各項(xiàng)性能指標(biāo)來看， LQR 法還是具有很好的控制性能。 （ 4）本文的整個(gè)撰寫過程是對(duì)相關(guān)知識(shí)融會(huì)貫通的過程，不僅提高了自己經(jīng)典控制理論和現(xiàn)代控制理論的知識(shí)了解，同時(shí)也增強(qiáng)對(duì)相關(guān)學(xué)科的掌握。如進(jìn)一步熟練了 MATLAB/Sumlink 的使用，掌握了對(duì)實(shí)際控制系統(tǒng)的調(diào)試方法。 第一次對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行理論研究，就所涉及的范圍來說，設(shè)計(jì)的控制器中還存在一些參數(shù)不是很合理的問題，需要以后進(jìn)一步的改善與提高，在今后的工作中還需要深入研究的方面主要有： （ 1）倒立擺的二次線性最優(yōu)控制中性能矩陣 Q 和 R 的選擇因?yàn)榈侥壳盀橹惯€沒有相當(dāng)成熟的方法，所以在選擇的過程中就存在著很大的人為因素。而本人雖然提出了一些有效的選取規(guī)律，但是因?yàn)榻o出的只是些定性的選取原則，沒有給出相應(yīng)的定量的計(jì)算公式，所以還是沒有很強(qiáng)的可操作性。因此下一步對(duì)二次 線性最優(yōu)控制的研內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 28 究要主要放在參數(shù)的選取原則的探究上。 （ 2）本文所有的仿真均是建立在 MATLAB/Simulink 軟件下的，雖然這種控制算法取得了一定控制效果，但是由于條件的限制和時(shí)間的緊張，沒有進(jìn)行倒立擺實(shí)物實(shí)驗(yàn)，因此所得出的結(jié)論還是顯得不是很有說服力，所以今后要在有條件的時(shí)候進(jìn)行實(shí)物實(shí)驗(yàn)，這樣才能真正將理論和實(shí)踐結(jié)合起來。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計(jì)說明書 29 參考文獻(xiàn) [1] 張葛祥，李眾立，畢效輝 .倒立擺與自動(dòng)控制技術(shù)研究 [J].西南工學(xué)院 2021，16(3):1216. 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