【正文】 負實部，將方程 (37)代入 (38)，得到 : ? ?? ? ???? 0 0 )()( x dtRKQxdtR KxxQxxJ TTT (310) 令： )()( pxxdtdxRTKQx TTT ??? 式中 P為厄米特或是對稱矩陣，于是得到： xBKAPPBKAxxPxPxxxRKKQx TTTTTT )]()[()( ????????? ?? (311) 比較（ 311）方程兩端，該方程對于任意 x都成立，要求： )()()( RKKQBKAPPBKA TT ?????? （ 312） 可以證明，如果 ABK 是穩(wěn)態(tài)矩陣，則 比存在一個正定矩陣 P，滿足式（ 312）因此，可以按下一步求解，由方程（ 312）確定 P的元素，并檢驗是否正定（應(yīng)當(dāng)之處，可能不知一個 P 滿足該方程。 對于以經(jīng)知道狀態(tài)方程的系統(tǒng)而言，利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣 K，具體的方法是： 對于線性系統(tǒng)：??? ? ??CXY BuAXX? 根據(jù)期望的性能指標(biāo)選取 Q和 R，利用： ),( RQBAlqrK ? (321) 既可以得到 K的值。當(dāng)控制輸入只有一個時， R 成為一個標(biāo)量值（一般可直接選取 R=1）。 0 0 0 1。 0 1 0 0。0。 y=1。 0 0 0 0]。 Cc=[C]。 x0=[0 0 0 0]。 圖 41 x=1,y=1時一級倒立擺的仿真圖 在圖 41中，可以看出小車位移和擺桿角度的調(diào)整時間均要大于 2 秒，擺桿的最大震動幅度約為 ,小車的位移最大震動幅度約為 米，控制作用是非常微弱的。進行仿真得到的圖形如圖 43所示，圖 43顯示系統(tǒng)對沖激具有非常好的穩(wěn)定性，擺桿在水平上的位移和擺桿的角度都均控制到了非常的小。 改變矩陣 Q的值，可以得到不同的響應(yīng)效果，Q 的值越大（在一 定的范圍內(nèi)），系統(tǒng)抗干擾能力越強，調(diào)整時間越短，但是 Q 不能過大。 （ 1）直線一級倒立擺系統(tǒng)由于數(shù)學(xué)模型較為簡單，計算量較小，因此我們選通俗易懂的牛頓力學(xué)法的分析方法進行建模，這樣整個建模過程就顯得清晰明了。 （ 3）雖然線性二次最優(yōu)控制能較好對倒立擺實施有效的控制，同時均具有良好的穩(wěn)態(tài)效果，但是還是存在一定差異的。如進一步熟練了 MATLAB/Sumlink 的使用，掌握了對實際控制系統(tǒng)的調(diào)試方法。 （ 2）本文所有的仿真均是建立在 MATLAB/Simulink 軟件下的，雖然這種控制算法取得了一定控制效果，但是由于條件的限制和時間的緊張，沒有進行倒立擺實物實驗，因此所得出的結(jié)論還是顯得不是很有說服力，所以今后要在有條件的時候進行實物實驗，這樣才能真正將理論和實踐結(jié)合起來。而本人雖然提出了一些有效的選取規(guī)律，但是因為給出的只是些定性的選取原則，沒有給出相應(yīng)的定量的計算公式，所以還是沒有很強的可操作性。然而綜合各項性能指標(biāo)來看， LQR 法還是具有很好的控制性能。 （ 2）通 過線 性二次 最優(yōu)控 制研究 倒立擺 的穩(wěn)定 控制 ，提出 了基于MATLAB/Simulink 的 LQR 控制參數(shù)整定的方法，并通過不斷的 MATLBA 仿真實驗總結(jié)出了線性二次 最優(yōu)控制的性能矩陣 Q選擇的基本規(guī)律。 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計說明書 27 結(jié) 論 倒立擺系統(tǒng)作為典型的非線性、多變量、強耦合和高階次不穩(wěn)定系統(tǒng)，對其的穩(wěn)定控制需要很高的控制精度和實時性，因此倒立擺出現(xiàn)以來一直是研究控制理論和控制工程的理想實驗平臺。 圖 44 系統(tǒng)改變初始條件后的仿真曲線 通過合理地選擇輸入量，建立了一種基于加速度控制的倒立擺數(shù)學(xué)模型。 仿真的結(jié)果是二次最優(yōu)矩陣 K =[ ],系內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計說明書 25 統(tǒng)的響應(yīng)如圖 42所示 . 圖 42 x=5000,y=100時系統(tǒng)的響應(yīng)曲線 圖 42 中可以看出，小車位移和擺桿角度的調(diào)整時間都減小到了 秒以下，小車位移的最大震動幅度減小到 米，擺桿的震動幅度減小到 ，控制作用非常明顯。 plot(T,Y)。 T=0::5。 K=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(AB*K)]。 0 0 0 0。0]。 0 0 0 1]。 B=[0 0 ]。根據(jù)以上原則，我們以第二章推導(dǎo)出的倒立擺的狀態(tài)方程并結(jié)合仿真實驗來分析如何選定合適的 Q參數(shù) . 平面一級倒立擺的 LQR 控制器設(shè)計 下面我們用 Matlab 對系統(tǒng)進行仿真， LQR 仿真語句如下： A=[0 1 0 0。因此只有通過反復(fù)的實驗選取合適的 Q和 R 才能實現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。 為求解二次最優(yōu)控制問題的解，可以假設(shè) P是正定厄米特或?qū)崒ΨQ矩陣，所以設(shè)： TTR T? （ 315） 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計說明書 22 式中： T為非奇異矩陣，于是，方程（ 312）可以寫成： 0)()( ?????? TKTKQBKAPPBKA TTT （ 316） 可以改寫成下一種形式： 0])([])([ 111 ??????? ??? QPBP B RPBTTKPBTTKPAPA TTTTTTT （ 317） 求 J 對 K 的極小值，既當(dāng)： PBRPBTTK TTT 11)( ?? ?? （ 318） 時取極小值，因此方程： PBRPBTTK TTT 111 )( ??? ?? （ 319） 給出最有矩陣 K，因此當(dāng)二次最優(yōu)控制性能指標(biāo)由方程（ 313）給出時，其最有控制系統(tǒng)是線性的，并且由一下形式給出： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT （ 320） 方程（ 320）稱為退化矩陣?yán)杩ㄌ岱匠?，總之，可以按如下方法進行設(shè)計： ，求解矩陣 P，如果存在正定矩陣 P，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 R— 為正定厄米 特或?qū)崒ΨQ陣 [19]。它的任務(wù)在于，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)由于任何原因偏離了平衡狀態(tài)時，能在不消耗過多能量的情況下，保持系統(tǒng)狀態(tài)各分量仍接近于平衡狀態(tài)。 定理 對于一個線性時變系統(tǒng)它的狀態(tài)空間方程如下表示 ??? ???? )()()( )(),()()()()( 00txtCty xtxtutBtxtAtx 對于如下的最優(yōu)性能指標(biāo)式 )]()()()[()(1* tgtxtPtBtRu T ??? ? 其中 x(t)、 u(t)、 y(t)和 yr(t)分別是 n、 r、 m 和 m 維的狀態(tài)向量、無限制的控制向量、輸出向量和理想輸出， A(t)、 B(t)和 C(t)分別是 nn? 、 rn? 和 mn? 維時變矩陣，它們均從 t0到 tf有 界且連續(xù)， F和 Q(t)均為半正定常數(shù)陣， R(t)是正定對稱陣 rr? 階，最優(yōu)控制函數(shù)如下式所示。輸出調(diào)節(jié)器的控制向量是 x(t)的線性函 數(shù)，這說明組成最優(yōu)控制系統(tǒng)需要我們知道所有狀態(tài)信息的反饋。 輸出調(diào)節(jié)器 根據(jù) (31)式和 (32)式若理想輸出向量 yr(t)=0，則 e(t)=y(t)，因此， (33)式可以化為 : ? ??? ftt TTfyfT dttutRtutytQtytFtyJ 0 )]()()()()()([21)()(21 (35) 式中 F和 Q(t)是 mm? 階矩陣， F 是半正定常數(shù)陣 Q(t)是半正定對 稱陣， R(t)是rr? 階正定的對稱陣而且 R(t)與 Q(t)在時間為 0t 到 ft 上有界且連續(xù)，其中 ft 為固定值。 第二步，由 A(r)、 B(r)、 Q(r)和 R求解 Rieeati 方程得到矩陣。 對于如下的最優(yōu)性能指標(biāo)式 : )()()(21 000* txtPtxJ T? 其中 P(t)是非負定對稱矩陣 nn? 維 ，矩陣 p(t)符合以下 Riccati 微分方程 : )()()()()()()()( 1 tQtPtBRtBtPtAtAtPP TT ???? ?? 矩陣 P的邊界條件是 : Ftp f ?)( 而最優(yōu)曲線 )(*tx 是以下微分方程的解 : 001 )(),()]()()()()([)( xtxtxtPtBtRtBtAtx T ??? ?? 由定理 可以看出二次型性能指標(biāo)函數(shù)得出的最優(yōu)控制是一種狀態(tài)反饋的形式。 tf]上連續(xù)且有界， F是半正定常數(shù)陣 Q(t)是半正定對稱陣， R(t)是 rr? 階正定的對稱陣，時間為 0t 到 tf。如果終端誤差項是零那么此項可以略去不寫。 2）積分項 : )()(21ffT tFete 設(shè) : )()()(21)]()()([21 1 1 tututrtutRtuL jiri rj ijTu ? ?? ??? 由于 R(t)大于 0且為對稱陣，控制量與作用力成正比，因此它代表整個控制過程能量的消耗。 通常我們使用 (33)式表示二次型性能指標(biāo) : dttutRtutetQtetFeteJ Ttt TffT f )]()()()()()([21)()(21 0 ??? ? (33) 式中 :F和 Q(t)是 mm? 階矩陣， F 是半正定常數(shù)陣 Q(t)是半正定對稱陣， R(t)是 rr?階正定的對稱陣，時間為 0t 到 ft ，確定最優(yōu)反饋控 制率 )(*tu 使得 (33)式最小。 誤差向量 : )()()( tytyte r ?? (32) 式中 : )(tyr 為期望輸出?？梢蕴幚頂_動信號和測量噪聲問題 :可以處理有限和無限的時間區(qū)間 [18]。由于倒立擺固有的特性，其的平衡點均是不穩(wěn)定的平衡點，但其又是能控的和能觀的。 定理 3（能觀性判據(jù)） n 階線性定常連續(xù)系統(tǒng) ??? ? ??CXY BuAXX? 狀態(tài)完全能觀，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能觀性矩陣： 21( ) ( ) ( ) TT T T nC C A C A C A ????? 21nB A B A B A B?????內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計說明書 14 滿秩，即 rank（ V） =n 倒立擺系統(tǒng)的性能分析 倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程為： ??? ?? ?? )()()( )()()( tDutCxty tButAxtx? 其中： A=????????????000000000010， B=????????????3010， C= ?????? 0100 0001， D=0 將 A 的值帶入特征方程 ?? 0det ?? AI? ,經(jīng)過計算可以得到系統(tǒng)的特征值：,0 4,32,1 ??? ?? ，系統(tǒng)有兩重特征根在原點，有一個特征根在復(fù)頻域的右半平面上，有一個特征根在復(fù)頻域的左半平面上，由定理 1 可知：直線一級倒立擺系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。在分 析倒立擺系統(tǒng)的性能之前，我們有必要了解相關(guān)的定理。 一 級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計說明書 9 擺桿組成的系統(tǒng)，如圖 21所示。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難但是經(jīng)過假設(shè)忽略掉一些次要因素后，例如空氣阻力、伺服電機的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動皮帶的彈性、傳動齒輪的間隙等等。因此，建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是進行控制系統(tǒng)分析和設(shè)計的首要工作。 。研究內(nèi)容主要有： ，建 立平面一級倒立擺的數(shù)學(xué)模型，利用自控原理對倒立擺進行定性的分析，得出倒立擺的開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，但在平衡點附近是能觀能控的。用強化學(xué)習(xí)方法來實現(xiàn)倒立擺的平衡控制，至今也己經(jīng)取得了不少成果。模糊控制通過確定模糊規(guī)則，設(shè)計出模糊控制器來實現(xiàn)對倒立擺的控制。倒立擺系統(tǒng)只有在平衡位置附近才可簡化為線性模型，這使得針對線性化模型進行控制系統(tǒng)設(shè)計的經(jīng)典和現(xiàn)代控制理論難以達到理想的控制效果。在控制設(shè)計中應(yīng)用最優(yōu)線性二次調(diào)節(jié)器方法的關(guān)鍵在于由分析和實驗找到能使系統(tǒng)穩(wěn)定工作的“初始”控制，再根據(jù)對閉環(huán)系統(tǒng)的性能要求，調(diào)整二次性能指標(biāo)中內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)本科畢業(yè)設(shè)計說明書 6 的加權(quán)矩陣 Q、 R 來獲得最優(yōu)控制 kxu? 。利用狀態(tài)反饋方法、極點配置法和最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器方法都可以實現(xiàn)對二級倒立擺的控制。用經(jīng)典控制理論的頻域法設(shè)計非最小相位系統(tǒng)的控制器并不需要十分精確的被控對象的數(shù)學(xué)模型，因為只要控制器使系統(tǒng)具有充分大的相位裕量就能獲得系統(tǒng)參數(shù)在很寬范圍內(nèi)的穩(wěn)定性。伴隨著控制理論的不斷發(fā)展，對倒立擺的控制也出現(xiàn)了采用經(jīng)典控制理論、現(xiàn)代控制理論和人工智能控制理論等多種控制理論的方案和控制方法，并均實現(xiàn)了實物實驗的成功。 4) 開環(huán)不穩(wěn)定性 倒立擺的平衡狀態(tài)只有兩個，即在垂直