【正文】 最優(yōu)控制函數(shù)如下式所示。 R— 為正定厄米 特或實對稱陣 [19]。因此只有通過反復的實驗選取合適的 Q和 R 才能實現(xiàn)對倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。 B=[0 0 ]。0]。 K=lqr(A,B,Q,R) Ac=[(AB*K)]。 plot(T,Y)。 圖 44 系統(tǒng)改變初始條件后的仿真曲線 通過合理地選擇輸入量，建立了一種基于加速度控制的倒立擺數(shù)學模型。 （ 2）通 過線 性二次 最優(yōu)控 制研究 倒立擺 的穩(wěn)定 控制 ，提出 了基于MATLAB/Simulink 的 LQR 控制參數(shù)整定的方法，并通過不斷的 MATLBA 仿真實驗總結出了線性二次 最優(yōu)控制的性能矩陣 Q選擇的基本規(guī)律。而本人雖然提出了一些有效的選取規(guī)律，但是因為給出的只是些定性的選取原則，沒有給出相應的定量的計算公式，所以還是沒有很強的可操作性。如進一步熟練了 MATLAB/Sumlink 的使用，掌握了對實際控制系統(tǒng)的調試方法。 （ 1）直線一級倒立擺系統(tǒng)由于數(shù)學模型較為簡單，計算量較小，因此我們選通俗易懂的牛頓力學法的分析方法進行建模，這樣整個建模過程就顯得清晰明了。進行仿真得到的圖形如圖 43所示，圖 43顯示系統(tǒng)對沖激具有非常好的穩(wěn)定性，擺桿在水平上的位移和擺桿的角度都均控制到了非常的小。 x0=[0 0 0 0]。 0 0 0 0]。0。 0 0 0 1。 對于以經知道狀態(tài)方程的系統(tǒng)而言，利用 Matlab 的 LQR 函數(shù)可以很方便的求解反饋矩陣 K，具體的方法是： 對于線性系統(tǒng)：??? ? ??CXY BuAXX? 根據(jù)期望的性能指標選取 Q和 R，利用： ),( RQBAlqrK ? (321) 既可以得到 K的值。它解很容易獲得，并且可以達到非常好的控制效果。 輸出跟蹤器 線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 (31) 和二次型性能指標式 (32) ，當ItC ?)( , 0)( ?tyr 時，設 yr(t)是一個理想的輸出，它要求這個系統(tǒng)的實際輸出 y(t)能夠與這個理想輸出一致，并且可以使性能指標取得極小值，這樣的問題被稱之為輸出跟蹤器問題。 第四步，求解微分方程得到最優(yōu)曲線 )(*tx 。 所謂有限時間狀態(tài)調節(jié)器是指線性時變系統(tǒng)其終端時刻有限的調節(jié)器。由于 R(t)是時間 t的函數(shù)，因此意味著，對不同時刻的控制分量 ， R(t)可以賦予不同的權重。如果我們假設 u(t)無限制，那么誤差向量 e(t)趨向于極小值，則會使 u(t)變得極大，也就表明控 制能量太大，無法實現(xiàn)。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設計的一種重要工具，其特點是 :它為多變量反饋系統(tǒng)的設計提供了一種有效的分析方法 。 （ 2）系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài) 0?ex 是漸進穩(wěn)定的充分必要條件是： A 的所有特征值具有負實部。 對于倒立擺系統(tǒng)，由于其本身是自然不穩(wěn)定的系統(tǒng)，實驗建模存在一定的困難，但是經過假設忽略掉一些因素，故而選用機理建模的方法。在靜態(tài)條件下 (即變量各階導數(shù)為零 )，描述變量之間關系的代數(shù)方程叫靜態(tài)數(shù)學模型；而描述變量各階導數(shù)之間關系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學模型 [16]。利用能量反饋的方法對倒立擺進行平衡控制，在平衡點附近利用線性二次最優(yōu)控制的方法實現(xiàn)穩(wěn)擺控制。 模糊控制是以模糊集合論、模糊語言變量及模糊邏輯推理等作為理論依據(jù)，以傳感器技術、計算機技術和自動控制理論為基礎的一種新型的自動控制理論 和控制方法。介紹了利用極點配置法和最優(yōu)線性二次狀態(tài)調節(jié)器 LQR和線性 二次輸出調節(jié)器 LQY控制倒立擺的方法。利用牛頓第二運動定律對倒立擺系統(tǒng)進行力學分析，建立小車在水平運動和擺桿在垂直位置上的動力學方程，并進行合理的線性化，拉氏變換，得出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，從而得到零極點分布情況。 2) 不確定性 主要是模型誤差以及機械傳動間隙，各種阻力等，實際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。 1996 年， 研究了用能量控制策略來實現(xiàn)一級倒立擺的起擺的起擺 [11]。 1994 年 8 月，北京航空航內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)設計說明書 4 天大學自動控制系張明廉教授等人組成的人工智能小組，成功地用單電機實現(xiàn)了對三級倒立擺的穩(wěn)定控制。神經網絡控制能夠任意充分地逼近復雜的非線性關系，能夠學習與適應嚴重不確定性系統(tǒng) [8]。 倒立擺研究的 國內外回顧以及現(xiàn)狀 倒立擺最初研究開始于二十世紀 50年代，麻省理工學院 (MIT)的控制論專家根據(jù)火箭發(fā)射助推器原理設計出一級倒立擺實驗設備。因此，倒立擺系統(tǒng)的研究具有較強的理論指導意義。 3) 平面倒立擺系列 平面倒立擺是在可以做平面運動的運動模塊上裝有擺桿組件，平面運動模塊主要有兩類：一類是 XY 運動平臺，另一類是兩自由度 SCARA 機械臂；擺體組件也有一級、二級、三級和四級很多種。本文僅對直線一級倒立擺做出初步研究，并能掌握關于倒立擺的基本知識。近幾十年以來，更加復雜多種形式的倒立擺系統(tǒng)成為控制理論研究領域研究的熱點。而且LQR法適合應用到對穩(wěn)態(tài)性能要求較高的控制系統(tǒng)中。在對倒立擺的控制過程中能反映控制理論中的許多關鍵問題，如鎮(zhèn)定問題、非線性問題、魯棒性問題以及跟蹤問題等，所以倒立擺被廣泛的用來驗證各種控制理論和控制方法的有效性。能量控制 。倒立擺系統(tǒng)的控制效果既可以通過其穩(wěn)定非常直觀地體現(xiàn)，又可以通過擺桿角度、小車位移直接度量，其實驗效果非常直觀和顯著 [1]。隨著倒立擺系統(tǒng)控制研究的不斷深入，倒立擺系統(tǒng)也由簡單的一級倒立擺發(fā)展為多種形式的倒立擺。倒立擺具有結構簡單，成本低，便于用各種方法進行控制的特點，近年來受到了專家學者的廣泛關注，成為了研究熱點。采用遺傳算法優(yōu)化倒立擺擺起控制決策，是一種近似全局優(yōu)化的方法，可以為專家系統(tǒng)或智能控制方法提供更多的參考和借鑒。直到 70 年代國內外學者對不同類型的倒立擺問題進行了較為廣泛的研究。 1993 年， Bouslama 利用一個簡單的神經網絡來學習模糊控制器的輸入輸出數(shù)據(jù)，設計了新型控制器。而由此項理論產生的方法和技術將在半導體及精密儀器加 工、機器人技術、導彈攔截控制系統(tǒng)、航空器對接控制技術等方面具有廣闊的開發(fā)利用前景。李祖樞等人利用擬人智能控制理論研究了二級倒立擺的起擺和控制問題 [14]。 5) 約束限制 由于機構的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等?，F(xiàn)代控制理論采用狀態(tài)空間法，把經典控制理論中的 高階定常微分方程轉換為一階微分方程組，用來描述系統(tǒng)的動態(tài)過程。不管是經典控制理論還是現(xiàn)代控制理論，一個共同的特點是建立在系統(tǒng)精確的數(shù)學模型之上。由于模糊控制理論目前尚無簡單、實用的方法處理多變量問題，故用合適的方法處理倒立擺中多個變量之間的關系，仍是其要解決的中心問題。 。建立控制系統(tǒng)模型的方法可以分為兩種方式：實驗建模和機理建模。 圖 21直線一級倒立擺系統(tǒng) 一級倒立擺的參數(shù)如下表 21所示。將 A、 B、 C 的值分別帶入到 M 和 V 的表達式中，可以得到兩個矩陣的秩 rank（ M）=rank（ V） =4，與系統(tǒng)的階數(shù)相同，由定理 3可知：直線一級倒立擺系統(tǒng)是能控、能觀的。 一個己知的線性系統(tǒng)的最優(yōu)問題是指將這個系統(tǒng)的狀態(tài)變量的二次型函數(shù)積分和控制變量的二次型函數(shù)積分當做系統(tǒng)的性能指標函數(shù)，又可以將它叫做線性二次型的性能指標最優(yōu)問題，也可以 將它簡稱為二次型問題。 內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)設計說明書 16 在 (33)式中，其各項都有明確的物理含義，可分述如下： 1）積分項 : ? ftt T dttetQte0 )()()(21 設： )()()(21)]()()([21 1 1 tetetqtetQteL jimi mj ijTe ? ?? ??? 由于 Q(t)為半正定矩陣在 0[ , ]ftt 非負，因此積分不僅表示在區(qū)間 0[ , ]ftt 上誤差的大小，而且還表示出控制過程中該系統(tǒng)的動態(tài)跟蹤誤差累積的總和。 二次型性能指標，即 (33)式最小的物理含義為 :系統(tǒng)在整個控制過程中控制能量的消耗、動態(tài)跟蹤誤差和終端跟蹤誤差三項的和最優(yōu)。當 [t0， tf]有限時，狀態(tài)線性反饋可以使二次型性能指標 (34)式為最小。線性二次型問題歸結為當系統(tǒng)受到擾動偏離原來輸出平衡狀態(tài)時，要求有控制向量使系統(tǒng)輸出維持在原平衡狀態(tài)附近并且使性能指標極小，這樣的問題將其稱之為輸出調節(jié)器。其中 P(t)是非負實對稱陣是 nxn 維滿足 Riccati 微分方程 )()()()()()()()()()()( 1 tCtQCtPtRtBtPtPtAtAtPtP TT ????? ?? 邊界條件如下 : )()()( ffTf tFxtCtP ? 最優(yōu)控制函數(shù)中 g(t)是伴隨向量 n維滿足如下微分方程 : )()()()()]()()()()([)( 1 tytQtCtgtPtBtRtBtAtg rTTT ???? ? 邊界條件如下 : )()()( frfTf tFytCtg ? 輸出跟蹤器的最優(yōu)控制性能指標式為 : )()()()()(21 00000* ttxtgtPtxJ TT ???? 其中 )(t? 滿足 : 內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)設計說明書 20 )()()()()()()()()(21)( 1 tgtBtRtBtgttytQtyt TTrTr ???? ??? 它的邊界條件是 : )()()( frfTrf tFytyt ?? 最優(yōu)曲線 x*(t)滿足下列微分方程 : 0011 )(),()()()()()]()()()()([)( xtxtgtBtRtBtxtPtBtRtBtAtx TT ???? ??? 綜上所述 :定理 與 中的 Riccati 方程和它們的邊界條件都是一樣的，說明最優(yōu)輸出跟蹤器和輸出調節(jié)器它們的反饋結構一致而且與理想的輸出沒有關系 。 方程右端第二項是考慮到控制能量的損耗而引進的，矩陣 Q和 R確定了誤差和能量損耗的相對重要性，并且假設控制向量是無約束的。下面是選擇性能參數(shù) Q和 R的一般原則： 1）通常將 Q和 R選為對角線矩陣，并且在實際的應 用中我們一般將 R的值固定，然后再改變 Q的值，最優(yōu)控制的確定通常是在經過仿真或實際比較后得到的。 C=[1 0 0 0。 x=1。 Bc=[B]。 仿真結果分析： ?????????????00000000000000yxQ ， R＝ 1； 我們選取初始值 x=1,y=1 首先進行仿真調節(jié)，得到的二次最有矩陣 K =［ ］，并且得到一級倒立擺的仿真圖形如圖 41所示。模型的正確性不但在理論上通過 Matlab 仿真，而且在巧妙的選擇 Q 及 R 陣的基礎上得到的LQR控制器參數(shù)具有優(yōu)良的控制性能。同時仿真實驗證明：線性二次最優(yōu)控制能較好的實現(xiàn)對倒立擺的穩(wěn)定控制。因此下一步對二次 線性最優(yōu)控制的研內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)設計說明書 28 究要主要放在參數(shù)的選取原則的探究上。 （ 4）本文的整個撰寫過程是對相關知識融會貫通的過程，不僅提高了自己經典控制理論和現(xiàn)代控制理論的知識了解，同時也增強對相關學科的掌握。本文以直線一級倒立擺為研究對象，首先介紹了倒立擺系統(tǒng)研究的意義、國內外發(fā)展的現(xiàn)狀、幾種常見的倒立擺的控制方法及倒立擺實物系統(tǒng)的硬件和軟件組成；然后推導出了直線一級倒立擺的數(shù)學模型，并在次基礎上設計了線性二次最優(yōu)控制的控制器，利用 MATLAB 對上述方法進行了仿真，取得了一些成果和有一定價值的結論。 圖 43 系統(tǒng)受到沖激的響應曲線 內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)設計說明書 26 為了進一步觀察控制作用，給系統(tǒng)一個強度為 的沖激，具體到 matlab 程序中，把程序中的輸入信號改為 U=*ones(size(T))。 U=ones(size(T))。 0 0 y 0。 D=[0。 0 0。 P 帶入方程 12中求得的矩陣 K即為最優(yōu)矩陣 [20]。線性二次型最優(yōu)控制研究的系統(tǒng)是線性的或可線性化的，并且性能指標是狀態(tài)變量和控制變量的二次型函數(shù)的積分。輸出調節(jié)器和有限時間狀態(tài)調節(jié)器均是線性時變反饋系統(tǒng)。 第三步，求出能夠 使指標式 J最小的最優(yōu)控制 P(t)。此時線性二次型問題可以描述為要努力找到一個控制向量使系統(tǒng)雖然受到外界擾動而偏離平衡狀態(tài)，但是仍然能夠較快的恢復到原來的平衡狀態(tài)附近并且性能指標式達到最小，將這樣的問題稱之為狀態(tài)調節(jié)器問題?？刂屏考訖嗑仃?R(t)可以賦予各控制分量以不同的權重。 設法找到某個控制向量 u(t)，它可以使得誤差向量 e(t)取得最小值，這是我們采用最優(yōu)控制的目的。 內蒙古工業(yè)大學本科畢業(yè)設計說明書 15 第三章 線性二次型問題的最優(yōu)控制 最優(yōu)控制的基本概念 線性二次型 (LQ， LinearQuadratic)是指系統(tǒng)的狀態(tài)方程是線性的，指標函數(shù)是狀態(tài)變量和控制變量的二次型。 定理 1（穩(wěn)定性判據(jù)） Lyapunov[17] 第一判定定理：對于線性定常系統(tǒng)0,)