數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)心得-資料下載頁
2025-10-04 21:33本頁面
【正文】 討論。首先是從紳士開party的禮帽問題，帶我們走進(jìn)了“無窮的世界”。我在開《數(shù)學(xué)賞析》時有一個專題就是“無窮的世界”，我給學(xué)生講禮帽問題、也講希爾伯特?zé)o窮旅館問題，但遺憾的是，當(dāng)我剖析“若無窮旅館住滿了人，再來兩個時，可將?。碧柗块g的移往３號房間，?。蔡柗块g的移往４號房間，從而空出兩個房間”時，學(xué)生對我“能移”表示懷疑。這一點(diǎn)我往往只能遺憾的說“跳不出有限的圈子，用有限的眼光來看無限，只能是‘只在此山中，云深不知處’”。當(dāng)然，我還是會進(jìn)一步考慮如何來講好這一講。若陳教授或其他老師有好的建議，能指點(diǎn)一下，則不勝感激。對于集合[0,1]與(0,1)的對等關(guān)系，包括Q與Ｒ的對等關(guān)系，或者說他們之間雙射的構(gòu)造。關(guān)鍵在于“求同存異”，找一個可數(shù)集來“填補(bǔ)”他們之間的差距，這相當(dāng)于希爾伯特?zé)o窮旅館問題中來了兩個人和來了可數(shù)個人。對于實(shí)數(shù)集中的有理數(shù)，“廖若晨星”是非常形象的描述。一聲集合的哨響，我們發(fā)現(xiàn)，有理數(shù)在實(shí)數(shù)軸上幾乎是沒有位置的（mQ=0），用一系列的帽子來蓋住這些點(diǎn)，而這些帽子的大小是ε，這是非常精彩的結(jié)果。從可數(shù)集到不可數(shù)集，再加上無最大基數(shù)定理，讓我們看到了“無窮的層次性”，由此我們不難理解“人外有人，天外有天，無窮之外有無窮”。我們不能不發(fā)出“哀吾生之須臾，羨長江之無窮”的感慨。陳教授對單調(diào)確界原理的證明非常清晰明了，幾何直觀的描述形象直觀。第三講 《數(shù)學(xué)分析》課程中最重要的兩個常數(shù)法國著名雕塑家羅丹曾經(jīng)說過“生活中從不缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛”。我想說：“數(shù)學(xué)中并不缺少美，缺少的是揭示數(shù)學(xué)美的老師”。陳教授是一個出色的老師，他不僅發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美，而且為我們展示了數(shù)學(xué)的美。著名的歐拉公式：epi+1=0，實(shí)現(xiàn)了有理數(shù)、無理數(shù)、超越數(shù)、實(shí)數(shù)、虛數(shù)陳紀(jì)修教授《數(shù)學(xué)分析》九講學(xué)習(xí)筆記與心得完美統(tǒng)一，獲得“最美的數(shù)學(xué)定理”稱號。歐拉建立了在他那個時代，數(shù)學(xué)中最重要的幾個常數(shù)（0,1,i,e,p）之間的絕妙的有趣的聯(lián)系，被認(rèn)為是數(shù)學(xué)奇異美的典例。在本講中，陳教授以李大潛院士訪問法國“引入”的一個有趣例子開講，讓我們體會了數(shù)學(xué)中的美，這個不等式還有許多有意思的地方，無論是不等式的形式，還是他的證明，都非常深刻地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的美。Pi是無理數(shù)的證明，吸引了與會學(xué)員的眼球，贊嘆之余，有學(xué)員問這一證法的出處，我也還真想知道，請陳教授不吝指教。本講最后將函數(shù)sinx/x展成無窮乘積形式，并妙用此形式求出p級數(shù)中p為偶數(shù)值時的和，對我而言是耳目一新的。在我記憶中好像菲爾金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》(第二卷)中也有求出的方法，而p為奇數(shù)的情形好像至今尚未解決。對p=2的情形，歐拉至少用兩種方法得到結(jié)果，其中一種方法妙用了L’Hospital法則(《數(shù)學(xué)譯林》)。第四講 恰逢這個學(xué)期講《數(shù)學(xué)分析》(3)，在講授含參變量反常積分時，先復(fù)習(xí)了反常積分，再復(fù)習(xí)了函數(shù)項(xiàng)級數(shù)，并將幾個判別法列表比較，能與陳教授不謀而合，真是倍感榮幸。陳教授對Abel引理的直觀刻畫，也是深得學(xué)員好評。我對陳教授從Abel引理分析Sanbn收斂條件的分析而得到Dilichlet判別法和Abel判別法的相關(guān)條件深感佩服，尤其是分析得絲絲入扣。第五講 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)與含參變量反常積分的一致收斂一致收斂性無疑是《數(shù)學(xué)分析》中的一個重要概念。陳教授對“點(diǎn)點(diǎn)收斂”與“一致收斂”的剖析是非常到位的，學(xué)生在學(xué)習(xí)時如果是只能注意到在定義的陳述“x”的位置不相同，而不明其所以時，這樣的教學(xué)肯定是失敗的。陳教授例子選擇精當(dāng)，語言使用精辟，問題分析精準(zhǔn)。請注意陳教授的這句話：“毛病出在點(diǎn)態(tài)收斂的情況下，在某些點(diǎn)附近，N無法控制”（類似的話在第九講中說過）。云南分中心 昆明學(xué)院 周興偉第六講 Weierstrass函數(shù)：處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)陳教授分析了為何在Weierstrass之前的數(shù)學(xué)家不能構(gòu)造出這樣的函數(shù)。原來在此之前，數(shù)學(xué)家們所掌握的函數(shù)是不足以構(gòu)造出這樣的函數(shù)的。Weierstrass在1872年構(gòu)造出了如下處處連續(xù)處處不可導(dǎo)的函數(shù)：Sansin(bnx)01陳教授選用1930年Van Der Waerden給出的例子進(jìn)行了剖析。所講自是精當(dāng)，本人很是受益。第七講 條件極值問題與Lagrange乘數(shù)法本講陳教授從一個幾何問題入手，得到一個條件極值問題。考慮了條件極值的必要條件，引入Lagrange乘數(shù)法，化條件極值問題為無極條件極值問題。這部分內(nèi)容中，本人認(rèn)為幾何解釋最有啟發(fā)性。對于具體使用Lagrange乘數(shù)法的例子中，如何解方程組，陳教授給了很好的建議。第二個例子，即求平面x+y+z=0與橢球面x2+y2+4z2=1相交而成的橢圓面積。這個例子我很喜歡，只可惜不能用來做期末考題（不要問我為什么?。５诎酥v 重積分的變量代換本講陳教授從定積分的換元的計(jì)算公式分析入手，對二重積分的相應(yīng)的代換公式作出類比猜想（在教學(xué)中注重滲透數(shù)學(xué)思想方法，如此妙哉?。┰僮鞣治?，然后得出代換公式。為證明代換公式，陳教授引入本原映射，化“矩形”為“梯形”，化變換T為兩個本原變換的復(fù)合，實(shí)現(xiàn)了化復(fù)雜為簡單，化困難為容易。第九講 《數(shù)學(xué)分析》課程中的否定命題《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中，說說“反話”很重要?。ㄕ埐灰`解！）兩個命題A與B如果既不能同時成立，也不能同時不成立，就稱A與B互為否定命題。陳紀(jì)修教授《數(shù)學(xué)分析》九講學(xué)習(xí)筆記與心得若A與B互為否定命題，則A與B一定滿足：一個成立，另一個必然不成立；一個不成立，另一個必定成立。（廢話?。┯薪缗c無界、收斂于a與不收斂于a、收斂與不收斂、（注意前邊兩對的區(qū)別?。?、可導(dǎo)與不可導(dǎo)、Cauchy收斂準(zhǔn)則及其否定命題，等等。這些“反話”不說，大量的題做不了。我在講《數(shù)學(xué)分析》(1)時會有一講（幾個概念的否定敘述）就是來講否定命題的。陳教授在這部分的例子非常好，分析得也清楚！陳教授的九講，給了我們太多的啟示：一、在我們的教學(xué)中，不僅要教其所以然，而且要教其所以然。陳教授的這九講，應(yīng)該是我們講授《數(shù)學(xué)分析》的經(jīng)典案例，當(dāng)然，我們不一定是講這一些內(nèi)容！正確的思想從哪里來，是從天上掉下來的嗎？不是！二、在我們的教學(xué)，不僅要傳授知識，而且要傳授思想方法，也就是教學(xué)中要注重思想方法的滲透。三、在我們的教學(xué)中，不僅要傳授知識，而且要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，讓他們了解數(shù)學(xué)的過去、現(xiàn)在，以便開創(chuàng)數(shù)學(xué)的將來。四、在我們的教學(xué)中，或許會遇的許多困難：教學(xué)時數(shù)少，教學(xué)對象差等等，但我們應(yīng)從我們自身積極的尋找對策。陳教授就是這樣的。以上所述，僅憑個人聽課記錄，又僅憑個人理解。若是有誤，請陳教授見諒并斧正。最后，向陳紀(jì)修教授致以崇高的敬意！滇源后學(xué)：周興偉
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1