高考卷普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷數(shù)學理工類全解全析-資料下載頁
2025-09-30 11:52本頁面
【正文】 II）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）記，求證：．本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識，考查運算及推理能力．滿分15分．（I）解：方程的兩個根為，當時，所以；當時，所以；當時，所以時；當時，所以．（II）解：．（III）證明：，所以，．當時，同時，．綜上，當時，．（22）（本題15分）設，對任意實數(shù)，記．（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（ⅰ）當時，對任意正實數(shù)成立；（Ⅲ）有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導數(shù)的應用及不等式的證明等基礎知識，以及綜合運用所學知識分析和解決問題的能力．滿分15分．（I）解：．由，得．因為當時，當時，當時，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（II）證明：（i）方法一：令，則，當時，由，得，當時，所以在內(nèi)的最小值是．故當時，對任意正實數(shù)成立．方法二：對任意固定的，令，則，由，得．當時，．當時，所以當時，取得最大值．因此當時，對任意正實數(shù)成立．（ii）方法一：．由（i）得，對任意正實數(shù)成立．即存在正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．下面證明的唯一性：當，時，由（i）得，再取，得，所以，即時，不滿足對任意都成立．故有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．方法二：對任意，因為關(guān)于的最大值是，所以要使對任意正實數(shù)成立的充分必要條件是：，即，①又因為，不等式①成立的充分必要條件是，所以有且僅有一個正實數(shù)，使得對任意正實數(shù)成立．
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