高考卷普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試浙江卷數(shù)學(xué)理工類全解全析-資料下載頁
2024-10-09 11:52本頁面
【正文】 II）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）記，求證：．本題主要考查等差、等比數(shù)列的基本知識(shí)，考查運(yùn)算及推理能力．滿分15分．（I）解：方程的兩個(gè)根為，當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以；當(dāng)時(shí)，所以時(shí)；當(dāng)時(shí)，所以．（II）解：．（III）證明：，所以，．當(dāng)時(shí)，同時(shí)，．綜上，當(dāng)時(shí)，．（22）（本題15分）設(shè)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，記．（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：（?。┊?dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立；（Ⅲ）有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．本題主要考查函數(shù)的基本性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力．滿分15分．（I）解：．由，得．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（II）證明：（i）方法一：令，則，當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，所以在內(nèi)的最小值是．故當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．方法二：對(duì)任意固定的，令，則，由，得．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值．因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．（ii）方法一：．由（i）得，對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．即存在正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．下面證明的唯一性：當(dāng)，時(shí)，由（i）得，再取，得，所以，即時(shí)，不滿足對(duì)任意都成立．故有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．方法二：對(duì)任意，因?yàn)殛P(guān)于的最大值是，所以要使對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立的充分必要條件是：，即，①又因?yàn)椋坏仁舰俪闪⒌某浞直匾獥l件是，所以有且僅有一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)成立．
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