【正文】 鼢鼢鼢8鼢0桫3247。247。247。1247。(2分）247。247。247。4247。所以極大無關組是a1,a2,a3(2分）a4=3a1a24a3(5分）五題、綜合題 [教師答題時間： 8 分鐘]（共10分）230。1231。解:(A,b)=231。1231。1+l232。230。1231。174。231。0231。0232。11+lll(l+3)11+l11+l112l246。l247。0247。248。247。l0246。247。l(1l)247。(4分）2l(l+2l1)247。248。l2∴當l＝－3時，線性方程組無解（2分）當l185。0且l185。3時，線性方程組有唯一解（2分）當l＝0時，線性方程組有無窮解（2分）六題、解答題 [教師答題時間： 5 分鐘]（共10分）230。1231。A=3231。231。5232。230。1231。174。0231。231。0232。0102532246。247。5(2分）174。247。3247。248。230。1231。0231。231。0232。2102246。247。1(2分）247。0247。248。0246。247。1(2分）247。0247。248。230。0246。230。0246。231。247。231。247。∴通解為x=c1(2分），故基礎解系為c1(2分）231。247。231。247。231。1247。231。1247。232。248。232。248。七題、解答題 [教師答題時間：10 分鐘]（共12分）l+3解：lE－ A=012124l+10l1=(l1)(l+4l+5)(2分）所以A的特征值為l1=1,l2=l3=i2(2分）230。4231。當l=1，EA=0231。231。1232。1202246。230。1247。231。4174。0247。231。247。231。00248。232。0100246。247。2247。0247。248。230。0246。231。247。所以l=1對應的特征向量為C12(C1185。0)(3分）231。247。231。1247。232。248。230。1i231。l=i2時，AlE=0231。231。1232。230。1231。174。0231。231。1+i232。0i11i3246。230。1247。231。4174。0247。231。247。231。02248。232。1i+10010246。247。4247。247。i+3248。2i3246。247。2i+2247。0247。248。230。i+3246。231。247。所以l=i2時對應的特征向量為C22i2(C2185。0)(3分）231。247。231。247。1232。248。顯然A不能相似對角化(2分）八題、證明題 [教師答題時間： 7 分鐘]（共13分）230。1231。1)證明：（b1，b，b）＝（a，a，a）22312231。3231。0232。230。1231。設K=2231。231。0232。0231246。247。0,顯然K185。0,∴K可逆（2分）247。3247。248。0231246。247。0（2分）247。3247。248。1 ∴（a1，a，a）=（b，b，2b）K2313故b1，b，b與a，a，2a等3價，而a，a，a2線性3無關2311∴b1，b，b線性無關（3分）232)證明：因為A為正交陣，故A=177。1,而A0，∴A=1(2分）E＋A＝AA＋A=AA＋E=AA＋E=E＋A(2分）故A＋E＝0，所以E＋A不可逆(2分）TT第五篇：線性代數(shù)較難試題一、設A相似于對角陣，l0是A的特征值，：(1)秩(Al0I)= 秩(Al0I)2；(2)不存在Y，使得(Al0I)Y=：(1)設A則Al0I故 L=diag{l0,k,l0,lk+1，ln},li185。l0,i=k+1，,(Al0I)2(Ll0I)(Al0I)=rank(Ll0I)=rank(diag{0,k,0,lk+1l0，lnl0}=，rank(Al0I)2=rank(Ll0I)2=rank(diag{0,k,0,(lk+1l0)2，(lnl0)2}=nk=rank(Al0I).（2）如存在Y，使得(Al0I)Y=X0，則2(Al0I)，Y=(Al0I)0X=q由（1）知方程組(Al0I)2X=q與(Al0I)X=q同解。從而(Al0I)Y=q，即X0=q，與X0為特征向量矛盾。二、已知線性方程組An180。nX=b 對任何b的取值都有解的充要條件是An180。n為可逆陣。證明：充分性:設A可逆，則對任意b，X=:解法一: 當 b取遍所有基本向量組中的向量后, 原方程組都有解, 以這些解向量作為列向量構(gòu)做矩陣B, 顯然 AB=I, 其中 I 為單位陣, 故而: 由題目假設知任何n維向量 b 都能由 A 的列向量組線性表出, 所以向量空間 Rn的維數(shù)不會超過A 的列向量組的秩, 由此得出: A的列向量組的秩為n, 、設a,b為3元單位列向量，且aTb=0，記A=aaT+bbT。證明：(1)齊次線性方程組AX=0有非零解；233。100249。(2)A相似于矩陣234。010234。234。235。000四、設n階矩陣A滿足A2=A, r(A)=r(0r163。n)。(1)試確定A的特征值的取值范圍；(2)證明A一定可以相似對角化；(3)求行列式A2I的值。五、已知Rn中兩個非零向量：a=(a1,a2,L,an),b=(b1,b2,L,bn)，TT其中n179。2, b1185。0，矩陣A=abT。(1)求A2；(2)求A的特征值和特征向量；(3)判斷A是否可以相似對角化：若可以，請寫出相似變換矩陣P和對角矩陣L；若不可以，請說明理由。