【正文】 x3=（2，1，1）T，組合系數(shù)為（2，1，1）.對(duì)矩陣A施行初等行變換230。121231。000A190。190。174。231。231。032231。232。09602246。247。62247。82247。247。32248。/ 72246。230。1210230。121231。247。231。03283032247。190。190。190。174。231。190。174。231。231。000231。00062247。231。247。231。232。000217248。232。0002246。247。83247。=247。247。00248。0（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關(guān)系，而B是階梯形，B的第4列是B的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組，故A的第4列是A的列向量組的一個(gè)最大線性無關(guān)組。（A的第5列或4列，或5列也是） A的屬于特征值λ=1的2個(gè)線性無關(guān)的特征向量為ξ1=（2，1，0）T，ξ2=（2，0，1），得η1231。，η2231。5/5247。=247。5/15247。=231。4247。.232。0247。248。231。232。5/3247。248。λ=8的一個(gè)特征向量為230。230。1/3246。ξ=231。1246。3231。247。，經(jīng)單位化得η231。2247。3=231。231。231。2/3247。247。.232。2247。248。232。2/3247。248。230。231。25/5215/151/3246。247。所求正交矩陣為T=247。232。05/32/3247。248。230。1對(duì)角矩陣D=231。00246。231。231。010247。247。.232。008247。248。230。231。25/5215/151/3246。231。247。（也可取T=.）231。05/32/3247。232。5/545/152/3247。f(x1，x2，x3)=（x1+2x22x3）22x22+4x2x37x32=（x1+2x22x3）22（x2x3）=x1+2x22x3236。x1=y12設(shè)239。237。y239。y22=x2x3，即237。x2=y239。239。2+y3239。x=y238。y3=x3238。33230。因其系數(shù)矩陣C=231。120246。231。11247。247。可逆，故此線性變換滿秩。231。0232。001247。248。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3)的標(biāo)準(zhǔn)形、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）由于（EA）（E+A+A2）=EA3=E，所以EA可逆，且（EA）1= E+A+由假設(shè)Aη0=b，Aξ1=0，Aξ2=0.（1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b，同理Aη2= b，所以η1，η2是Ax=b的2個(gè)解。（2）考慮l0η0+l1η1+l2η2=0，即（l0+l1+l2）η0+l1ξ1+l2ξ2=+l1+l2=0，否則η0將是Ax=0的解，矛盾。所以 l1ξ1+l2ξ2=，ξ1，ξ2線性無關(guān)，所以l1=0，l2=0，從而l0=，η1，η2線性無關(guān)。/ 7，第五篇：線性代數(shù)試題(B)(101)北京理工大學(xué)遠(yuǎn)程教育學(xué)院20072008學(xué)年第一學(xué)期《線性代數(shù)》期末試卷(A卷)教學(xué)站 學(xué)號(hào) 姓名 成績(jī)一．填空題（每小題4分，共20分）230。x1246。230。21246。1．已知A=231。，則XTAX=_______； ,X=231。247。247。232。13248。232。x2248。2．設(shè)向量a1=(0,1,1),a2=(0,t,2)線性相關(guān)，則t= _____；3．設(shè)A是秩為1的3階矩陣，則齊次線性方程組AX=0 的基礎(chǔ)解系含_____個(gè)解；230。111246。231。247。4．已知矩陣231。001247。，則其秩為__________；231。001247。232。248。5．已知2是矩陣A的一個(gè)特征值，則 |2EA|= __________。二．選擇題（每小題4分，共20分）1．設(shè)A與B是兩個(gè)同階可逆矩陣，則（）；A．(A+B)1=A1+B1B．|A||B|=|B||A|C．|A+B|=|A|+|B| D．AB=BA2．設(shè)A是1180。2矩陣，B是2階方陣，C是2180。1矩陣，則（）A．ABC是1階方陣B．ABC是2180。1階矩陣C．ABC是2階方陣D．ABC是1180。2階矩陣3．已知向量組a1,a2,a3滿足a3=k1a1+k2a2，則（）A．k1,k2不全為零B．a(chǎn)1,a2線性無關(guān) C．a(chǎn)3185。0D．a(chǎn)1,a2,a3線性相關(guān)4．設(shè)x1,x2是非齊次線性方程組AX=b的兩個(gè)解，則下述說法不正確的是（）； A．x1x2是導(dǎo)出組AX=0的1解B．(x1x2)是AX=0的解21C．x1+x2是AX=b的解D．(x1+x2)是AX=b的解5．設(shè)A是一個(gè)方陣，則（）；A．由| A | = 0可得 A = 0B．由| A | = 0可得 0是A的一個(gè)特征值C．由| A | = 1可得 A = ED．由| A | = 1可得 1是A的一個(gè)特征值三．計(jì)算題（每小題10分，共50分）131．計(jì)算行列式3233333333342．求解下列線性方程組236。 x15x2+2x3=3239。237。3x1+ x24x3=2239。 5x+3x+6x=1123238。用導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示通解。230。011246。231。247。230。120246。3．解矩陣方程 X231。101247。=231。 247。231。110247。232。021248。232。248。230。110246。231。247。4．已知矩陣A=231。110247。，求A的特征值和特征向量。231。002247。232。248。5．求非退化線性替換，把實(shí)二次型f(x1,x2,x3)=4x1x3+2x2x3化為規(guī)范形。四．其它（每小題5分，共10分）1．設(shè)同階方陣A與B滿足AB=E，證明：|A||B|=1；2．舉例說明：由|A||B|=1不能導(dǎo)出AB=E。