【正文】 程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。第五篇：正弦定理余弦定理[推薦]正弦定理 余弦定理一、知識概述主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個定理去解斜三角形，學(xué)會用計算器解決解斜三角形的計算問題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問題．認識在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準確判斷解的情況．二、重點知識講解三角形中的邊角關(guān)系在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，則有（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180176。；（2）邊與角之間的關(guān)系：正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC射影定理：a＝bcosC＋ccosBb＝ccosA＋acosC c＝acosB＋bcosA正弦定理的另三種表示形式：余弦定理的另一種表示形式：正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法在△ABC中，易證明再在上式各邊同時除以在此方法推導(dǎo)過程中，要注意對面積公式的應(yīng)用．例在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個內(nèi)角． 分析：在正弦定理中，由進而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進行解題． 解：可以把面積進行轉(zhuǎn)化，由公式∴C=30176?；?50176。又sinA=cosB∴A＋B=90176?；駻－B=90176。顯然A＋B=90176。不可能成立當C=30176。時，由A＋B=150176。，A－B=90176。得A=120176。B=30176。當C=150176。時，由A－B=90176。得B為負值，不合題意故所求解為A=120176。，B=30176。，C=30176。.例在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60176。，求A的值． 分析：把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：∵B=A＋60176?！鄐inB=sin(A＋60176。)=sinAcos60176。＋cosAsin60176。=又∵b=2a∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA例在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：三角形分類是按邊或角進行的，所以判定三角形形狀時一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋bc（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進行探索．解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．．∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問題主要考查邊角互化、要么同時化邊為角，要么同時化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問題要周密、嚴謹．例若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B∴2A=2B或2A＋2B=180176。∴A=B或A＋B=90176。故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c故△ABC為等腰三角形或直角三角形．正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運用方程的思想．例如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點，點P到頂點A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形的邊長．分析：本題運用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：設(shè)邊長為x(1設(shè)x=t，則1－5)=16t三、難點剖析已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形時，將出現(xiàn)無解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時解三角形的各種情況．（1）當A為銳角時（如下圖），（2）當A為直角或鈍角時（如下圖），也可利用正弦定理進行討論．如果sinB1，則問題無解； 如果sinB＝1，則問題有一解；如果求出sinB用方程的思想理解和運用余弦定理：當?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時，等式便成為方程．式中有四個量，知道任意三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosA．向量方法證明三角形中的射影定理在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c．正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；（2）已知兩邊和一邊的對角解三角形．余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；（2）已知兩邊和夾角解三角形．三角形面積公式：例不解三角形，判斷三角形的個數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120176。 ②a＝30，b＝30，A＝50176。 ③a＝7，b＝14，A＝30176。 ④a＝9，b＝10，A＝60176。 ⑤a＝6，b＝9，A＝45176。 ⑥c＝50，b＝72，C＝135176。 解析：①ab，A＝120176。，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50176。③a④a0 ∴△ABC有兩解．⑤bc，C＝45176。，∴△ABC無解（不存在）．⑥bc，C＝135176。90176。，又由bc知∠B∠C＝135176。，這樣B＋C180176。，∴△ABC無解．