原創(chuàng)正弦定理證明-資料下載頁(yè)
2025-09-24 21:41本頁(yè)面
【正文】 作AD⊥BC于D，則BD+CD=a由勾股定理得：c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2(CD)^2所以c^2=(AD)^2(CD)^2+b^2=(aCD)^2(CD)^2+b^2=a^22a*CD+(CD)^2(CD)^2+b^2=a^2+b^22a*CD因?yàn)閏osC=CD/b所以CD=b*cosC所以c^2=a^2+b^22ab*cosC題目中^2表示平方。2談?wù)?、余弦定理的多種證法聊城二中魏清泉正、余弦定理是解三角形強(qiáng)有力的工具，《數(shù)學(xué)》(必修5)是用向量的數(shù)量積給出證明的，如是在證明正弦定理時(shí)用到作輔助單位向量并對(duì)向量的等式作同一向量的數(shù)量積，這種構(gòu)思方法過(guò)于獨(dú)特，、余弦定理從而進(jìn)一步理解正、余弦定理，進(jìn)一步體會(huì)向量的巧妙應(yīng)用和數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則(1)(正弦定理)==。(2)(余弦定理)c2=a2+b22abcosC,b2=a2+c22accosB,a2=b2+、正弦定理的證明證法一：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有AD=b?sin∠BCA，BE=c?sin∠CAB，CF=a?sin∠ABC。所以S△ABC=a?b?csin∠BCA=b?c?sin∠CAB=c?a?sin∠：如圖1，設(shè)AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有AD=b?sin∠BCA=c?sin∠ABC，BE=a?sin∠BCA=c?sin∠CAB。證法三：如圖2，設(shè)CD=2r是△ABC的外接圓的直徑，則∠DAC=90176。，∠ABC=∠ADC。證法四：如圖3，設(shè)單位向量j與向量AC垂直。因?yàn)锳B=AC+CB，所以j?AB=j?(AC+CB)=j?AC+j??AC=0，j?CB=|j||CB|cos(90176。∠C)=a?sinC，j?AB=|j||AB|cos(90176。∠A)=c?、余弦定理的證明法一：在△ABC中，已知，求c。過(guò)A作，在Rt中，法二：，即：法三：先證明如下等式：⑴證明：故⑴式成立，再由正弦定理變形，得結(jié)合⑴、有.三、正余弦定理的統(tǒng)一證明法一：證明：建立如下圖所示的直角坐標(biāo)系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數(shù)的定義可得：C=(bcosA,bsinA)，以AB、BC為鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π∠B，∴C′(acos(πB),asin(πB))=C′(acosB,asinB).根據(jù)向量的運(yùn)算：=(acosB,asinB)，==(bcosAc,bsinA),(1)由=：得asinB=bsinA,即=.同理可得：=.∴==.(2)由=(bcosAc)2+(bsinA)2=b2+c22bccosA，又||=a,∴a2=b2+：c2=a2+b22abcosC。b2=a2+：如圖5，,設(shè)軸、軸方向上的單位向量分別為、將上式的兩邊分別與、作數(shù)量積，可知，即將(1)式改寫(xiě)為化簡(jiǎn)得b2a2c2==a2+c22accosB.(4)第五篇：正弦定理證明正弦定理，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，且等于其外接圓半徑的兩倍，即abc===2R sinAsinBsinC證明：如圖所示，過(guò)B點(diǎn)作圓的直徑BD交圓于D點(diǎn)，連結(jié)AD BD=2R, 則 D=C，208。DAB=90 在RtDABD中 oA QsinC=sinD=\c 2RDb c c=2R sinCab同理：=2R,=2RsinAsinBabc所以===2R1）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 2）sinA=CaB abc ,sinB=,sinC=2R2R2R3）asinB=bsinA,asinC=csinA,csinB=bsinC 4）a:b:c=sinA:sinB:sinC例題在DABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c，若(3bc)cosA=acosC，：由正弦定理 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC得(3sinBsinC)cosA=sinAcosC\3sinBcosA=sin(A+C)Qsin(A+C)=sinB\3sinBcosA=sinBQB206。(0,p)\0sinB163。1\cosA=33
外語(yǔ)相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1