【導(dǎo)讀】重慶）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c的圖象與x軸的一個交點為B（5，0），另一個交點為A，求直線BC與拋物線的解析式；平行四邊形CBPQ，設(shè)平行四邊形CBPQ的面積為S1，△ABN的面積為S2，且S1=6S2，求點P的坐標．。的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出MN的最大值；DE上截取PQ=BC，則四邊形CBPQ為平行四邊形．證明△EBD為等腰直角三角形，則BE=BD=6，求?！進N=﹣=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴當x=時，MN有最大值；∵BC⊥BD，∠OBC=45°，解方程組，得，，①若點P在拋物線上，且S△POC=4S△BOC．求點P的坐標；解答：解：∵對稱軸為直線x=﹣1的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A、B兩點，當x=4時，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；QD=﹣=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，若點P是該拋物線對稱軸l上的一個動點，求△PBC周長的最小值；

　　

【正文】 于點 N，連接 AN，則 AN=BN，此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大． 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+t，將 B（ 3， 0）， C（ 0， 2）兩點的坐標代入， 得 ， ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+2， 當 x=﹣ 時， y=﹣ （﹣ ） +2=3， ∴ 點 N 的坐標為（﹣ ， 3）， d 的最大值為 BC= = ． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，軸對稱的性質(zhì)等知識，難度適中．其中第（ 2）小題根據(jù)三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)得出 BM∥ AC 是關(guān)鍵，第（ 3）小題根據(jù)軸對稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點 N 的位置是關(guān)鍵． 16．（ 2021?瀘州）如圖，在直角坐標系中，點 A 的坐標為（﹣ 2， 0），點 B 的坐標為（ 1，﹣ ），已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）經(jīng)過三點 A、 B、 O（ O 為原點）． （ 1）求拋物線的解析 式； （ 2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點 C，使 △ BOC 的周長最?。咳舸嬖?，求出點 C 的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）如果點 P 是該拋物線上 x 軸上方的一個動點，那么 △ PAB 是否有最大面積？若有，求出此時 P 點的坐標及 △ PAB 的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號） 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）直接將 A、 O、 B 三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式； （ 2）因為點 A， O 關(guān)于對稱軸對稱，連接 AB 交對稱軸于 C 點， C 點即為所求，求直線 AB 的解析式，再根據(jù) C 點的橫坐標值，求縱坐標； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0），用割補法可表示 △ PAB 的面積，根據(jù)面積表達式再求取最大值時，x 的值． 解答： 解：（ 1）將 A（﹣ 2， 0）， B（ 1，﹣ ）， O（ 0， 0）三點的坐標代入 y=ax2+bx+c（ a≠0）， 可得： ， 解得： ， 故所求拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ x； （ 2）存在．理由如下： 如答圖 ①所示， ∵ y=﹣ x2﹣ x=﹣ （ x+1） 2+ ， ∴ 拋物線的對稱軸為 x=﹣ 1． ∵ 點 C 在對稱軸 x=﹣ 1 上， △ BOC 的周長 =OB+BC+CO； ∵ OB=2，要使 △ BOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小， ∵ 點 O 與點 A 關(guān)于直線 x=﹣ 1 對稱，有 CO=CA， △ BOC 的周長 =OB+BC+CO=OB+BC+CA， ∴ 當 A、 C、 B 三點共線，即點 C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點時， BC+CA 最小，此時 △ BOC 的周長最?。? 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+t，則有： ，解得： ， ∴ 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x﹣ ， 當 x=﹣ 1 時， y=﹣ ， ∴ 所求點 C 的坐標為（﹣ 1，﹣ ）； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0）， 則 y=﹣ x2﹣ x ① 如答圖 ②所示，過點 P 作 PQ⊥ y軸于點 Q， PG⊥ x軸于點 G，過點 A作 AF⊥ PQ軸于點 F，過點 B作 BE⊥ PQ軸于點 E，則 PQ=﹣ x， PG=﹣ y， 由題意可得： S△ PAB=S 梯形 AFEB﹣ S△ AFP﹣ S△ BEP = （ AF+BE） ?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE = （ y+ +y）（ 1+2）﹣ y?（ 2+x）﹣ （ 1﹣ x）（ +y） = y+ x+ ② 將 ①代入 ②得： S△ PAB= （﹣ x2﹣ x） + x+ =﹣ x2﹣ x+ =﹣ （ x+ ） 2+ ∴ 當 x=﹣ 時， △ PAB 的面積最大，最大值為 ， 此時 y=﹣ + = ， ∴ 點 P 的坐標為（﹣ ， ）． 點評： 本題考查了坐標系中點的坐標求法，拋物線解析式的求法，根據(jù)對稱性求線段和最小的問題，也考查了在坐標系里表示面積及求面積最大值等問題；解答本題（ 3）也可以將直線 AB 向下平移至與拋物線相切的位置，聯(lián)立此時的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點 P 的坐標． 17．（ 2021?六盤水）已知．在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。， ∠ BOA=30176。， OA= ，若以 O 為坐標原點，OA 所在直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點 B 在第一象限內(nèi) ，將 Rt△ OAB 沿 OB 折疊后，點 A 落在第一象限內(nèi)的點 C 處． （ 1）求經(jīng)過點 O， C， A 三點的拋物線的解析式． （ 2）求拋物線的對稱軸與線段 OB 交點 D 的坐標． （ 3）線段 OB 與拋物線交與點 E，點 P 為線段 OE 上一動點（點 P 不與點 O，點 E 重合），過 P 點作 y 軸的平行線，交拋物線于點 M，問：在線段 OE 上是否存在這樣的點 P，使得 PD=CM？若存在，請求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）在 Rt△ AOB 中，根據(jù) AO 的長和 ∠ BOA 的度數(shù)，可求 得 OB 的長，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到 OA=OC，且 ∠ BOC=∠ BOA=30176。，過 C 作 CD⊥ x 軸于 D，即可根據(jù) ∠ COD 的度數(shù)和 OC 的長求得 CD、 OD 的值，從而求出點 C、 A 的坐標，將 A、 C、 O 的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式． （ 2）求出直線 BO 的解析式，進而利用 x= 求出 y 的值，即可得出 D 點坐標； （ 3）根據(jù)（ 1）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標（即 C 點），設(shè)直線 MP 與 x 軸的交點為 N，且PN=t，在 Rt△ OPN 中，根據(jù) ∠ PON 的度數(shù)，易得 PN、 ON 的長 ，即可得到點 P 的坐標，然后根據(jù)點 P 的橫坐標和拋物線的解析式可求得 M 點的縱坐標，過 M 作 MF⊥ CD（即拋物線對稱軸）于 F，過 P 作 PQ⊥ CD于 Q，若 PD=CM，那么 CF=QD，根據(jù) C、 M、 P、 D 四點縱坐標，易求得 CF、 QD 的長，聯(lián)立兩式即可求出此時 t 的值，從而求得點 P 的坐標． 解答： 解：（ 1）過點 C 作 CH⊥ x 軸，垂足為 H； ∵ 在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。， ∠ BOA=30176。， OA= ， ∴ OB= =4， AB=2； 由折疊的性質(zhì)知： ∠ COB=30176。， OC=AO=2 ， ∴∠ COH=60176。， OH= ， CH=3； ∴ C 點坐標為（ ， 3）． ∵ O 點坐標為：（ 0， 0）， ∴ 拋物線解析式為 y=ax2+bx（ a≠0）， ∵ 圖象經(jīng)過 C（ ， 3）、 A（ 2 ， 0）兩點， ∴ ， 解得 ； ∴ 此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為： y=﹣ x2+2 x． （ 2） ∵ AO=2 ， AB=2， ∴ B 點坐標為：（ 2 ， 2）， ∴ 設(shè)直線 BO 的解析式為： y=kx， 則 2=2 k， 解得： k= ， ∴ y= x， ∵ y=﹣ x2+2 x 的對稱軸為直線 x=﹣ =﹣ = ， ∴ 將兩函數(shù)聯(lián)立得出： y= =1， ∴ 拋物線的對稱軸與線段 OB 交點 D 的坐標為：（ ， 1）； （ 3）存在． ∵ y=﹣ x2+2 x 的頂點坐標為（ ， 3）， 即為點 C， MP⊥ x 軸，垂足為 N，設(shè) PN=t； ∵∠ BOA=30176。， ∴ ON= t， ∴ P（ t， t）； 作 PQ⊥ CD，垂足為 Q， MF⊥ CD，垂足為 F； 把 x= t 代入 y=﹣ x2+2 x， 得 y=﹣ 3t2+6t， ∴ M（ t，﹣ 3t2+6t）， F（ ，﹣ 3t2+6t）， 同理： Q（ ， t）， D（ ， 1）； 要使 PD=CM，只需 CF=QD， 即 3﹣（﹣ 3t2+6t） =|t﹣ 1|， 解得 t= ， t=1（舍）， t= ， ∴ P 點坐標為（ ， ），或（ ， ）， ∴ 存在滿足條件的 P 點，使得 PD=CM，此時 P 點坐標為（ ， ）或（ ， ）． 點評： 此題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定等重要知識點，表示出 P 點坐標利用 CF=QD 求出是解題關(guān)鍵． 18．（ 2021?臨沂）如圖，拋物線經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在拋物線的對稱軸上有一點 P，使 PA+PC 的值最小，求點 P 的坐標； （ 3）點 M 為 x 軸上一動點，在拋物線上是否存在一點 N，使以 A， C， M， N 四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形 ？若存在，求點 N 的坐標；若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題；探究型． 分析： （ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c（ a≠0），再把 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點代入求出 a、 b、 c 的值即可； （ 2）因為點 A 關(guān)于對稱軸對稱的點 A 的坐標為（ 5， 0），連接 BC 交對稱軸直線于點 P，求出 P 點坐標即可； （ 3）分點 N 在 x 軸下方或上方兩種情況進行討論． 解答： 解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c（ a≠0）， ∵ A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點在拋物線上， ∴ ， 解得 ． ∴ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ 2x﹣ ； （ 2） ∵ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ 2x﹣ ， ∴ 其對稱軸為直線 x=﹣ =﹣ =2， 連接 BC，如圖 1 所示， ∵ B（ 5， 0）， C（ 0，﹣ ）， ∴ 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， ∴ ， 解得 ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y= x﹣ ， 當 x=2 時， y=1﹣ =﹣ ， ∴ P（ 2，﹣ ）； （ 3）存在． 如圖 2 所示， ①當點 N 在 x 軸下方時， ∵ 拋物線的對稱軸為直線 x=2， C（ 0，﹣ ）， ∴ N1（ 4，﹣ ）； ②當點 N 在 x 軸上方時， 如圖，過點 N2作 ND⊥ x 軸于點 D， 在 △ AN2D 與 △ M2CO 中， ∴△ AN2D≌△ M2CO（ ASA）， ∴ N2D=OC= ，即 N2點的縱坐標為 ． ∴ x2﹣ 2x﹣ = ， 解得 x=2+ 或 x=2﹣ ， ∴ N2（ 2+ ， ）， N3（ 2﹣ ， ）． 綜上所述，符合條件的點 N 的坐標為（ 4，﹣ ），（ 2+ ， ）或（ 2﹣ ， ）． 點評： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（ 3）時 要注意進行分類討論． 19．（ 2021?汕頭）已知二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1． （ 1）當二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點 O（ 0， 0）時，求二次函數(shù)的解析式； （ 2）如圖，當 m=2 時，該拋物線與 y 軸交于點 C，頂點為 D，求 C、 D 兩點的坐標； （ 3）在（ 2）的條件下， x 軸上是否存在一點 P，使得 PC+PD 最短？若 P 點存在，求出 P 點的坐標；若 P點不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 分析： （ 1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點 O（ 0， 0），直接代入求出 m 的值即可； （ 2）根據(jù) m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標以及圖象與 y 軸交點即可； （ 3）根據(jù)當 P、 C、 D 共線時 PC+PD 最短，利用平行線分線段成比例定理得出 PO的長即可得出答案． 解答： 解：（ 1） ∵ 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過坐標原點 O（ 0， 0）， ∴ 代入二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1，得出： m2﹣ 1=0， 解得： m=177。1， ∴ 二次函數(shù)的解析式為： y=x2﹣ 2x 或 y=x2+2x； （ 2） ∵ m=2， ∴ 二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1 得： y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 拋物線的頂點為： D（ 2，﹣ 1）， 當 x=0 時， y=3， ∴ C 點坐標為：（ 0， 3）； （ 3）當 P、 C、 D 共線時 PC+PD 最短， 過點 D 作 DE⊥ y 軸于點 E， ∵ PO∥ DE， ∴ = ， ∴ = ， 解得