【正文】 ∠ BOA=30176。 ∴△ EBD 為等腰直角三角形， BE= BD=6， ∵ B（ 5， 0）， ∴ E（﹣ 1， 0）， 設(shè)直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x+t， 將 E（﹣ 1， 0）代入，得 1+t=0，解得 t=﹣ 1 ∴ 直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1． 解方程組 ，得 ， ， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 P1（ 2，﹣ 3）（與點(diǎn) D 重合）或 P2（ 3，﹣ 4）． 點(diǎn)評： 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生運(yùn)用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法．（ 2）中弄清線段 MN 長度的函數(shù)意義是關(guān)鍵，（ 3）中確定 P 與 Q 的位置是關(guān)鍵． 2．（ 2021?重慶）如圖，對稱軸為直線 x=﹣ 1 的拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）與 x 軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)，其中點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 3， 0）． （ 1）求點(diǎn) B 的坐標(biāo)； （ 2）已知 a=1， C 為拋物線與 y 軸的交點(diǎn)． ①若點(diǎn) P 在拋物線上，且 S△ POC=4S△ BOC．求點(diǎn) P 的坐標(biāo)； ②設(shè)點(diǎn) Q 是線段 AC 上的動(dòng)點(diǎn)，作 QD⊥ x 軸交拋物線于點(diǎn) D，求線段 QD 長度的最大值． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）由拋物線 y=ax2+bx+c 的對稱軸為直線 x=﹣ 1，交 x 軸于 A、 B 兩點(diǎn)，其中 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ 3， 0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即 可求得 B 點(diǎn)的坐標(biāo)； （ 2） ①a=1 時(shí)，先由對稱軸為直線 x=﹣ 1，求出 b 的值，再將 B（ 1， 0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣ 3，得到 C 點(diǎn)坐標(biāo)，然后設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3），根據(jù) S△ POC=4S△ BOC列出關(guān)于 x 的方程，解方程求出 x 的值，進(jìn)而得到點(diǎn) P 的坐標(biāo)； ②先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3，再設(shè) Q 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3），則 D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3），然后用含 x 的代數(shù)式表示 QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段 QD 長度的最大值． 解答： 解：（ 1） ∵ 對稱軸為直線 x=﹣ 1 的拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）與 x 軸相交于 A、 B 兩點(diǎn)， ∴ A、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線 x=﹣ 1 對稱， ∵ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 3， 0）， ∴ 點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 1， 0）； （ 2） ①a=1 時(shí)， ∵ 拋物線 y=x2+bx+c 的對稱軸為直線 x=﹣ 1， ∴ =﹣ 1，解得 b=2． 將 B（ 1， 0）代入 y=x2+2x+c， 得 1+2+c=0，解得 c=﹣ 3． 則二次函數(shù)的解析式為 y=x2+2x﹣ 3， ∴ 拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 3）， OC=3． 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3）， ∵ S△ POC=4S△ BOC， ∴ 3|x|=4 31， ∴ |x|=4， x=177。 OC=AO=2 ， ∴∠ COH=60176。 ∠ OAB+∠ CAD=90176。． ∵∠ OBA+∠ OAB=90176。 OH= ， CH=3； ∴ C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， 3）． ∵ O 點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 0， 0）， ∴ 拋物線解析式為 y=ax2+bx（ a≠0）， ∵ 圖象經(jīng)過 C（ ， 3）、 A（ 2 ， 0）兩點(diǎn)， ∴ ， 解得 ； ∴ 此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為： y=﹣ x2+2 x． （ 2） ∵ AO=2 ， AB=2， ∴ B 點(diǎn)坐標(biāo)為：（ 2 ， 2）， ∴ 設(shè)直線 BO 的解析式為： y=kx， 則 2=2 k， 解得： k= ， ∴ y= x， ∵ y=﹣ x2+2 x 的對稱軸為直線 x=﹣ =﹣ = ， ∴ 將兩函數(shù)聯(lián)立得出： y= =1， ∴ 拋物線的對稱軸與線段 OB 交點(diǎn) D 的坐標(biāo)為：（ ， 1）； （ 3）存在． ∵ y=﹣ x2+2 x 的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， 3）， 即為點(diǎn) C， MP⊥ x 軸，垂足為 N，設(shè) PN=t； ∵∠ BOA=30176。4． 當(dāng) x=4 時(shí)， x2+2x﹣ 3=16+8﹣ 3=21； 當(dāng) x=﹣ 4 時(shí)， x2+2x﹣ 3=16﹣ 8﹣ 3=5． 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 4， 21）或（﹣ 4， 5）； ②設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+t，將 A（﹣ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3）代入， 得 ，解得 ， 即直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3． 設(shè) Q 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3）（﹣ 3≤x≤0），則 D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3）， QD=（﹣ x﹣ 3）﹣（ x2+2x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x=﹣（ x+ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， QD 有最 大值 ． 點(diǎn)評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想． 3．（ 2021?雅安）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線 l， l與 x 軸交于點(diǎn) H． （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 是該拋物線對稱軸 l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 △ PBC 周長的最小值； （ 3）如圖（ 2），若 E 是線段 AD 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（ E 與 A、 D 不重合），過 E 點(diǎn)作平行 于 y 軸的直線交拋物線于點(diǎn) F，交 x 軸于點(diǎn) G，設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m， △ ADF 的面積為 S． ①求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可； （ 2）根據(jù) BC 是定值，得到當(dāng) PB+PC 最小時(shí)， △ PBC 的周長最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可； （ 3）設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m，表示出 E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3），最后表示出 EF 的長，從而表示出 S 于 m 的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可． 解答： 解：（ 1）由題意可知： 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2） ∵△ PBC 的周長為： PB+PC+BC ∵ BC 是定值， ∴ 當(dāng) PB+PC 最小時(shí)， △ PBC 的周長最小， ∵ 點(diǎn) A、點(diǎn) B 關(guān)于對稱軸 I 對稱， ∴ 連接 AC 交 l于點(diǎn) P，即點(diǎn) P 為所求的點(diǎn) ∵ AP=BP ∴△ PBC 的周長最小是： PB+PC+BC=AC+BC ∵ A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC=3 ， BC= ； 故 △ PBC 周長的 最小值為 3 + ． （ 3） ①∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4） ∵ A（﹣ 3， 0） ∴ 直線 AD 的解析式為 y=2x+6 ∵ 點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m， ∴ E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3） ∴ EF=﹣ m2﹣ 2m+3﹣（ 2m+6） =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 ∴ S=S△ DEF+S△ AEF = EF?GH+ EF?AG = EF?AH = （﹣ m2﹣ 4m﹣ 3） 2 =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3； ②S=﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 =﹣（ m+2） 2+1； ∴ 當(dāng) m=﹣ 2 時(shí)， S 最大，最大值為 1 此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 2）． 點(diǎn)評： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎(chǔ)． 4．（ 2021?新疆）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線 l與拋物線交于點(diǎn)C，其中 A 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 1， 0）， C 點(diǎn)坐標(biāo)是（ 4， 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在（ 1）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) D，使 △ BCD 的周長最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； （ 3）若點(diǎn) E 是（ 1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線 AC 的下方，試求 △ ACE 的最大面積及 E 點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （ 2）利用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線 AC 與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) D； （ 3）根據(jù)直線 AC 的解析式，設(shè)出過點(diǎn) E 與 AC 平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉 y 得到關(guān)于 x的一元二次方程，利用根的判別式 △ =0 時(shí)， △ ACE 的面積最大，然后求出此時(shí)與 AC 平行的直線，然后求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，并求出該直線與 x 軸的交點(diǎn) F 的坐 標(biāo)，再求出 AF，再根據(jù)直線 l與 x 軸的夾角為 45176。 BC 邊上的高 AC= ． ∵ S= BC?h， ∴ h= = = S． 如果 S=1，那么 h= 1= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 如果 S=2，那么 h= 2= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 如果 S=3，那么 h= 3= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 如果 S=4，那么 h= 4= ＜ ，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 即當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時(shí)，滿足條 件的 △ PBC 共有 4 個(gè)； （ Ⅱ ）當(dāng) 0＜ x＜ 4 時(shí)， S=﹣ x2+4x． 如果 S=1，那么﹣ x2+4x=1，即 x2﹣ 4x+1=0， ∵△ =16﹣ 4=12＞ 0， ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 2 個(gè)， △ PBC 有 2 個(gè)； 如果 S=2，那么﹣ x2+4x=2，即 x2﹣ 4x+2=0， ∵△ =16﹣ 8=8＞ 0， ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 2 個(gè)， △ PBC 有 2 個(gè)； 如果 S=3，那么﹣ x2+4x=3，即 x2﹣ 4x+3=0， ∵△ =16﹣ 12=4＞ 0， ∴ 方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 2 個(gè)， △ PBC 有 2 個(gè)； 如果 S=4，那么﹣ x2+4x=4，即 x2﹣ 4x+4=0， ∵△ =16﹣ 16=0， ∴ 方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí) P 點(diǎn)有 1 個(gè)， △ PBC 有 1 個(gè)； 即當(dāng) 0＜ x＜ 4 時(shí)，滿足條件的 △ PBC 共有 7 個(gè)； 綜上可知，滿足條件的 △ PBC 共有 4+7=11 個(gè)． 故答案為 +c，﹣ 2c； 11． 點(diǎn)評： 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線平移的規(guī)律，求兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，三角形的面積，一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及 方程思想是解題的關(guān)鍵． 13．（ 2021?攀枝花）如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) A（﹣ 3， 0）， B（ ）， C（ 0，﹣ 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，設(shè) △ PAC 的面積為 S，求 S 的最大值并求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)； （ 3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 D， DE⊥ x 軸于點(diǎn) E，在 y 軸上是否存在點(diǎn) M，使得 △ ADM 是直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn) M 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo)， 利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式； （ 2）過點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交 AC 于點(diǎn) N，先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，x2+2x﹣ 3），根據(jù) AC 的解析式表示出點(diǎn) N 的坐標(biāo)，再根據(jù) S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN就可以表示出 △ PAC 的面積，運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論； （ 3）分三種情況進(jìn)行討論： ①以 A 為直角頂點(diǎn)； ②以 D 為直角頂點(diǎn)； ③以 M 為直角頂點(diǎn)；設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出 t 的值即可． 解答： 解：（ 1）由于拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0） ，可設(shè)拋物線的解析式為：y=a（ x+3）（ x﹣ 1）， 將 C 點(diǎn)坐標(biāo)（ 0，﹣ 3）代入，得： a（ 0+3）（ 0﹣ 1） =﹣ 3，解得 a=1