【正文】 示出 EF 的長，從而表示出 S 于 m 的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可． 解答： 解：（ 1）由題意可知： 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2） ∵△ PBC 的周長為： PB+PC+BC ∵ BC 是定值， ∴ 當(dāng) PB+PC 最小時(shí)， △ PBC 的周長最小， ∵ 點(diǎn) A、點(diǎn) B 關(guān)于對(duì)稱軸 I 對(duì)稱， ∴ 連接 AC 交 l于點(diǎn) P，即點(diǎn) P 為所求的點(diǎn) ∵ AP=BP ∴△ PBC 的周長最小是： PB+PC+BC=AC+BC ∵ A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC=3 ， BC= ； 故 △ PBC 周長的 最小值為 3 + ． （ 3） ①∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4） ∵ A（﹣ 3， 0） ∴ 直線 AD 的解析式為 y=2x+6 ∵ 點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m， ∴ E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3） ∴ EF=﹣ m2﹣ 2m+3﹣（ 2m+6） =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 ∴ S=S△ DEF+S△ AEF = EF?GH+ EF?AG = EF?AH = （﹣ m2﹣ 4m﹣ 3） 2 =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3； ②S=﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 =﹣（ m+2） 2+1； ∴ 當(dāng) m=﹣ 2 時(shí)， S 最大，最大值為 1 此時(shí)點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 2）． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎(chǔ)． 4．（ 2021?新疆）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線 l與拋物線交于點(diǎn)C，其中 A 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 1， 0）， C 點(diǎn)坐標(biāo)是（ 4， 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在（ 1）中拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn) D，使 △ BCD 的周長最小？若存在，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）若點(diǎn) E 是（ 1）中拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線 AC 的下方，試求 △ ACE 的最大面積及 E 點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （ 2）利用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，然后根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，直線 AC 與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) D； （ 3）根據(jù)直線 AC 的解析式，設(shè)出過點(diǎn) E 與 AC 平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉 y 得到關(guān)于 x的一元二次方程，利用根的判別式 △ =0 時(shí)， △ ACE 的面積最大，然后求出此時(shí)與 AC 平行的直線，然后求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，并求出該直線與 x 軸的交點(diǎn) F 的坐 標(biāo)，再求出 AF，再根據(jù)直線 l與 x 軸的夾角為 45176。 ∴ M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ 2）； （ II）當(dāng) MD=MO 時(shí)，如答圖 ②所示． 過點(diǎn) M 作 MN⊥ OD 于點(diǎn) N，則點(diǎn) N 為 OD的中點(diǎn)， ∴ DN=ON=1， AN=AD+DN=3， 又 △ AMN 為等腰直角三角形， ∴ MN=AN=3， ∴ M 點(diǎn)的 坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 3）； （ III）當(dāng) OD=OM 時(shí)， ∵△ OAC 為等腰直角三角形， ∴ 點(diǎn) O 到 AC 的距離為 4= ，即 AC 上的點(diǎn)與點(diǎn) O 之間的最小距離為 ． ∵ ＞ 2， ∴ OD=OM 的情況不存在． 綜上所述，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ 2）或（﹣ 1，﹣ 3）． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．第（ 2）問將面積的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的極值問題，注意其中求面積表達(dá)式的方法；第（ 3）問重在考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意三種可能的情 形需要一一分析，不能遺漏． 10．（ 2021?遂寧）如圖，拋物線 y= x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A（ 2， 0），交 y 軸于點(diǎn) B（ 0， ）．直線y=kx 過點(diǎn) A 與 y 軸交于點(diǎn) C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是 D． （ 1）求拋物線 y= x2+bx+c 與直線 y=kx 的解析式； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 是直線 AD 上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 D 重合），過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線，交直線AD 于點(diǎn) M，作 DE⊥ y 軸于點(diǎn) E．探究：是否存在這樣的點(diǎn) P，使四邊形 PMEC 是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）在（ 2）的條 件下，作 PN⊥ AD 于點(diǎn) N，設(shè) △ PMN 的周長為 l，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x，求 l與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 l的最大值． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）將 A， B 兩點(diǎn)分別代入 y= x2+bx+c 進(jìn)而求出解析式即可； （ 2）首先假設(shè)出 P， M 點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出 PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出 D 點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出 CE 的長，利用平行四邊形的性質(zhì)得出 PM=CE，得出等式方程求出即可； （ 3）利用勾股定理得出 DC 的長，進(jìn)而根據(jù) △ PMN∽△ CDE，得出兩三角形周長之比，求出 l與 x 的函數(shù)關(guān)系，再利用 配方法求出二次函數(shù)最值即可． 解答： 解：（ 1） ∵ y= x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0）和 B（ 0， ） ∴ 由此得 ， 解得 ． ∴ 拋物線的解析式是 y= x2﹣ x+ ， ∵ 直線 y=kx﹣ 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0） ∴ 2k﹣ =0， 解得： k= ， ∴ 直線的解析式是 y= x﹣ ， （ 2）設(shè) P 的坐標(biāo)是（ x， x2﹣ x+ ），則 M 的坐標(biāo)是（ x， x﹣ ） ∴ PM=（ x2﹣ x+ ）﹣（ x﹣ ） =﹣ x2﹣ x+4， 解方程 得： ， ， ∵ 點(diǎn) D 在第三象限，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)是（﹣ 8，﹣ 7 ），由 y= x﹣ 得點(diǎn) C 的坐標(biāo)是（ 0，﹣ ）， ∴ CE=﹣ ﹣（﹣ 7 ） =6， 由于 PM∥ y 軸，要使四邊形 PMEC 是平行四邊形，必有 PM=CE，即﹣ x2﹣ x+4=6 解這個(gè)方程得： x1=﹣ 2， x2=﹣ 4， 符合﹣ 8＜ x＜ 2， 當(dāng) x=﹣ 2 時(shí)， y=﹣ （﹣ 2） 2﹣ （﹣ 2） + =3， 當(dāng) x=﹣ 4 時(shí)， y=﹣ （﹣ 4） 2﹣ （﹣ 4） + = ， 因此，直線 AD 上方的拋物線上存在這樣的點(diǎn) P，使四邊形 PMEC 是平行四邊形，點(diǎn) P 的坐標(biāo)是（﹣ 2， 3）和（﹣ 4， ）； （ 3）在 Rt△ CDE 中， DE=8， CE=6 由勾股定理得： DC= ∴△ CDE 的周長是 24， ∵ PM∥ y 軸， ∵∠ PMN=∠ DCE， ∵∠ PNM=∠ DEC， ∴△ PMN∽△ CDE， ∴ = ，即 = ， 化簡整理得： l與 x 的函數(shù)關(guān)系式是： l=﹣ x2﹣ x+ ， l=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （ x+3） 2+15， ∵ ﹣ ＜ 0， ∴ l有最大值， 當(dāng) x=﹣ 3 時(shí)， l的最大值是 15． 點(diǎn)評(píng)： 此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點(diǎn)求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出 PM=CE 進(jìn)而得出等式是解題關(guān)鍵． 11．（ 2021?綏化）如 圖，已知拋物線 y= （ x﹣ 2）（ x+a）（ a＞ 0）與 x 軸交于點(diǎn) B、 C，與 y 軸交于點(diǎn) E，且點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)． （ 1）若拋物線過點(diǎn) M（﹣ 2，﹣ 2），求實(shí)數(shù) a 的值； （ 2）在（ 1）的條件下，解答下列問題； ①求出 △ BCE 的面積； ②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn) H，使 CH+EH 的值最小，直接寫出點(diǎn) H 的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題． 分析： （ 1）將 M 坐標(biāo)代入拋物線解析式求出 a 的值即可； （ 2） ①求出的 a 代入確定出拋物線解析式，令 y=0 求出 x 的值，確定出 B 與 C 坐標(biāo)，令 x=0 求出 y 的 值，確定出 E 坐標(biāo)，進(jìn)而得出 BC 與 OE 的長，即可求出三角形 BCE 的面積； ②根據(jù)拋物線解析式求出對(duì)稱軸方程為直線 x=﹣ 1，根據(jù) C 與 B 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接 BE，與對(duì)稱軸交于點(diǎn) H，即為所求，設(shè)直線 BE 解析式為 y=kx+b，將 B 與 E 坐標(biāo)代入求出 k 與 b 的值，確定出直線 BE 解析式，將 x=﹣ 1 代入直線 BE 解析式求出 y 的值，即可確定出 H 的坐標(biāo)． 解答： 解：（ 1）將 M（﹣ 2，﹣ 2）代入拋物線解析式得：﹣ 2= （﹣ 2﹣ 2）（﹣ 2+a）， 解得： a=4； （ 2） ①由（ 1）拋物線解析式 y= （ x﹣ 2）（ x+4）， 當(dāng) y=0 時(shí)，得 ： 0= （ x﹣ 2）（ x+4）， 解得： x1=2， x2=﹣ 4， ∵ 點(diǎn) B 在點(diǎn) C 的左側(cè)， ∴ B（﹣ 4， 0）， C（ 2， 0）， 當(dāng) x=0 時(shí)，得： y=﹣ 2，即 E（ 0，﹣ 2）， ∴ S△ BCE= 62=6； ②由拋物線解析式 y= （ x﹣ 2）（ x+4），得對(duì)稱軸為直線 x=﹣ 1， 根據(jù) C 與 B 關(guān)于拋物線對(duì)稱軸直線 x=﹣ 1 對(duì)稱，連接 BE，與對(duì)稱軸交于點(diǎn) H，即為所求， 設(shè)直線 BE 解析式為 y=kx+b， 將 B（﹣ 4， 0）與 E（ 0，﹣ 2）代入得： ， 解得： ， ∴ 直線 BE 解析式為 y=﹣ x﹣ 2， 將 x=﹣ 1 代入得： y= ﹣ 2=﹣ ， 則 H（﹣ 1，﹣ ）． 點(diǎn)評(píng)： 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，對(duì)稱的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 12．（ 2021?蘇州）如圖，已知拋物線 y= x2+bx+c（ b， c 是常數(shù)，且 c＜ 0）與 x 軸分別交于點(diǎn) A、 B（點(diǎn) A位于點(diǎn) B 的左側(cè)），與 y 軸的負(fù)半軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0）． （ 1） b= +c ，點(diǎn) B 的橫坐標(biāo)為 ﹣ 2c （上述結(jié)果均用含 c 的代數(shù)式表示）； （ 2）連接 BC，過點(diǎn) A 作直線 AE∥ BC，與拋物線 y= x2+bx+c 交于點(diǎn) E，點(diǎn) D 是 x 軸上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（ 2， 0）．當(dāng) C， D， E 三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）條件下，點(diǎn) P 是 x 軸下方的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 PB， PC，設(shè)所得 △ PBC 的面積為 S． ①求 S 的取值范圍； ②若 △ PBC 的面積 S 為整數(shù)，則這樣的 △ PBC 共有 11 個(gè)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）將 A（﹣ 1， 0）代入 y= x2+bx+c，可以得出 b= +c；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出﹣ 1?xB= ，即 xB=﹣ 2c； （ 2）由 y= x2+bx+c，求出此拋物線與 y 軸的交點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， c），則可設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+c，將 B 點(diǎn)坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式為 y= x+c；由 AE∥ BC，設(shè)直線 AE 得到解析式為 y= x+m，將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 AE 得到解析式為 y= x+ ；解方程組，求出點(diǎn) E坐標(biāo)為（ 1﹣ 2c， 1﹣ c），將點(diǎn) E坐標(biāo)代入直線 CD的解析式 y=﹣ x+c，求出 c=﹣ 2，進(jìn)而得到拋物線的解析式為 y= x2﹣ x﹣ 2； （ 3） ①分兩種情況進(jìn)行討論：（ Ⅰ ）當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時(shí)，由 0＜ S＜ S△ ACB，易求 0＜ S＜ 5；（ Ⅱ ）當(dāng) 0＜ x＜ 4時(shí)，過點(diǎn) P 作 PG⊥ x 軸于點(diǎn) G，交 CB 于點(diǎn) F．設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ x， x2﹣ x﹣ 2），則點(diǎn) F 坐標(biāo)為（ x， x﹣ 2）， PF=PG﹣ GF=﹣ x2+2x， S= PF?OB=﹣ x2+4x=﹣（ x﹣ 2） 2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 S 最大值 =4，即 0＜ S≤4．則 0＜ S＜ 5； ②由 0＜ S＜ 5， S 為整數(shù)，得出 S=1， 2， 3， 4．分兩種情況進(jìn)行討論：（ Ⅰ ）當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時(shí)，根據(jù) △ PBC中 BC 邊上的高 h 小于 △ ABC 中 BC 邊上的高 AC= ，得出滿足條件的 △ PBC 共有 4 個(gè)；（ Ⅱ ）當(dāng) 0＜ x ＜ 4 時(shí)，由于 S=﹣ x2+4x，根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的 △ PBC 共有 7 個(gè)；則滿足條件的 △ PBC 共有 4+7=11 個(gè)． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y= x2+bx+c 過點(diǎn) A（﹣ 1， 0）， ∴ 0= （﹣ 1） 2