【正文】 ∴ ON= t， ∴ P（ t， t）； 作 PQ⊥ CD，垂足為 Q， MF⊥ CD，垂足為 F； 把 x= t 代入 y=﹣ x2+2 x， 得 y=﹣ 3t2+6t， ∴ M（ t，﹣ 3t2+6t）， F（ ，﹣ 3t2+6t）， 同理： Q（ ， t）， D（ ， 1）； 要使 PD=CM，只需 CF=QD， 即 3﹣（﹣ 3t2+6t） =|t﹣ 1|， 解得 t= ， t=1（舍）， t= ， ∴ P 點坐標為（ ， ），或（ ， ）， ∴ 存在滿足條件的 P 點，使得 PD=CM，此時 P 點坐標為（ ， ）或（ ， ）． 點評： 此題主要考查了圖形的旋轉變化、解直角三角形、二次函數(shù)解析式的確定等重要知識點，表示出 P 點坐標利用 CF=QD 求出是解題關鍵． 18．（ 2021?臨沂）如圖，拋物線經過 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在拋物線的對稱軸上有一點 P，使 PA+PC 的值最小，求點 P 的坐標； （ 3）點 M 為 x 軸上一動點，在拋物線上是否存在一點 N，使以 A， C， M， N 四點構成的四邊形為平行四邊形 ？若存在，求點 N 的坐標；若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題；探究型． 分析： （ 1）設拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c（ a≠0），再把 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點代入求出 a、 b、 c 的值即可； （ 2）因為點 A 關于對稱軸對稱的點 A 的坐標為（ 5， 0），連接 BC 交對稱軸直線于點 P，求出 P 點坐標即可； （ 3）分點 N 在 x 軸下方或上方兩種情況進行討論． 解答： 解：（ 1）設拋物線的解析式為 y=ax2+bx+c（ a≠0）， ∵ A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）， C（ 0， ）三點在拋物線上， ∴ ， 解得 ． ∴ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ 2x﹣ ； （ 2） ∵ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ 2x﹣ ， ∴ 其對稱軸為直線 x=﹣ =﹣ =2， 連接 BC，如圖 1 所示， ∵ B（ 5， 0）， C（ 0，﹣ ）， ∴ 設直線 BC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， ∴ ， 解得 ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y= x﹣ ， 當 x=2 時， y=1﹣ =﹣ ， ∴ P（ 2，﹣ ）； （ 3）存在． 如圖 2 所示， ①當點 N 在 x 軸下方時， ∵ 拋物線的對稱軸為直線 x=2， C（ 0，﹣ ）， ∴ N1（ 4，﹣ ）； ②當點 N 在 x 軸上方時， 如圖，過點 N2作 ND⊥ x 軸于點 D， 在 △ AN2D 與 △ M2CO 中， ∴△ AN2D≌△ M2CO（ ASA）， ∴ N2D=OC= ，即 N2點的縱坐標為 ． ∴ x2﹣ 2x﹣ = ， 解得 x=2+ 或 x=2﹣ ， ∴ N2（ 2+ ， ）， N3（ 2﹣ ， ）． 綜上所述，符合條件的點 N 的坐標為（ 4，﹣ ），（ 2+ ， ）或（ 2﹣ ， ）． 點評： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質、全等三角形等知識，在解答（ 3）時 要注意進行分類討論． 19．（ 2021?汕頭）已知二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1． （ 1）當二次函數(shù)的圖象經過坐標原點 O（ 0， 0）時，求二次函數(shù)的解析式； （ 2）如圖，當 m=2 時，該拋物線與 y 軸交于點 C，頂點為 D，求 C、 D 兩點的坐標； （ 3）在（ 2）的條件下， x 軸上是否存在一點 P，使得 PC+PD 最短？若 P 點存在，求出 P 點的坐標；若 P點不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 分析： （ 1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經過坐標原點 O（ 0， 0），直接代入求出 m 的值即可； （ 2）根據(jù) m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進而利用配方法求出頂點坐標以及圖象與 y 軸交點即可； （ 3）根據(jù)當 P、 C、 D 共線時 PC+PD 最短，利用平行線分線段成比例定理得出 PO的長即可得出答案． 解答： 解：（ 1） ∵ 二次函數(shù)的圖象經過坐標原點 O（ 0， 0）， ∴ 代入二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1，得出： m2﹣ 1=0， 解得： m=177。 OC=AO=2 ， ∴∠ COH=60176。 ∠ BOA=30176。 OA= ，若以 O 為坐標原點，OA 所在直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點 B 在第一象限內 ，將 Rt△ OAB 沿 OB 折疊后，點 A 落在第一象限內的點 C 處． （ 1）求經過點 O， C， A 三點的拋物線的解析式． （ 2）求拋物線的對稱軸與線段 OB 交點 D 的坐標． （ 3）線段 OB 與拋物線交與點 E，點 P 為線段 OE 上一動點（點 P 不與點 O，點 E 重合），過 P 點作 y 軸的平行線，交拋物線于點 M，問：在線段 OE 上是否存在這樣的點 P，使得 PD=CM？若存在，請求出此時點 P 的坐標；若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）在 Rt△ AOB 中，根據(jù) AO 的長和 ∠ BOA 的度數(shù)，可求 得 OB 的長，根據(jù)折疊的性質即可得到 OA=OC，且 ∠ BOC=∠ BOA=30176。 BC 邊上的高 AC= ． ∵ S= BC?h， ∴ h= = = S． 如果 S=1，那么 h= 1= ＜ ，此時 P 點有 1 個， △ PBC 有 1 個； 如果 S=2，那么 h= 2= ＜ ，此時 P 點有 1 個， △ PBC 有 1 個； 如果 S=3，那么 h= 3= ＜ ，此時 P 點有 1 個， △ PBC 有 1 個； 如果 S=4，那么 h= 4= ＜ ，此時 P 點有 1 個， △ PBC 有 1 個； 即當﹣ 1＜ x＜ 0 時，滿足條 件的 △ PBC 共有 4 個； （ Ⅱ ）當 0＜ x＜ 4 時， S=﹣ x2+4x． 如果 S=1，那么﹣ x2+4x=1，即 x2﹣ 4x+1=0， ∵△ =16﹣ 4=12＞ 0， ∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時 P 點有 2 個， △ PBC 有 2 個； 如果 S=2，那么﹣ x2+4x=2，即 x2﹣ 4x+2=0， ∵△ =16﹣ 8=8＞ 0， ∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時 P 點有 2 個， △ PBC 有 2 個； 如果 S=3，那么﹣ x2+4x=3，即 x2﹣ 4x+3=0， ∵△ =16﹣ 12=4＞ 0， ∴ 方程有兩個不相等的實數(shù)根，此時 P 點有 2 個， △ PBC 有 2 個； 如果 S=4，那么﹣ x2+4x=4，即 x2﹣ 4x+4=0， ∵△ =16﹣ 16=0， ∴ 方程有兩個相等的實數(shù)根，此時 P 點有 1 個， △ PBC 有 1 個； 即當 0＜ x＜ 4 時，滿足條件的 △ PBC 共有 7 個； 綜上可知，滿足條件的 △ PBC 共有 4+7=11 個． 故答案為 +c，﹣ 2c； 11． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質，直線平移的規(guī)律，求兩個函數(shù)的交點坐標，三角形的面積，一元二次方程的根的判別及根與系數(shù)的關系等知識，綜合性較強，有一定難度，運用數(shù)形結合、分類討論及 方程思想是解題的關鍵． 13．（ 2021?攀枝花）如圖，拋物線 y=ax2+bx+c 經過點 A（﹣ 3， 0）， B（ ）， C（ 0，﹣ 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若點 P 為第三象限內拋物線上的一點，設 △ PAC 的面積為 S，求 S 的最大值并求出此時點 P 的坐標； （ 3）設拋物線的頂點為 D， DE⊥ x 軸于點 E，在 y 軸上是否存在點 M，使得 △ ADM 是直角三角形？若存在，請直接寫出點 M 的坐標；若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）已知拋物線上的三點坐標， 利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式； （ 2）過點 P 作 x 軸的垂線，交 AC 于點 N，先運用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，設 P 點坐標為（ x，x2+2x﹣ 3），根據(jù) AC 的解析式表示出點 N 的坐標，再根據(jù) S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN就可以表示出 △ PAC 的面積，運用頂點式就可以求出結論； （ 3）分三種情況進行討論： ①以 A 為直角頂點； ②以 D 為直角頂點； ③以 M 為直角頂點；設點 M 的坐標為（ 0， t），根據(jù)勾股定理列出方程，求出 t 的值即可． 解答： 解：（ 1）由于拋物線 y=ax2+bx+c 經過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0） ，可設拋物線的解析式為：y=a（ x+3）（ x﹣ 1）， 將 C 點坐標（ 0，﹣ 3）代入，得： a（ 0+3）（ 0﹣ 1） =﹣ 3，解得 a=1， 則 y=（ x+3）（ x﹣ 1） =x2+2x﹣ 3， 所以拋物線的解析式為： y=x2+2x﹣ 3； （ 2）過點 P 作 x 軸的垂線，交 AC 于點 N． 設直線 AC 的解析式為 y=kx+m，由題意，得 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為： y=﹣ x﹣ 3． 設 P 點坐標為（ x， x2+2x﹣ 3），則點 N 的坐標為（ x，﹣ x﹣ 3）， ∴ PN=PE﹣ NE=﹣（ x2+2x﹣ 3） +（﹣ x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x． ∵ S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN， ∴ S= PN?OA = 3（﹣ x2﹣ 3x） =﹣ （ x+ ） 2+ ， ∴ 當 x=﹣ 時， S 有最大值 ，此時點 P 的坐標為（﹣ ，﹣ ）； （ 3）在 y 軸上是存在點 M，能夠使得 △ ADM 是直角三角形．理由如下： ∵ y=x2+2x﹣ 3=y=（ x+1） 2﹣ 4， ∴ 頂點 D 的坐標為（﹣ 1，﹣ 4）， ∵ A（﹣ 3， 0）， ∴ AD2=（﹣ 1+3） 2+（﹣ 4﹣ 0） 2=20． 設點 M 的坐標為（ 0， t），分三種情況進行討論： ①當 A 為直角頂點時，如圖 3①， 由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即 （ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2+20=（ 0+1） 2+（ t+4） 2， 解得 t= ， 所以點 M 的坐標為（ 0， ）； ②當 D 為直角頂點時，如圖 3②， 由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（ 0+1） 2+（ t+4） 2+20=（ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2， 解得 t=﹣ ， 所以點 M 的坐標為（ 0，﹣ ）； ③當 M 為直角頂點時，如圖 3③， 由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2+（ 0+1） 2+（ t+4） 2=20， 解得 t=﹣ 1 或﹣ 3， 所以點 M 的坐標為（ 0，﹣ 1）或（ 0，﹣ 3）； 綜上可知，在 y 軸 上存在點 M，能夠使得 △ ADM 是直角三角形，此時點 M 的坐標為（ 0， ）或（ 0，﹣ ）或（ 0，﹣ 1）或（ 0，﹣ 3）． 點評： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點式的運用，勾股定理等知識，難度適中．運用數(shù)形結合、分類討論及方程思想是解題的關鍵． 14．（ 2021?寧夏）如圖，拋物線與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交 C 點，點 A 的坐標為（ 2， 0），點 C 的坐標為（ 0， 3）它的對稱軸是直線 x= （ 1）求拋物線的解析式； （ 2） M 是線段 AB 上的任意一點，當 △ MBC 為等腰三角形時，求 M 點的坐標． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題． 分析： （ 1）根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點式，然后代入已知的兩點理由待定系數(shù)法求解即可； （ 2）首先求得點 B 的坐標，然后分 CM=BM 時和 BC=BM 時兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質求得點 M 的坐標即可． 解答： 解：（ 1）設拋物線的解析式 把 A（ 2， 0） C（ 0， 3）代入得： 解得： ∴ 即 （ 2）由 y=0 得 ∴ x1=2， x2=﹣ 3 ∴ B（﹣ 3， 0） ①CM=BM 時 ∵ BO=CO=3 即 △ BOC 是等腰直角三角形 ∴ 當 M 點在原點 O 時， △ MBC 是等腰三角形 ∴ M 點坐標（ 0， 0） ②BC=BM 時 在 Rt△ BOC 中， BO=CO=3