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20xx北師大版中考數(shù)學專題訓練25題(留存版)

2025-01-27 14:12上一頁面

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【正文】 , 則 y=( x+3)( x﹣ 1) =x2+2x﹣ 3, 所以拋物線的解析式為: y=x2+2x﹣ 3; ( 2)過點 P 作 x 軸的垂線,交 AC 于點 N. 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+m,由題意,得 ,解得 , ∴ 直線 AC 的解析式為: y=﹣ x﹣ 3. 設(shè) P 點坐標為( x, x2+2x﹣ 3),則點 N 的坐標為( x,﹣ x﹣ 3), ∴ PN=PE﹣ NE=﹣( x2+2x﹣ 3) +(﹣ x﹣ 3) =﹣ x2﹣ 3x. ∵ S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN, ∴ S= PN?OA = 3(﹣ x2﹣ 3x) =﹣ ( x+ ) 2+ , ∴ 當 x=﹣ 時, S 有最大值 ,此時點 P 的坐標為(﹣ ,﹣ ); ( 3)在 y 軸上是存在點 M,能夠使得 △ ADM 是直角三角形.理由如下: ∵ y=x2+2x﹣ 3=y=( x+1) 2﹣ 4, ∴ 頂點 D 的坐標為(﹣ 1,﹣ 4), ∵ A(﹣ 3, 0), ∴ AD2=(﹣ 1+3) 2+(﹣ 4﹣ 0) 2=20. 設(shè)點 M 的坐標為( 0, t),分三種情況進行討論: ①當 A 為直角頂點時,如圖 3①, 由勾股定理,得 AM2+AD2=DM2,即 ( 0+3) 2+( t﹣ 0) 2+20=( 0+1) 2+( t+4) 2, 解得 t= , 所以點 M 的坐標為( 0, ); ②當 D 為直角頂點時,如圖 3②, 由勾股定理,得 DM2+AD2=AM2,即( 0+1) 2+( t+4) 2+20=( 0+3) 2+( t﹣ 0) 2, 解得 t=﹣ , 所以點 M 的坐標為( 0,﹣ ); ③當 M 為直角頂點時,如圖 3③, 由勾股定理,得 AM2+DM2=AD2,即( 0+3) 2+( t﹣ 0) 2+( 0+1) 2+( t+4) 2=20, 解得 t=﹣ 1 或﹣ 3, 所以點 M 的坐標為( 0,﹣ 1)或( 0,﹣ 3); 綜上可知,在 y 軸 上存在點 M,能夠使得 △ ADM 是直角三角形,此時點 M 的坐標為( 0, )或( 0,﹣ )或( 0,﹣ 1)或( 0,﹣ 3). 點評: 本題考查的是二次函數(shù)綜合題,涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,三角形的面積,二次函數(shù)的頂點式的運用,勾股定理等知識,難度適中.運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵. 14.( 2021?寧夏)如圖,拋物線與 x 軸交于 A、 B 兩點,與 y 軸交 C 點,點 A 的坐標為( 2, 0),點 C 的坐標為( 0, 3)它的對稱軸是直線 x= ( 1)求拋物線的解析式; ( 2) M 是線段 AB 上的任意一點,當 △ MBC 為等腰三角形時,求 M 點的坐標. 考點 : 二次函數(shù)綜合題. 2364070 專題 : 綜合題. 分析: ( 1)根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點式,然后代入已知的兩點理由待定系數(shù)法求解即可; ( 2)首先求得點 B 的坐標,然后分 CM=BM 時和 BC=BM 時兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得點 M 的坐標即可. 解答: 解:( 1)設(shè)拋物線的解析式 把 A( 2, 0) C( 0, 3)代入得: 解得: ∴ 即 ( 2)由 y=0 得 ∴ x1=2, x2=﹣ 3 ∴ B(﹣ 3, 0) ①CM=BM 時 ∵ BO=CO=3 即 △ BOC 是等腰直角三角形 ∴ 當 M 點在原點 O 時, △ MBC 是等腰三角形 ∴ M 點坐標( 0, 0) ②BC=BM 時 在 Rt△ BOC 中, BO=CO=3, 由勾股定理得 BC= ∴ BC= , ∴ BM= ∴ M 點坐標( 點評: 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識,第一問考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式,較為簡單.第二問結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了等腰三角形的性質(zhì),綜合性較強. 15.( 2021?茂名)如圖,拋物線 與 x 軸交于點 A 和點 B,與 y 軸交于點 C,已知點 B 的坐標為( 3, 0). ( 1)求 a 的值和拋物線 的頂點坐標; ( 2)分別連接 AC、 BC.在 x 軸下方的拋物線上求一點 M,使 △ AMC 與 △ ABC 的面積相等; ( 3)設(shè) N 是拋物線對稱軸上的一個動點, d=|AN﹣ CN|.探究:是否存在一點 N,使 d 的值最大?若存在,請直接寫出點 N 的坐標和 d 的最大值;若不存在,請簡單說明理由. 考點 : 二次函數(shù)綜合題. 2364070 專題 : 壓軸題. 分析: ( 1)先把點 B 的坐標代入 y=ax2﹣ x+2,可求得 a 的值,再利用配方法將一般式化為頂點式,即可求得拋物線的頂點坐標; ( 2)先由拋物線的解析式 y=﹣ x2﹣ x+2,求出 與 x 軸的交點 A 的坐標,與 y 軸的交點 C 的坐標,再由△ AMC 與 △ ABC 的面積相等,得出這兩個三角形 AC 邊上的高相等,又由點 B 與點 M 都在 AC 的下方,得出 BM∥ AC,則點 M 既在過 B 點與 AC 平行的直線上,又在拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 上,所以先運用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式為 y= x+2,再設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n,將點 B( 3, 0)代入,求出 n 的值,得到直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1,然后解方程組 ,即可求出點 M 的坐標; ( 3)連接 BC 并延長,交拋物線的對稱軸 x=﹣ 于點 N,連接 AN,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得 出 AN=BN,并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大.運用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式,再將 x=﹣ 代入,求出 y 的值,得到點 N 的坐標,然后利用勾股定理求出 d 的最大值 BC 即可. 解答: 解:( 1) ∵ 拋物線 y=ax2﹣ x+2 經(jīng)過點 B( 3, 0), ∴ 9a﹣ 3+2=0, 解得 a=﹣ , ∴ y=﹣ x2﹣ x+2, ∵ y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ ( x2+3x) +2=﹣ ( x+ ) 2+ , ∴ 頂點坐標為(﹣ , ); ( 2) ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 的對稱軸為直線 x=﹣ , 與 x 軸交于點 A 和點 B,點 B 的坐標為( 3, 0), ∴ 點 A 的坐標為(﹣ 6, 0). 又 ∵ 當 x=0 時, y=2, ∴ C 點坐標為( 0, 2). 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b, 則 ,解得 , ∴ 直線 AC 的解析式為 y= x+2. ∵ S△ AMC=S△ ABC, ∴ 點 B 與點 M 到 AC 的距離相等, 又 ∵ 點 B 與點 M 都在 AC 的下方, ∴ BM∥ AC, 設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n, 將點 B( 3, 0)代入,得 3+n=0, 解得 n=﹣ 1, ∴ 直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1. 由 ,解得 , , ∴ M 點的坐標 是(﹣ 9,﹣ 4); ( 3)在拋物線對稱軸上存在一點 N,能夠使 d=|AN﹣ CN|的值最大.理由如下: ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 與 x 軸交于點 A 和點 B, ∴ 點 A 和點 B 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱. 連接 BC 并延長,交直線 x=﹣ 于點 N,連接 AN,則 AN=BN,此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大. 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+t,將 B( 3, 0), C( 0, 2)兩點的坐標代入, 得 , , ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+2, 當 x=﹣ 時, y=﹣ (﹣ ) +2=3, ∴ 點 N 的坐標為(﹣ , 3), d 的最大值為 BC= = . 點評: 本題是二次函數(shù)的綜合題型,其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式,二次函數(shù)的性質(zhì),三角形的面積,軸對稱的性質(zhì)等知識,難度適中.其中第( 2)小題根據(jù)三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)得出 BM∥ AC 是關(guān)鍵,第( 3)小題根據(jù)軸對稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點 N 的位置是關(guān)鍵. 16.( 2021?瀘州)如圖,在直角坐標系中,點 A 的坐標為(﹣ 2, 0),點 B 的坐標為( 1,﹣ ),已知拋物線 y=ax2+bx+c( a≠0)經(jīng)過三點 A、 B、 O( O 為原點). ( 1)求拋物線的解析 式; ( 2)在該拋物線的對稱軸上,是否存在點 C,使 △ BOC 的周長最?。咳舸嬖?,求出點 C 的坐標;若不存在,請說明理由; ( 3)如果點 P 是該拋物線上 x 軸上方的一個動點,那么 △ PAB 是否有最大面積?若有,求出此時 P 點的坐標及 △ PAB 的最大面積;若沒有,請說明理由.(注意:本題中的結(jié)果均保留根號) 考點 : 二次函數(shù)綜合題. 2364070 專題 : 壓軸題. 分析: ( 1)直接將 A、 O、 B 三點坐標代入拋物線解析式的一般式,可求解析式; ( 2)因為點 A, O 關(guān)于對稱軸對稱,連接 AB 交對稱軸于 C 點, C 點即為所求,求直線 AB 的解析式,再根據(jù) C 點的橫坐標值,求縱坐標; ( 3)設(shè) P( x, y)(﹣ 2< x< 0, y> 0),用割補法可表示 △ PAB 的面積,根據(jù)面積表達式再求取最大值時,x 的值. 解答: 解:( 1)將 A(﹣ 2, 0), B( 1,﹣ ), O( 0, 0)三點的坐標代入 y=ax2+bx+c( a≠0), 可得: , 解得: , 故所求拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ x; ( 2)存在.理由如下: 如答圖 ①所示, ∵ y=﹣ x2﹣ x=﹣ ( x+1) 2+ , ∴ 拋物線的對稱軸為 x=﹣ 1. ∵ 點 C 在對稱軸 x=﹣ 1 上, △ BOC 的周長 =OB+BC+CO; ∵ OB=2,要使 △ BOC 的周長最小,必須 BC+CO 最小, ∵ 點 O 與點 A 關(guān)于直線 x=﹣ 1 對稱,有 CO=CA, △ BOC 的周長 =OB+BC+CO=OB+BC+CA, ∴ 當 A、 C、 B 三點共線,即點 C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點時, BC+CA 最小,此時 △ BOC 的周長最?。? 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+t,則有: ,解得: , ∴ 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x﹣ , 當 x=﹣ 1 時, y=﹣ , ∴ 所求點 C 的坐標為(﹣ 1,﹣ ); ( 3)設(shè) P( x, y)(﹣ 2< x< 0, y> 0), 則 y=﹣ x2﹣ x ① 如答圖 ②所示,過點 P 作 PQ⊥ y軸于點 Q, PG⊥ x軸于點 G,過點 A作 AF⊥ PQ軸于點 F,過點 B作 BE⊥ PQ軸于點 E,則 PQ=﹣ x, PG=﹣ y, 由題意可得: S△ PAB=S 梯形 AFEB﹣ S△ AFP﹣ S△ BEP = ( AF+BE) ?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE = ( y+ +y)( 1+2)﹣ y?( 2+x)﹣ ( 1﹣ x)( +y) = y+ x+ ② 將 ①代入 ②得: S△ PAB= (﹣ x2﹣ x) + x+ =﹣ x2﹣ x+ =﹣ ( x+ ) 2+ ∴ 當 x=﹣ 時, △ PAB 的面積最大,最大值為 , 此時 y=﹣ + = , ∴ 點 P 的坐標為(﹣ , ). 點評: 本題考查了坐標系中點的坐標求法,拋物線解析式的求法,根據(jù)對稱性求線段和最小的問題,也考查了在坐標系里表示面積及求面積最大值等問題;解答本題( 3)也可以將直線 AB 向下平移至與拋物線相切的位置,聯(lián)立此時的直線解析式與拋物線解析式,可求唯一交點 P 的坐標. 17.( 2021?六盤水)已知.在 Rt△ OAB 中, ∠ OAB=90176。 OA= ,若以 O 為坐標原點,OA 所在直線為 x 軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,點 B 在第一象限內(nèi) ,將 Rt△ OAB 沿 OB 折疊后,點 A 落在第一象限內(nèi)的點 C 處. ( 1)求經(jīng)過點 O, C, A 三點的拋物線的解析式. ( 2)求拋物線的對稱軸與線段 OB 交點 D 的坐標. ( 3)線段 OB 與拋物線交與點 E,點 P 為線段 OE 上一動點(點 P 不與點 O,點 E 重合),過 P 點作 y 軸的平行線,交拋物線于點 M,問:在線段 OE 上是否存在這樣的點 P,使得 PD=CM?若存在,請求出此時點 P 的坐標;若不存在,請說明理由. 考點 : 二次函數(shù)綜合題. 2364070 專題 : 壓軸題. 分析: ( 1)在 Rt△ AOB 中,根據(jù) AO 的長和 ∠ BOA 的度數(shù),可求 得 OB 的長,根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到 OA=OC,且 ∠ BOC=∠ BOA=30176。 ∴∠ EBD=45176。 OA= , ∴ OB= =4, AB
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