【正文】 ， 則 y=（ x+3）（ x﹣ 1） =x2+2x﹣ 3， 所以拋物線的解析式為： y=x2+2x﹣ 3； （ 2）過(guò)點(diǎn) P 作 x 軸的垂線，交 AC 于點(diǎn) N． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+m，由題意，得 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為： y=﹣ x﹣ 3． 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3），則點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3）， ∴ PN=PE﹣ NE=﹣（ x2+2x﹣ 3） +（﹣ x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x． ∵ S△ PAC=S△ PAN+S△ PCN， ∴ S= PN?OA = 3（﹣ x2﹣ 3x） =﹣ （ x+ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， S 有最大值 ，此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ ，﹣ ）； （ 3）在 y 軸上是存在點(diǎn) M，能夠使得 △ ADM 是直角三角形．理由如下： ∵ y=x2+2x﹣ 3=y=（ x+1） 2﹣ 4， ∴ 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 4）， ∵ A（﹣ 3， 0）， ∴ AD2=（﹣ 1+3） 2+（﹣ 4﹣ 0） 2=20． 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， t），分三種情況進(jìn)行討論： ①當(dāng) A 為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖 3①， 由勾股定理，得 AM2+AD2=DM2，即 （ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2+20=（ 0+1） 2+（ t+4） 2， 解得 t= ， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， ）； ②當(dāng) D 為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖 3②， 由勾股定理，得 DM2+AD2=AM2，即（ 0+1） 2+（ t+4） 2+20=（ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2， 解得 t=﹣ ， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ ）； ③當(dāng) M 為直角頂點(diǎn)時(shí)，如圖 3③， 由勾股定理，得 AM2+DM2=AD2，即（ 0+3） 2+（ t﹣ 0） 2+（ 0+1） 2+（ t+4） 2=20， 解得 t=﹣ 1 或﹣ 3， 所以點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 1）或（ 0，﹣ 3）； 綜上可知，在 y 軸 上存在點(diǎn) M，能夠使得 △ ADM 是直角三角形，此時(shí)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（ 0， ）或（ 0，﹣ ）或（ 0，﹣ 1）或（ 0，﹣ 3）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，三角形的面積，二次函數(shù)的頂點(diǎn)式的運(yùn)用，勾股定理等知識(shí)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵． 14．（ 2021?寧夏）如圖，拋物線與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，與 y 軸交 C 點(diǎn)，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（ 2， 0），點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 0， 3）它的對(duì)稱軸是直線 x= （ 1）求拋物線的解析式； （ 2） M 是線段 AB 上的任意一點(diǎn)，當(dāng) △ MBC 為等腰三角形時(shí)，求 M 點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題． 分析： （ 1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸得到拋物線的頂點(diǎn)式，然后代入已知的兩點(diǎn)理由待定系數(shù)法求解即可； （ 2）首先求得點(diǎn) B 的坐標(biāo)，然后分 CM=BM 時(shí)和 BC=BM 時(shí)兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn) M 的坐標(biāo)即可． 解答： 解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式 把 A（ 2， 0） C（ 0， 3）代入得： 解得： ∴ 即 （ 2）由 y=0 得 ∴ x1=2， x2=﹣ 3 ∴ B（﹣ 3， 0） ①CM=BM 時(shí) ∵ BO=CO=3 即 △ BOC 是等腰直角三角形 ∴ 當(dāng) M 點(diǎn)在原點(diǎn) O 時(shí)， △ MBC 是等腰三角形 ∴ M 點(diǎn)坐標(biāo)（ 0， 0） ②BC=BM 時(shí) 在 Rt△ BOC 中， BO=CO=3， 由勾股定理得 BC= ∴ BC= ， ∴ BM= ∴ M 點(diǎn)坐標(biāo)（ 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，第一問(wèn)考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，較為簡(jiǎn)單．第二問(wèn)結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)． 15．（ 2021?茂名）如圖，拋物線 與 x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，與 y 軸交于點(diǎn) C，已知點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）． （ 1）求 a 的值和拋物線 的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）分別連接 AC、 BC．在 x 軸下方的拋物線上求一點(diǎn) M，使 △ AMC 與 △ ABC 的面積相等； （ 3）設(shè) N 是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， d=|AN﹣ CN|．探究：是否存在一點(diǎn) N，使 d 的值最大？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn) N 的坐標(biāo)和 d 的最大值；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）先把點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入 y=ax2﹣ x+2，可求得 a 的值，再利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)； （ 2）先由拋物線的解析式 y=﹣ x2﹣ x+2，求出 與 x 軸的交點(diǎn) A 的坐標(biāo)，與 y 軸的交點(diǎn) C 的坐標(biāo)，再由△ AMC 與 △ ABC 的面積相等，得出這兩個(gè)三角形 AC 邊上的高相等，又由點(diǎn) B 與點(diǎn) M 都在 AC 的下方，得出 BM∥ AC，則點(diǎn) M 既在過(guò) B 點(diǎn)與 AC 平行的直線上，又在拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 上，所以先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式為 y= x+2，再設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n，將點(diǎn) B（ 3， 0）代入，求出 n 的值，得到直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1，然后解方程組 ，即可求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)； （ 3）連接 BC 并延長(zhǎng)，交拋物線的對(duì)稱軸 x=﹣ 于點(diǎn) N，連接 AN，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得 出 AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時(shí) d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式，再將 x=﹣ 代入，求出 y 的值，得到點(diǎn) N 的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出 d 的最大值 BC 即可． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2﹣ x+2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) B（ 3， 0）， ∴ 9a﹣ 3+2=0， 解得 a=﹣ ， ∴ y=﹣ x2﹣ x+2， ∵ y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （ x2+3x） +2=﹣ （ x+ ） 2+ ， ∴ 頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ， ）； （ 2） ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 的對(duì)稱軸為直線 x=﹣ ， 與 x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B，點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）， ∴ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 6， 0）． 又 ∵ 當(dāng) x=0 時(shí)， y=2， ∴ C 點(diǎn)坐標(biāo)為（ 0， 2）． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b， 則 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y= x+2． ∵ S△ AMC=S△ ABC， ∴ 點(diǎn) B 與點(diǎn) M 到 AC 的距離相等， 又 ∵ 點(diǎn) B 與點(diǎn) M 都在 AC 的下方， ∴ BM∥ AC， 設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n， 將點(diǎn) B（ 3， 0）代入，得 3+n=0， 解得 n=﹣ 1， ∴ 直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1． 由 ，解得 ， ， ∴ M 點(diǎn)的坐標(biāo) 是（﹣ 9，﹣ 4）； （ 3）在拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn) N，能夠使 d=|AN﹣ CN|的值最大．理由如下： ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 與 x 軸交于點(diǎn) A 和點(diǎn) B， ∴ 點(diǎn) A 和點(diǎn) B 關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱． 連接 BC 并延長(zhǎng)，交直線 x=﹣ 于點(diǎn) N，連接 AN，則 AN=BN，此時(shí) d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大． 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+t，將 B（ 3， 0）， C（ 0， 2）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入， 得 ， ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+2， 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， y=﹣ （﹣ ） +2=3， ∴ 點(diǎn) N 的坐標(biāo)為（﹣ ， 3）， d 的最大值為 BC= = ． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．其中第（ 2）小題根據(jù)三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)得出 BM∥ AC 是關(guān)鍵，第（ 3）小題根據(jù)軸對(duì)稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點(diǎn) N 的位置是關(guān)鍵． 16．（ 2021?瀘州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 1，﹣ ），已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）經(jīng)過(guò)三點(diǎn) A、 B、 O（ O 為原點(diǎn)）． （ 1）求拋物線的解析 式； （ 2）在該拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn) C，使 △ BOC 的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）如果點(diǎn) P 是該拋物線上 x 軸上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么 △ PAB 是否有最大面積？若有，求出此時(shí) P 點(diǎn)的坐標(biāo)及 △ PAB 的最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號(hào)） 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）直接將 A、 O、 B 三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式； （ 2）因?yàn)辄c(diǎn) A， O 關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，連接 AB 交對(duì)稱軸于 C 點(diǎn)， C 點(diǎn)即為所求，求直線 AB 的解析式，再根據(jù) C 點(diǎn)的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0），用割補(bǔ)法可表示 △ PAB 的面積，根據(jù)面積表達(dá)式再求取最大值時(shí)，x 的值． 解答： 解：（ 1）將 A（﹣ 2， 0）， B（ 1，﹣ ）， O（ 0， 0）三點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=ax2+bx+c（ a≠0）， 可得： ， 解得： ， 故所求拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ x； （ 2）存在．理由如下： 如答圖 ①所示， ∵ y=﹣ x2﹣ x=﹣ （ x+1） 2+ ， ∴ 拋物線的對(duì)稱軸為 x=﹣ 1． ∵ 點(diǎn) C 在對(duì)稱軸 x=﹣ 1 上， △ BOC 的周長(zhǎng) =OB+BC+CO； ∵ OB=2，要使 △ BOC 的周長(zhǎng)最小，必須 BC+CO 最小， ∵ 點(diǎn) O 與點(diǎn) A 關(guān)于直線 x=﹣ 1 對(duì)稱，有 CO=CA， △ BOC 的周長(zhǎng) =OB+BC+CO=OB+BC+CA， ∴ 當(dāng) A、 C、 B 三點(diǎn)共線，即點(diǎn) C 為直線 AB 與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)時(shí)， BC+CA 最小，此時(shí) △ BOC 的周長(zhǎng)最?。? 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+t，則有： ，解得： ， ∴ 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x﹣ ， 當(dāng) x=﹣ 1 時(shí)， y=﹣ ， ∴ 所求點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ ）； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0）， 則 y=﹣ x2﹣ x ① 如答圖 ②所示，過(guò)點(diǎn) P 作 PQ⊥ y軸于點(diǎn) Q， PG⊥ x軸于點(diǎn) G，過(guò)點(diǎn) A作 AF⊥ PQ軸于點(diǎn) F，過(guò)點(diǎn) B作 BE⊥ PQ軸于點(diǎn) E，則 PQ=﹣ x， PG=﹣ y， 由題意可得： S△ PAB=S 梯形 AFEB﹣ S△ AFP﹣ S△ BEP = （ AF+BE） ?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE = （ y+ +y）（ 1+2）﹣ y?（ 2+x）﹣ （ 1﹣ x）（ +y） = y+ x+ ② 將 ①代入 ②得： S△ PAB= （﹣ x2﹣ x） + x+ =﹣ x2﹣ x+ =﹣ （ x+ ） 2+ ∴ 當(dāng) x=﹣ 時(shí)， △ PAB 的面積最大，最大值為 ， 此時(shí) y=﹣ + = ， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（﹣ ， ）． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)求法，拋物線解析式的求法，根據(jù)對(duì)稱性求線段和最小的問(wèn)題，也考查了在坐標(biāo)系里表示面積及求面積最大值等問(wèn)題；解答本題（ 3）也可以將直線 AB 向下平移至與拋物線相切的位置，聯(lián)立此時(shí)的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 17．（ 2021?六盤水）已知．在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。 OA= ，若以 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA 所在直線為 x 軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn) B 在第一象限內(nèi) ，將 Rt△ OAB 沿 OB 折疊后，點(diǎn) A 落在第一象限內(nèi)的點(diǎn) C 處． （ 1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn) O， C， A 三點(diǎn)的拋物線的解析式． （ 2）求拋物線的對(duì)稱軸與線段 OB 交點(diǎn) D 的坐標(biāo)． （ 3）線段 OB 與拋物線交與點(diǎn) E，點(diǎn) P 為線段 OE 上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P 不與點(diǎn) O，點(diǎn) E 重合），過(guò) P 點(diǎn)作 y 軸的平行線，交拋物線于點(diǎn) M，問(wèn)：在線段 OE 上是否存在這樣的點(diǎn) P，使得 PD=CM？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）在 Rt△ AOB 中，根據(jù) AO 的長(zhǎng)和 ∠ BOA 的度數(shù)，可求 得 OB 的長(zhǎng)，根據(jù)折疊的性質(zhì)即可得到 OA=OC，且 ∠ BOC=∠ BOA=30176。 ∴∠ EBD=45176。 OA= ， ∴ OB= =4， AB