【正文】 的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 分析： （ 1）由拋物線 y=a（ x﹣ h） 2+k 的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 B（ 1， 2）知： h=1， k=2，則 y=a（ x﹣ 1）2+2，再把 A 點(diǎn)坐標(biāo)代入此解析式即可； （ 2）易知 △ OAC 是等腰直角三角形，可得 AC 的垂直平分線是直線 y=x，根據(jù) “線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等 ”知直線 y=x 與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn) P，解方程組即可求出 P 點(diǎn)坐標(biāo)； （ 3）先求出第一象限內(nèi)此拋物線上與 AC 距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再與 P 點(diǎn)的坐標(biāo)比較進(jìn)行判斷．滿足條件的點(diǎn)一定是與直線 AC 平行且與拋物線有唯一交點(diǎn)的直線與拋物線相交產(chǎn)生的，易求出直線 AC 的解析式，設(shè)出與 AC 平行的直線的解析式，令它與拋物線的解析式組成的方程組有唯一解，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，通過判斷它與點(diǎn) P 是否重合來判斷點(diǎn) P 是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與 AC 距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=a（ x﹣ h） 2+k 頂點(diǎn)坐標(biāo)為 B（ 1， 2）， ∴ y=a（ x﹣ 1） 2+2， ∵ 拋物線經(jīng)過點(diǎn) A（ 0， 1）， ∴ a（ 0﹣ 1） 2+2=1， ∴ a=﹣ 1， ∴ 此拋物線的解析式為 y=﹣（ x﹣ 1） 2+2 或 y=﹣ x2+2x+1； （ 2） ∵ A（ 0， 1）， C（ 1， 0）， ∴ OA=OC， ∴△ OAC 是等腰直角三角形． 過點(diǎn) O 作 AC 的垂線 l，根據(jù)等腰三角形的 “三線合一 ”的性質(zhì)知： l是 AC 的中垂線， ∴ l與拋物線的交點(diǎn)即為點(diǎn) P． 如圖，直線 l的解析式為 y=x， 解方程組 ， 得 ， （不合題意舍去）， ∴ 點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ ， ）； （ 3）點(diǎn) P 不是 第一象限內(nèi)此拋物線上與 AC 距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)． 由（ 1）知，點(diǎn) C 的坐標(biāo)為（ 1， 0）． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b， 則 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y=﹣ x+1． 設(shè)與 AC 平行的直線的解析式為 y=﹣ x+m． 解方程組 ， 代入消元，得﹣ x2+2x+1=﹣ x+m， ∵ 此點(diǎn)與 AC 距離最遠(yuǎn)， ∴ 直線 y=﹣ x+m 與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)， 即方程﹣ x2+2x+1=﹣ x+m 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． 整理方程得： x2﹣ 3x+m﹣ 1=0， △ =9﹣ 4（ m﹣ 1） =0，解之得 m= ． 則 x2﹣ 3x+ ﹣ 1=0，解之得 x1=x2= ，此時(shí) y= ． ∴ 第一象限內(nèi)此拋物線上與 AC 距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有運(yùn)用待定系數(shù)法求直線、拋物線的解析式，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，綜合性較強(qiáng)，難度適中． 7．（ 2021?威海）如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A， B， AB=2，與 y 軸交于點(diǎn) C，對(duì)稱軸為直線 x=2． （ 1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）設(shè) P 為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求 △ APC 周長的最小值； （ 3）設(shè) D 為拋物 線上一點(diǎn)， E 為對(duì)稱軸上一點(diǎn)，若以點(diǎn) A， B， D， E 為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，則點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 （ 2，﹣ 1） ． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 分析： （ 1）根據(jù)拋物線對(duì)稱軸的定義易求 A（ 1， 0）， B（ 3， 0）．所以 3 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的兩根．由韋達(dá)定理易求 b、 c 的值； （ 2）如圖，連接 AC、 BC， BC 交對(duì)稱軸于點(diǎn) P，連接 PA．根據(jù)拋物線的對(duì)稱性質(zhì)得到 PA=PB，則 △ APC的周長的最小值 =AC+AP+PC=AC+BC，所以根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式來求該三角形的周長的最小值即可； （ 3）如圖 2，點(diǎn) D 是拋物線的頂點(diǎn)，所以根據(jù)拋物線解析式利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得點(diǎn) D 的坐標(biāo)． 解答： 解：（ 1）如圖， ∵ AB=2，對(duì)稱軸為直線 x=2． ∴ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)是（ 1， 0），點(diǎn) B 的坐標(biāo)是（ 3， 0）． ∵ 拋物線 y=x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A， B， ∴ 3 是關(guān)于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的兩根． 由韋達(dá)定理，得 1+3=﹣ b， 13=c， ∴ b=﹣ 4， c=3， ∴ 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2﹣ 4x+3； （ 2）如圖 1，連接 AC、 BC， BC 交對(duì)稱軸于點(diǎn) P，連接 PA． 由（ 1）知拋物線的函數(shù)表達(dá)式為 y=x2﹣ 4x+3， A（ 1， 0）， B（ 3， 0）， ∴ C（ 0， 3）， ∴ BC= =3 ， AC= = ． ∵ 點(diǎn) A、 B 關(guān)于對(duì)稱軸 x=2 對(duì)稱， ∴ PA=PB， ∴ PA+PC=PB+PC． 此時(shí)， PB+PC=BC． ∴ 點(diǎn) P 在對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，（ PA+PB）的最小值等于 BC． ∴△ APC 的周長的最小值 =AC+AP+PC=AC+BC=3 + ； （ 3）如圖 2，根據(jù) “菱形 ADBE 的對(duì)角線互相垂直平分，拋物線的對(duì)稱性 ”得到點(diǎn) D 是拋物線 y=x2﹣ 4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即（ 2，﹣ 1）． 故答案是：（ 2，﹣ 1）． 點(diǎn)評(píng)： 本 題考查了二次函數(shù)綜合題．解題過程中用到的知識(shí)點(diǎn)有：待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，軸對(duì)稱﹣﹣兩點(diǎn)間距離最短，菱形的性質(zhì)．解（ 1）題時(shí)，也可以把點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù) b、 c 的方程組，通過解方程組來求它們的值． 8．（ 2021?銅仁地區(qū)）如圖，已知直線 y=3x﹣ 3 分別交 x 軸、 y 軸于 A、 B 兩點(diǎn)，拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過 A、B 兩點(diǎn)，點(diǎn) C 是拋物線與 x 軸的另一個(gè)交點(diǎn)（與 A 點(diǎn)不重合）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）求 △ ABC 的面積； （ 3）在拋物線的對(duì)稱軸上，是否存在點(diǎn) M，使 △ ABM 為等腰 三角形？若不存在，請(qǐng)說明理由；若存在，求出點(diǎn) M 的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn) A 及點(diǎn) B 的坐標(biāo)，然后將點(diǎn) A 及點(diǎn) B 的坐標(biāo)代入拋物線解析式，可得出 b、 c 的值，求出拋物線解析式； （ 2）由（ 1）求得的拋物線解析式，可求出點(diǎn) C 的坐標(biāo)，繼而求出 AC 的長度，代入三角形的面積公式即可計(jì)算； （ 3）根據(jù)點(diǎn) M 在拋物線對(duì)稱軸上，可設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（﹣ 1， m），分三種情況討論， ①M(fèi)A=BA， ②MB=BA，③MB=MA，求出 m 的值后即可得出答案． 解答 ： 解：（ 1） ∵ 直線 y=3x﹣ 3 分別交 x 軸、 y 軸于 A、 B 兩點(diǎn)， ∴ 可得 A（ 1， 0）， B（ 0，﹣ 3）， 把 A、 B 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入 y=x2+bx+c 得： ， 解得： ． ∴ 拋物線解析式為： y=x2+2x﹣ 3． （ 2）令 y=0 得： 0=x2+2x﹣ 3， 解得： x1=1， x2=﹣ 3， 則 C 點(diǎn)坐標(biāo)為：（﹣ 3， 0）， AC=4， 故可得 S△ ABC= ACOB= 43=6． （ 3）拋物線的對(duì)稱軸為： x=﹣ 1，假設(shè)存在 M（﹣ 1， m）滿足題意： 討論： ①當(dāng) MA=AB 時(shí)， ， 解得： ， ∴ M1（﹣ 1， ）， M2（﹣ 1，﹣ ）； ②當(dāng) MB=BA 時(shí)， ， 解得： M3=0， M4=﹣ 6， ∴ M3（﹣ 1， 0）， M4（﹣ 1，﹣ 6）（不合題意舍去）， ③當(dāng) MB=MA 時(shí)， ， 解得： m=﹣ 1， ∴ M5（﹣ 1，﹣ 1）， 答：共存在 4 個(gè)點(diǎn) M1（﹣ 1， ）， M2（﹣ 1，﹣ ）， M3（﹣ 1， 0）， M4（﹣ 1，﹣ 1）使 △ ABM 為等腰三角形． 點(diǎn)評(píng)： 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的面積，難點(diǎn)在第三問，注意分類討論，不要漏解． 9．（ 2021?泰安）如圖，拋物線 y= x2+bx+c 與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0，﹣ 4），與 x 軸交于點(diǎn) A， B，且 B 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 2， 0） （ 1）求該拋物線的解析式． （ 2）若點(diǎn) P 是 AB 上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn) P 作 PE∥ AC，交 BC 于 E，連接 CP，求 △ PCE 面積的最大值． （ 3）若點(diǎn) D 為 OA 的中點(diǎn)，點(diǎn) M 是線段 AC 上一點(diǎn)，且 △ OMD 為等腰三角形，求 M 點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （ 2）首先求出 △ PCE 面積的表達(dá)式，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最大值； （ 3） △ OMD 為等腰三角形，可能有三種情 形，需要分類討論． 解答： 解：（ 1）把點(diǎn) C（ 0，﹣ 4）， B（ 2， 0）分別代入 y= x2+bx+c 中， 得 ， 解得 ∴ 該拋物線的解析式為 y= x2+x﹣ 4． （ 2）令 y=0，即 x2+x﹣ 4=0，解得 x1=﹣ 4， x2=2， ∴ A（﹣ 4， 0）， S△ ABC= AB?OC=12． 設(shè) P 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， 0），則 PB=2﹣ x． ∵ PE∥ AC， ∴∠ BPE=∠ BAC， ∠ BEP=∠ BCA， ∴△ PBE∽△ ABC， ∴ ，即 ， 化簡得： S△ PBE= （ 2﹣ x） 2． S△ PCE=S△ PCB﹣ S△ PBE= PB?OC﹣ S△ PBE= （ 2﹣ x） 4﹣ （ 2﹣ x） 2 = x2﹣ x+ = （ x+1） 2+3 ∴ 當(dāng) x=﹣ 1 時(shí)， S△ PCE的最大值為 3． （ 3） △ OMD 為等腰三角形，可能有三種情形： （ I）當(dāng) DM=DO 時(shí)，如答圖 ①所示． DO=DM=DA=2， ∴∠ OAC=∠ AMD=45176。 ∴ M 點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ 2）； （ II）當(dāng) MD=MO 時(shí)，如答圖 ②所示． 過點(diǎn) M 作 MN⊥ OD 于點(diǎn) N，則點(diǎn) N 為 OD的中點(diǎn)， ∴ DN=ON=1， AN=AD+DN=3， 又 △ AMN 為等腰直角三角形， ∴ MN=AN=3， ∴ M 點(diǎn)的 坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ 3）； （ III）當(dāng) OD=OM 時(shí)， ∵△ OAC 為等腰直角三角形， ∴ 點(diǎn) O 到 AC 的距離為 4= ，即 AC 上的點(diǎn)與點(diǎn) O 之間的最小距離為 ． ∵ ＞ 2， ∴ OD=OM 的情況不存在． 綜上所述，點(diǎn) M 的坐標(biāo)為（﹣ 2，﹣ 2）或（﹣ 1，﹣ 3）． 點(diǎn)評(píng)： 本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似三角形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn)，以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．第（ 2）問將面積的最值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的極值問題，注意其中求面積表達(dá)式的方法；第（ 3）問重在考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意三種可能的情 形需要一一分析，不能遺漏． 10．（ 2021?遂寧）如圖，拋物線 y= x2+bx+c 與 x 軸交于點(diǎn) A（ 2， 0），交 y 軸于點(diǎn) B（ 0， ）．直線y=kx 過點(diǎn) A 與 y 軸交于點(diǎn) C，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)是 D． （ 1）求拋物線 y= x2+bx+c 與直線 y=kx 的解析式； （ 2）設(shè)點(diǎn) P 是直線 AD 上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn) A、 D 重合），過點(diǎn) P 作 y 軸的平行線，交直線AD 于點(diǎn) M，作 DE⊥ y 軸于點(diǎn) E．探究：是否存在這樣的點(diǎn) P，使四邊形 PMEC 是平行四邊形？若存在請(qǐng)求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由； （ 3）在（ 2）的條 件下，作 PN⊥ AD 于點(diǎn) N，設(shè) △ PMN 的周長為 l，點(diǎn) P 的橫坐標(biāo)為 x，求 l與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出 l的最大值． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）將 A， B 兩點(diǎn)分別代入 y= x2+bx+c 進(jìn)而求出解析式即可； （ 2）首先假設(shè)出 P， M 點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出 PM的長，將兩函數(shù)聯(lián)立得出 D 點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出 CE 的長，利用平行四邊形的性質(zhì)得出 PM=CE，得出等式方程求出即可； （ 3）利用勾股定理得出 DC 的長，進(jìn)而根據(jù) △ PMN∽△ CDE，得出兩三角形周長之比，求出 l與 x 的函數(shù)關(guān)系，再利用 配方法求出二次函數(shù)最值即可． 解答： 解：（ 1） ∵ y= x2+bx+c 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0）和 B（ 0， ） ∴ 由此得 ， 解得 ． ∴ 拋物線的解析式是 y= x2﹣ x+ ， ∵ 直線 y=kx﹣ 經(jīng)過點(diǎn) A（ 2， 0） ∴ 2k﹣ =0， 解得： k= ， ∴ 直線的解析式是 y= x﹣ ，