【正文】 標(biāo)為（﹣ 1， 0）， ∴ （﹣ 1） +m=0，解得 m= ， ∴ 直線 AE 得到解析式為 y= x+ ． 由 ，解得 ， ， ∴ 點(diǎn) E 坐標(biāo)為（ 1﹣ 2c， 1﹣ c）． ∵ 點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ 0， c），點(diǎn) D 坐標(biāo)為（ 2， 0）， ∴ 直線 CD 的解析式為 y=﹣ x+c． ∵ C， D， E 三點(diǎn)在同一直線上， ∴ 1﹣ c=﹣ （ 1﹣ 2c） +c， ∴ 2c2+3c﹣ 2=0， ∴ c1= （與 c＜ 0 矛盾，舍去）， c2=﹣ 2， ∴ b= +c=﹣ ， ∴ 拋物線的解析式為 y= x2﹣ x﹣ 2； （ 3） ①設(shè)點(diǎn) P 坐標(biāo)為（ x， x2﹣ x﹣ 2）． ∵ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0），點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ 4， 0），點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ 0，﹣ 2）， ∴ AB=5， OC=2，直線 BC 的解析式為 y= x﹣ 2． 分兩種情況： （ Ⅰ ）當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時， 0＜ S＜ S△ ACB． ∵ S△ ACB= AB?OC=5， ∴ 0＜ S＜ 5； （ Ⅱ ）當(dāng) 0＜ x＜ 4 時，過點(diǎn) P 作 PG⊥ x 軸于點(diǎn) G，交 CB 于點(diǎn) F． ∴ 點(diǎn) F 坐標(biāo)為（ x， x﹣ 2）， ∴ PF=PG﹣ GF=﹣（ x2﹣ x﹣ 2） +（ x﹣ 2） =﹣ x2+2x， ∴ S=S△ PFC+S△ PFB= PF?OB= （﹣ x2+2x） 4=﹣ x2+4x=﹣（ x﹣ 2） 2+4， ∴ 當(dāng) x=2 時， S 最大值 =4， ∴ 0＜ S≤4． 綜上可知 0＜ S＜ 5； ②∵ 0＜ S＜ 5， S 為整數(shù)， ∴ S=1， 2， 3， 4． 分兩種情況： （ Ⅰ ）當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時，設(shè) △ PBC 中 BC 邊上的高為 h． ∵ 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0），點(diǎn) B 坐標(biāo)為（ 4， 0），點(diǎn) C 坐標(biāo)為（ 0，﹣ 2）， ∴ AC2=1+4=5， BC2=16+4=20， AB2=25， ∴ AC2+BC2=AB2， ∠ ACB=90176。． ∵∠ OBA+∠ OAB=90176。4． 當(dāng) x=4 時， x2+2x﹣ 3=16+8﹣ 3=21； 當(dāng) x=﹣ 4 時， x2+2x﹣ 3=16﹣ 8﹣ 3=5． 所以點(diǎn) P 的坐標(biāo)為（ 4， 21）或（﹣ 4， 5）； ②設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+t，將 A（﹣ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3）代入， 得 ，解得 ， 即直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3． 設(shè) Q 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3）（﹣ 3≤x≤0），則 D 點(diǎn)坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3）， QD=（﹣ x﹣ 3）﹣（ x2+2x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x=﹣（ x+ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時， QD 有最 大值 ． 點(diǎn)評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想． 3．（ 2021?雅安）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三點(diǎn)，其頂點(diǎn)為D，對稱軸是直線 l， l與 x 軸交于點(diǎn) H． （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) P 是該拋物線對稱軸 l上的一個動點(diǎn)，求 △ PBC 周長的最小值； （ 3）如圖（ 2），若 E 是線段 AD 上的一個動點(diǎn)（ E 與 A、 D 不重合），過 E 點(diǎn)作平行 于 y 軸的直線交拋物線于點(diǎn) F，交 x 軸于點(diǎn) G，設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m， △ ADF 的面積為 S． ①求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點(diǎn) E 的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點(diǎn)，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可； （ 2）根據(jù) BC 是定值，得到當(dāng) PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可； （ 3）設(shè)點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m，表示出 E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3），最后表示出 EF 的長，從而表示出 S 于 m 的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可． 解答： 解：（ 1）由題意可知： 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2） ∵△ PBC 的周長為： PB+PC+BC ∵ BC 是定值， ∴ 當(dāng) PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小， ∵ 點(diǎn) A、點(diǎn) B 關(guān)于對稱軸 I 對稱， ∴ 連接 AC 交 l于點(diǎn) P，即點(diǎn) P 為所求的點(diǎn) ∵ AP=BP ∴△ PBC 的周長最小是： PB+PC+BC=AC+BC ∵ A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC=3 ， BC= ； 故 △ PBC 周長的 最小值為 3 + ． （ 3） ①∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4） ∵ A（﹣ 3， 0） ∴ 直線 AD 的解析式為 y=2x+6 ∵ 點(diǎn) E 的橫坐標(biāo)為 m， ∴ E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3） ∴ EF=﹣ m2﹣ 2m+3﹣（ 2m+6） =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 ∴ S=S△ DEF+S△ AEF = EF?GH+ EF?AG = EF?AH = （﹣ m2﹣ 4m﹣ 3） 2 =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3； ②S=﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 =﹣（ m+2） 2+1； ∴ 當(dāng) m=﹣ 2 時， S 最大，最大值為 1 此時點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 2）． 點(diǎn)評： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎(chǔ)． 4．（ 2021?新疆）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 A、 B 兩點(diǎn)，過點(diǎn) A 的直線 l與拋物線交于點(diǎn)C，其中 A 點(diǎn)的坐標(biāo)是（ 1， 0）， C 點(diǎn)坐標(biāo)是（ 4， 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在（ 1）中拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn) D，使 △ BCD 的周長最小？若存在，求出點(diǎn) D 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； （ 3）若點(diǎn) E 是（ 1）中拋物線上的一個動點(diǎn)，且位于直線 AC 的下方，試求 △ ACE 的最大面積及 E 點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （ 2）利用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線 AC 與對稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn) D； （ 3）根據(jù)直線 AC 的解析式，設(shè)出過點(diǎn) E 與 AC 平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉 y 得到關(guān)于 x的一元二次方程，利用根的判別式 △ =0 時， △ ACE 的面積最大，然后求出此時與 AC 平行的直線，然后求出點(diǎn) E 的坐標(biāo)，并求出該直線與 x 軸的交點(diǎn) F 的坐 標(biāo)，再求出 AF，再根據(jù)直線 l與 x 軸的夾角為 45176。 中考復(fù)習(xí) 25題專題訓(xùn)練 (含詳細(xì)解答 ) 一．解答題（共 30小題） 1．（ 2021?重慶）如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的圖象與 x 軸的一個交點(diǎn)為 B（ 5， 0），另一個交點(diǎn)為 A，且與 y 軸交于點(diǎn) C（ 0， 5）． （ 1）求直線 BC 與拋物線的解析式； （ 2）若點(diǎn) M 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動點(diǎn)，過點(diǎn) M 作 MN∥ y 軸交直線 BC 于點(diǎn) N，求 MN 的最大值； （ 3）在（ 2）的條件下， MN 取得最大值時，若點(diǎn) P 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以 BC 為邊作平行四邊形 CBPQ，設(shè)平行四邊形 CBPQ 的面積為 S1， △ ABN 的面積為 S2，且 S1=6S2，求點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 考點(diǎn) ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+n，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線 BC 的解析式；同理，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點(diǎn) ∑的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （ 2） MN 的長是直線 BC 的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于 MN 的長和 M 點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 MN 的最大值； （ 3）先求出 △ ABN 的面積 S2=5，則 S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出 BD=3 ，過點(diǎn) D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點(diǎn) P，交 x 軸于點(diǎn) E，在直線DE 上截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ 為平行四邊形．證明 △ EBD 為等腰直角三角形，則 BE= BD=6，求出 E 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1，然后解方程組，即可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)． 解答： 解：（ 1）設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+n， 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入， 得 ，解得 ， 所以直 線 BC 的解析式為 y=﹣ x+5； 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c， 得 ，解得 ， 所以拋物線的解析式為 y=x2﹣ 6x+5； （ 2）設(shè) M（ x， x2﹣ 6x+5）（ 1＜ x＜ 5），則 N（ x，﹣ x+5）， ∵ MN=（﹣ x+5）﹣（ x2﹣ 6x+5） =﹣ x2+5x=﹣（ x﹣ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x= 時， MN 有最大值 ； （ 3） ∵ MN 取得最大值時， x=， ∴ ﹣ x+5=﹣ +5=，即 N（ ， ）． 解方程 x2﹣ 6x+5=0，得 x=1 或 5， ∴ A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， ∴ AB=5﹣ 1=4， ∴△ ABN 的面積 S2= 4=5， ∴ 平行四邊形 CBPQ 的面積 S1=6S2=30． 設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，則 BC⊥ BD． ∵ BC=5 ， ∴ BC?BD=30， ∴ BD=3 ． 過點(diǎn) D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點(diǎn) P，交 x 軸于點(diǎn) E，在直線 DE 上截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ為平行四邊形． ∵ BC⊥ BD， ∠ OBC=45176。求出兩直線間的距離，再求出 AC 間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+3 經(jīng)過點(diǎn) A（ 1， 0），點(diǎn) C（ 4， 3）， ∴ ， 解得 ， 所以，拋物線的解析式為 y=x2﹣ 4x+3； （ 2） ∵ 點(diǎn) A、 B 關(guān)于對稱軸對稱， ∴ 點(diǎn) D 為 AC 與對稱軸的交點(diǎn)時 △ BCD 的周長最小， 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， 則 ， 解得 ， 所以，直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∵ y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 拋 物線的對稱軸為直線 x=2， 當(dāng) x=2 時， y=2﹣ 1=1， ∴ 拋物線對稱軸上存在點(diǎn) D（ 2， 1），使 △ BCD 的周長最小； （ 3）如圖，設(shè)過點(diǎn) E 與直線 AC 平行線的直線為 y=x+m， 聯(lián)立 ， 消掉 y 得， x2﹣ 5x+3﹣ m=0， △ =（﹣ 5） 2﹣ 41（ 3﹣ m） =0， 即 m=﹣ 時，點(diǎn) E 到 AC 的距離最大， △ ACE 的面積最大， 此時 x= ， y= ﹣ =﹣ ， ∴ 點(diǎn) E 的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）， 設(shè)過點(diǎn) E 的直線與 x 軸交點(diǎn)為 F，則 F（ ， 0）， ∴ AF= ﹣ 1= ， ∵ 直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∴∠ CAB=45176。 ∠ OAB+∠ CAD=90176。 BC 邊上的高 AC= ． ∵ S= BC?h， ∴ h= = = S． 如果 S=1，那么 h= 1= ＜ ，此時 P 點(diǎn)有 1 個， △ PBC 有 1 個； 如果 S=2，那么 h= 2= ＜ ，此時 P 點(diǎn)有 1 個， △ PBC 有 1 個； 如果 S=3，那么 h= 3= ＜ ，此時 P 點(diǎn)有 1 個， △ PBC 有 1 個； 如果 S=4，那么 h= 4= ＜ ，此時 P 點(diǎn)有 1 個， △ PBC 有 1 個； 即當(dāng)﹣ 1＜ x＜ 0 時，滿足條 件的 △ PBC 共有 4 個； （ Ⅱ ）當(dāng) 0＜ x＜ 4 時， S=﹣ x2+4x． 如果 S=1，那么﹣ x2+4x=1，即 x2﹣ 4x+1=0， ∵△ =16﹣ 4=12＞ 0， ∴ 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，此時 P 點(diǎn)有 2 個， △ PB