【正文】 中考復習 25題專題訓練 (含詳細解答 ) 一．解答題（共 30小題） 1．（ 2021?重慶）如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的圖象與 x 軸的一個交點為 B（ 5， 0），另一個交點為 A，且與 y 軸交于點 C（ 0， 5）． （ 1）求直線 BC 與拋物線的解析式； （ 2）若點 M 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動點，過點 M 作 MN∥ y 軸交直線 BC 于點 N，求 MN 的最大值； （ 3）在（ 2）的條件下， MN 取得最大值時，若點 P 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點，以 BC 為邊作平行四邊形 CBPQ，設平行四邊形 CBPQ 的面積為 S1， △ ABN 的面積為 S2，且 S1=6S2，求點 P 的坐標． 考點 ： 二次函數綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）設直線 BC 的解析式為 y=mx+n，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點的坐標代入，運用待定系數法即可求出直線 BC 的解析式；同理，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點 ∑的坐標代入 y=x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式； （ 2） MN 的長是直線 BC 的函數值與拋物線的函數值的差，據此可得出一個關于 MN 的長和 M 點橫坐標的函數關系式，根據函數的性質即可求出 MN 的最大值； （ 3）先求出 △ ABN 的面積 S2=5，則 S1=6S2=30．再設平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，根據平行四邊形的面積公式得出 BD=3 ，過點 D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點 P，交 x 軸于點 E，在直線DE 上截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ 為平行四邊形．證明 △ EBD 為等腰直角三角形，則 BE= BD=6，求出 E 的坐標為（﹣ 1， 0），運用待定系數法求出直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1，然后解方程組，即可求出點 P 的坐標． 解答： 解：（ 1）設直線 BC 的解析式為 y=mx+n， 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點的坐標代入， 得 ，解得 ， 所以直 線 BC 的解析式為 y=﹣ x+5； 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點的坐標代入 y=x2+bx+c， 得 ，解得 ， 所以拋物線的解析式為 y=x2﹣ 6x+5； （ 2）設 M（ x， x2﹣ 6x+5）（ 1＜ x＜ 5），則 N（ x，﹣ x+5）， ∵ MN=（﹣ x+5）﹣（ x2﹣ 6x+5） =﹣ x2+5x=﹣（ x﹣ ） 2+ ， ∴ 當 x= 時， MN 有最大值 ； （ 3） ∵ MN 取得最大值時， x=， ∴ ﹣ x+5=﹣ +5=，即 N（ ， ）． 解方程 x2﹣ 6x+5=0，得 x=1 或 5， ∴ A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， ∴ AB=5﹣ 1=4， ∴△ ABN 的面積 S2= 4=5， ∴ 平行四邊形 CBPQ 的面積 S1=6S2=30． 設平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，則 BC⊥ BD． ∵ BC=5 ， ∴ BC?BD=30， ∴ BD=3 ． 過點 D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點 P，交 x 軸于點 E，在直線 DE 上截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ為平行四邊形． ∵ BC⊥ BD， ∠ OBC=45176。， ∴∠ EBD=45176。， ∴△ EBD 為等腰直角三角形， BE= BD=6， ∵ B（ 5， 0）， ∴ E（﹣ 1， 0）， 設直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x+t， 將 E（﹣ 1， 0）代入，得 1+t=0，解得 t=﹣ 1 ∴ 直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1． 解方程組 ，得 ， ， ∴ 點 P 的坐標為 P1（ 2，﹣ 3）（與點 D 重合）或 P2（ 3，﹣ 4）． 點評： 本題是二次函數的綜合題，其中涉及到運用待定系數法求一次函數、二次函數的解析式，二次函數的性質，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性較強，考查學生運用方程組、數形結合的思想方法．（ 2）中弄清線段 MN 長度的函數意義是關鍵，（ 3）中確定 P 與 Q 的位置是關鍵． 2．（ 2021?重慶）如圖，對稱軸為直線 x=﹣ 1 的拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）與 x 軸相交于 A、 B 兩點，其中點 A 的坐標為（﹣ 3， 0）． （ 1）求點 B 的坐標； （ 2）已知 a=1， C 為拋物線與 y 軸的交點． ①若點 P 在拋物線上，且 S△ POC=4S△ BOC．求點 P 的坐標； ②設點 Q 是線段 AC 上的動點，作 QD⊥ x 軸交拋物線于點 D，求線段 QD 長度的最大值． 考點 ： 二次函數綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）由拋物線 y=ax2+bx+c 的對稱軸為直線 x=﹣ 1，交 x 軸于 A、 B 兩點，其中 A 點的坐標為（﹣ 3， 0），根據二次函數的對稱性，即 可求得 B 點的坐標； （ 2） ①a=1 時，先由對稱軸為直線 x=﹣ 1，求出 b 的值，再將 B（ 1， 0）代入，求出二次函數的解析式為y=x2+2x﹣ 3，得到 C 點坐標，然后設 P 點坐標為（ x， x2+2x﹣ 3），根據 S△ POC=4S△ BOC列出關于 x 的方程，解方程求出 x 的值，進而得到點 P 的坐標； ②先運用待定系數法求出直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3，再設 Q 點坐標為（ x，﹣ x﹣ 3），則 D 點坐標為（ x， x2+2x﹣ 3），然后用含 x 的代數式表示 QD，根據二次函數的性質即可求出線段 QD 長度的最大值． 解答： 解：（ 1） ∵ 對稱軸為直線 x=﹣ 1 的拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）與 x 軸相交于 A、 B 兩點， ∴ A、 B 兩點關于直線 x=﹣ 1 對稱， ∵ 點 A 的坐標為（﹣ 3， 0）， ∴ 點 B 的坐標為（ 1， 0）； （ 2） ①a=1 時， ∵ 拋物線 y=x2+bx+c 的對稱軸為直線 x=﹣ 1， ∴ =﹣ 1，解得 b=2． 將 B（ 1， 0）代入 y=x2+2x+c， 得 1+2+c=0，解得 c=﹣ 3． 則二次函數的解析式為 y=x2+2x﹣ 3， ∴ 拋物線與 y 軸的交點 C 的坐標為（ 0，﹣ 3）， OC=3． 設 P 點坐標為（ x， x2+2x﹣ 3）， ∵ S△ POC=4S△ BOC， ∴ 3|x|=4 31， ∴ |x|=4， x=177。4． 當 x=4 時， x2+2x﹣ 3=16+8﹣ 3=21； 當 x=﹣ 4 時， x2+2x﹣ 3=16﹣ 8﹣ 3=5． 所以點 P 的坐標為（ 4， 21）或（﹣ 4， 5）； ②設直線 AC 的解析式為 y=kx+t，將 A（﹣ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3）代入， 得 ，解得 ， 即直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3． 設 Q 點坐標為（ x，﹣ x﹣ 3）（﹣ 3≤x≤0），則 D 點坐標為（ x， x2+2x﹣ 3）， QD=（﹣ x﹣ 3）﹣（ x2+2x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x=﹣（ x+ ） 2+ ， ∴ 當 x=﹣ 時， QD 有最 大值 ． 點評： 此題考查了待定系數法求二次函數、一次函數的解析式，二次函數的性質以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關鍵是運用方程思想與數形結合思想． 3．（ 2021?雅安）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線 l， l與 x 軸交于點 H． （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）若點 P 是該拋物線對稱軸 l上的一個動點，求 △ PBC 周長的最小值； （ 3）如圖（ 2），若 E 是線段 AD 上的一個動點（ E 與 A、 D 不重合），過 E 點作平行 于 y 軸的直線交拋物線于點 F，交 x 軸于點 G，設點 E 的橫坐標為 m， △ ADF 的面積為 S． ①求 S 與 m 的函數關系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點 E 的坐標； 若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據函數圖象經過的三點，用待定系數法確定二次函數的解析式即可； （ 2）根據 BC 是定值，得到當 PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小，根據點的坐標求得相應線段的長即可； （ 3）設點 E 的橫坐標為 m，表示出 E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3），最后表示出 EF 的長，從而表示出 S 于 m 的函數關系，然后求二次函數的最值即可． 解答： 解：（ 1）由題意可知： 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2） ∵△ PBC 的周長為： PB+PC+BC ∵ BC 是定值， ∴ 當 PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小， ∵ 點 A、點 B 關于對稱軸 I 對稱， ∴ 連接 AC 交 l于點 P，即點 P 為所求的點 ∵ AP=BP ∴△ PBC 的周長最小是： PB+PC+BC=AC+BC ∵ A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC=3 ， BC= ； 故 △ PBC 周長的 最小值為 3 + ． （ 3） ①∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 頂點 D 的坐標為（﹣ 1， 4） ∵ A（﹣ 3， 0） ∴ 直線 AD 的解析式為 y=2x+6 ∵ 點 E 的橫坐標為 m， ∴ E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3） ∴ EF=﹣ m2﹣ 2m+3﹣（ 2m+6） =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 ∴ S=S△ DEF+S△ AEF = EF?GH+ EF?AG = EF?AH = （﹣ m2﹣ 4m﹣ 3） 2 =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3； ②S=﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 =﹣（ m+2） 2+1； ∴ 當 m=﹣ 2 時， S 最大，最大值為 1 此時點 E 的坐標為（﹣ 2， 2）． 點評： 此題主要考查了待定系數法求二次函數解析式以及二次函數的最值，根據點的坐標表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎． 4．（ 2021?新疆）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 A、 B 兩點，過點 A 的直線 l與拋物線交于點C，其中 A 點的坐標是（ 1， 0）， C 點坐標是（ 4， 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在（ 1）中拋物線的對稱軸上是否存在點 D，使 △ BCD 的周長最小？若存在，求出點 D 的坐標，若不存在，請說明理由； （ 3）若點 E 是（ 1）中拋物線上的一個動點，且位于直線 AC 的下方，試求 △ ACE 的最大面積及 E 點的坐標． 考點 ： 二次函數綜合題． 2364070 專題 ： 代數幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）利用待定系數法求二次函數解析式解答即可； （ 2）利用待定系數法求出直線 AC 的解析式，然后根據軸對稱確定最短路線問題，直線 AC 與對稱軸的交點即為所求點 D； （ 3）根據直線 AC 的解析式，設出過點 E 與 AC 平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉 y 得到關于 x的一元二次方程，利用根的判別式 △ =0 時， △ ACE 的面積最大，然后求出此時與 AC 平行的直線，然后求出點 E 的坐標，并求出該直線與 x 軸的交點 F 的坐 標，再求出 AF，再根據直線 l與 x 軸的夾角為 45176。求出兩直線間的距離，再求出 AC 間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+3 經過點 A（ 1， 0），點 C（ 4， 3）， ∴ ， 解得 ， 所以，拋物線的解析式為 y=x2﹣ 4x+3； （ 2） ∵ 點 A、 B 關于對稱軸對稱， ∴ 點 D 為 AC 與對稱軸的交點時 △ BCD 的周長最小， 設直線 AC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， 則 ， 解得 ， 所以，直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∵ y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 拋 物線的對稱軸為直線 x=2， 當 x=2 時， y=2﹣ 1=1， ∴ 拋物線對稱軸上存在點 D（ 2， 1），使 △ BCD 的周長最?。? （ 3）如圖，設過點 E 與直線 AC 平行線的直線為 y=x+m， 聯(lián)立 ， 消掉 y 得， x2﹣ 5x+3﹣ m=0， △ =（﹣ 5） 2﹣ 41（ 3﹣ m） =0， 即 m=﹣ 時，點 E 到 AC 的距離最大， △ ACE 的面積最大， 此時 x= ， y= ﹣ =﹣ ， ∴ 點 E 的坐標為（ ，﹣ ）， 設過點 E 的直線與 x 軸交點為 F，則 F（ ， 0），