【正文】 （ 2）設(shè) P 的坐標是（ x， x2﹣ x+ ），則 M 的坐標是（ x， x﹣ ） ∴ PM=（ x2﹣ x+ ）﹣（ x﹣ ） =﹣ x2﹣ x+4， 解方程 得： ， ， ∵ 點 D 在第三象限，則點 D 的坐標是（﹣ 8，﹣ 7 ），由 y= x﹣ 得點 C 的坐標是（ 0，﹣ ）， ∴ CE=﹣ ﹣（﹣ 7 ） =6， 由于 PM∥ y 軸，要使四邊形 PMEC 是平行四邊形，必有 PM=CE，即﹣ x2﹣ x+4=6 解這個方程得： x1=﹣ 2， x2=﹣ 4， 符合﹣ 8＜ x＜ 2， 當 x=﹣ 2 時， y=﹣ （﹣ 2） 2﹣ （﹣ 2） + =3， 當 x=﹣ 4 時， y=﹣ （﹣ 4） 2﹣ （﹣ 4） + = ， 因此，直線 AD 上方的拋物線上存在這樣的點 P，使四邊形 PMEC 是平行四邊形，點 P 的坐標是（﹣ 2， 3）和（﹣ 4， ）； （ 3）在 Rt△ CDE 中， DE=8， CE=6 由勾股定理得： DC= ∴△ CDE 的周長是 24， ∵ PM∥ y 軸， ∵∠ PMN=∠ DCE， ∵∠ PNM=∠ DEC， ∴△ PMN∽△ CDE， ∴ = ，即 = ， 化簡整理得： l與 x 的函數(shù)關(guān)系式是： l=﹣ x2﹣ x+ ， l=﹣ x2﹣ x+ =﹣ （ x+3） 2+15， ∵ ﹣ ＜ 0， ∴ l有最大值， 當 x=﹣ 3 時， l的最大值是 15． 點評： 此題主要考查了二次函數(shù)的最值求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和函數(shù)交點求法以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出 PM=CE 進而得出等式是解題關(guān)鍵． 11．（ 2021?綏化）如 圖，已知拋物線 y= （ x﹣ 2）（ x+a）（ a＞ 0）與 x 軸交于點 B、 C，與 y 軸交于點 E，且點 B 在點 C 的左側(cè)． （ 1）若拋物線過點 M（﹣ 2，﹣ 2），求實數(shù) a 的值； （ 2）在（ 1）的條件下，解答下列問題； ①求出 △ BCE 的面積； ②在拋物線的對稱軸上找一點 H，使 CH+EH 的值最小，直接寫出點 H 的坐標． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題． 分析： （ 1）將 M 坐標代入拋物線解析式求出 a 的值即可； （ 2） ①求出的 a 代入確定出拋物線解析式，令 y=0 求出 x 的值，確定出 B 與 C 坐標，令 x=0 求出 y 的 值，確定出 E 坐標，進而得出 BC 與 OE 的長，即可求出三角形 BCE 的面積； ②根據(jù)拋物線解析式求出對稱軸方程為直線 x=﹣ 1，根據(jù) C 與 B 關(guān)于對稱軸對稱，連接 BE，與對稱軸交于點 H，即為所求，設(shè)直線 BE 解析式為 y=kx+b，將 B 與 E 坐標代入求出 k 與 b 的值，確定出直線 BE 解析式，將 x=﹣ 1 代入直線 BE 解析式求出 y 的值，即可確定出 H 的坐標． 解答： 解：（ 1）將 M（﹣ 2，﹣ 2）代入拋物線解析式得：﹣ 2= （﹣ 2﹣ 2）（﹣ 2+a）， 解得： a=4； （ 2） ①由（ 1）拋物線解析式 y= （ x﹣ 2）（ x+4）， 當 y=0 時，得 ： 0= （ x﹣ 2）（ x+4）， 解得： x1=2， x2=﹣ 4， ∵ 點 B 在點 C 的左側(cè)， ∴ B（﹣ 4， 0）， C（ 2， 0）， 當 x=0 時，得： y=﹣ 2，即 E（ 0，﹣ 2）， ∴ S△ BCE= 62=6； ②由拋物線解析式 y= （ x﹣ 2）（ x+4），得對稱軸為直線 x=﹣ 1， 根據(jù) C 與 B 關(guān)于拋物線對稱軸直線 x=﹣ 1 對稱，連接 BE，與對稱軸交于點 H，即為所求， 設(shè)直線 BE 解析式為 y=kx+b， 將 B（﹣ 4， 0）與 E（ 0，﹣ 2）代入得： ， 解得： ， ∴ 直線 BE 解析式為 y=﹣ x﹣ 2， 將 x=﹣ 1 代入得： y= ﹣ 2=﹣ ， 則 H（﹣ 1，﹣ ）． 點評： 此題屬于二次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，拋物線與坐標軸的交點，對稱的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵． 12．（ 2021?蘇州）如圖，已知拋物線 y= x2+bx+c（ b， c 是常數(shù)，且 c＜ 0）與 x 軸分別交于點 A、 B（點 A位于點 B 的左側(cè)），與 y 軸的負半軸交于點 C，點 A 的坐標為（﹣ 1， 0）． （ 1） b= +c ，點 B 的橫坐標為 ﹣ 2c （上述結(jié)果均用含 c 的代數(shù)式表示）； （ 2）連接 BC，過點 A 作直線 AE∥ BC，與拋物線 y= x2+bx+c 交于點 E，點 D 是 x 軸上的一點，其坐標為（ 2， 0）．當 C， D， E 三點在同一直線上時，求拋物線的解析式； （ 3）在（ 2）條件下，點 P 是 x 軸下方的拋物線上的一個動點，連接 PB， PC，設(shè)所得 △ PBC 的面積為 S． ①求 S 的取值范圍； ②若 △ PBC 的面積 S 為整數(shù)，則這樣的 △ PBC 共有 11 個． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）將 A（﹣ 1， 0）代入 y= x2+bx+c，可以得出 b= +c；根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得出﹣ 1?xB= ，即 xB=﹣ 2c； （ 2）由 y= x2+bx+c，求出此拋物線與 y 軸的交點 C 的坐標為（ 0， c），則可設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+c，將 B 點坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式為 y= x+c；由 AE∥ BC，設(shè)直線 AE 得到解析式為 y= x+m，將點 A 的坐標代入，運用待定系數(shù)法求出直線 AE 得到解析式為 y= x+ ；解方程組，求出點 E坐標為（ 1﹣ 2c， 1﹣ c），將點 E坐標代入直線 CD的解析式 y=﹣ x+c，求出 c=﹣ 2，進而得到拋物線的解析式為 y= x2﹣ x﹣ 2； （ 3） ①分兩種情況進行討論：（ Ⅰ ）當﹣ 1＜ x＜ 0 時，由 0＜ S＜ S△ ACB，易求 0＜ S＜ 5；（ Ⅱ ）當 0＜ x＜ 4時，過點 P 作 PG⊥ x 軸于點 G，交 CB 于點 F．設(shè)點 P 坐標為（ x， x2﹣ x﹣ 2），則點 F 坐標為（ x， x﹣ 2）， PF=PG﹣ GF=﹣ x2+2x， S= PF?OB=﹣ x2+4x=﹣（ x﹣ 2） 2+4，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出 S 最大值 =4，即 0＜ S≤4．則 0＜ S＜ 5； ②由 0＜ S＜ 5， S 為整數(shù)，得出 S=1， 2， 3， 4．分兩種情況進行討論：（ Ⅰ ）當﹣ 1＜ x＜ 0 時，根據(jù) △ PBC中 BC 邊上的高 h 小于 △ ABC 中 BC 邊上的高 AC= ，得出滿足條件的 △ PBC 共有 4 個；（ Ⅱ ）當 0＜ x ＜ 4 時，由于 S=﹣ x2+4x，根據(jù)一元二次方程根的判別式，得出滿足條件的 △ PBC 共有 7 個；則滿足條件的 △ PBC 共有 4+7=11 個． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y= x2+bx+c 過點 A（﹣ 1， 0）， ∴ 0= （﹣ 1） 2+b（﹣ 1） +c， ∴ b= +c， ∵ 拋物線 y= x2+bx+c 與 x 軸分別交于點 A（﹣ 1， 0）、 B（ xB， 0）（點 A 位于點 B 的左側(cè)）， ∴ ﹣ 1 與 xB是一元二次方程 x2+bx+c=0 的兩個根， ∴ ﹣ 1?xB= ， ∴ xB=﹣ 2c，即點 B 的橫坐標為﹣ 2c； （ 2） ∵ 拋物線 y= x2+bx+c 與 y 軸的負半軸交于點 C， ∴ 當 x=0 時， y=c，即點 C 坐標為（ 0， c）． 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+c， ∵ B（﹣ 2c， 0）， ∴ ﹣ 2kc+c=0， ∵ c≠0， ∴ k= ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y= x+c． ∵ AE∥ BC， ∴ 可設(shè)直線 AE 得到解析式為 y= x+m， ∵ 點 A 的坐標為（﹣ 1， 0）， ∴ （﹣ 1） +m=0，解得 m= ， ∴ 直線 AE 得到解析式為 y= x+ ． 由 ，解得 ， ， ∴ 點 E 坐標為（ 1﹣ 2c， 1﹣ c）． ∵ 點 C 坐標為（ 0， c），點 D 坐標為（ 2， 0）， ∴ 直線 CD 的解析式為 y=﹣ x+c． ∵ C， D， E 三點在同一直線上， ∴ 1﹣ c=﹣ （ 1﹣ 2c） +c， ∴ 2c2+3c﹣ 2=0， ∴ c1= （與 c＜ 0 矛盾，舍去）， c2=﹣ 2， ∴ b= +c=﹣ ， ∴ 拋物線的解析式為 y= x2﹣ x﹣ 2； （ 3） ①設(shè)點 P 坐標為（ x， x2﹣ x﹣ 2）． ∵ 點 A 的坐標為（﹣ 1， 0），點 B 坐標為（ 4， 0），點 C 坐標為（ 0，﹣ 2）， ∴ AB=5， OC=2，直線 BC 的解析式為 y= x﹣ 2． 分兩種情況： （ Ⅰ ）當﹣ 1＜ x＜ 0 時， 0＜ S＜ S△ ACB． ∵ S△ ACB= AB?OC=5， ∴ 0＜ S＜ 5； （ Ⅱ ）當 0＜ x＜ 4 時，過點 P 作 PG⊥ x 軸于點 G，交 CB 于點 F． ∴ 點 F 坐標為（ x， x﹣ 2）， ∴ PF=PG﹣ GF=﹣（ x2﹣ x﹣ 2） +（ x﹣ 2） =﹣ x2+2x， ∴ S=S△ PFC+S△ PFB= PF?OB= （﹣ x2+2x） 4=﹣ x2+4x=﹣（ x﹣ 2） 2+4， ∴ 當 x=2 時， S 最大值 =4， ∴ 0＜ S≤4． 綜上可知 0＜ S＜ 5； ②∵ 0＜ S＜ 5， S 為整數(shù)， ∴ S=1， 2， 3， 4． 分兩種情況： （ Ⅰ ）當﹣ 1＜ x＜ 0 時，設(shè) △ PBC 中 BC 邊上的高為 h． ∵ 點 A 的坐標為（﹣ 1， 0），點 B 坐標為（ 4， 0），點 C 坐標為（ 0，﹣ 2）， ∴ AC2=1+4=5， BC2=16+4=20， AB2=25， ∴ AC2+BC2=AB2， ∠ ACB=90176。 ∠ BOA=30176。過 C 作 CD⊥ x 軸于 D，即可根據(jù) ∠ COD 的度數(shù)和 OC 的長求得 CD、 OD 的值，從而求出點 C、 A 的坐標，將 A、 C、 O 的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組即可求出待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式． （ 2）求出直線 BO 的解析式，進而利用 x= 求出 y 的值，即可得出 D 點坐標； （ 3）根據(jù)（ 1）所得拋物線的解析式可得到其頂點的坐標（即 C 點），設(shè)直線 MP 與 x 軸的交點為 N，且PN=t，在 Rt△ OPN 中，根據(jù) ∠ PON 的度數(shù)，易得 PN、 ON 的長 ，即可得到點 P 的坐標，然后根據(jù)點 P 的橫坐標和拋物線的解析式可求得 M 點的縱坐標，過 M 作 MF⊥ CD（即拋物線對稱軸）于 F，過 P 作 PQ⊥ CD于 Q，若 PD=CM，那么 CF=QD，根據(jù) C、 M、 P、 D 四點縱坐標，易求得 CF、 QD 的長，聯(lián)立兩式即可求出此時 t 的值，從而求得點 P 的坐標． 解答： 解：（ 1）過點 C 作 CH⊥ x 軸，垂足為 H； ∵ 在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。 OA= ， ∴ OB= =4， AB=2； 由折疊的性質(zhì)知： ∠ COB=30176。 OH= ， CH=3； ∴ C 點坐標為（ ， 3）． ∵ O 點坐標為：（ 0， 0）， ∴ 拋物線解析式為 y=ax2+bx（ a≠0）， ∵ 圖象經(jīng)過 C（ ， 3）、 A（ 2 ， 0）兩點， ∴ ， 解得 ； ∴ 此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為： y=﹣ x2+2 x． （ 2） ∵ AO=2 ， AB=2， ∴ B 點坐標為：（ 2 ， 2）， ∴ 設(shè)直線 BO 的解析式為： y=kx， 則 2=2 k， 解得： k= ， ∴ y= x， ∵ y=﹣ x2+2 x 的對稱軸為直線 x=﹣ =﹣ = ， ∴ 將兩函數(shù)聯(lián)立得出： y= =1， ∴ 拋物線的對稱軸與線段 OB 交點 D 的坐標為：（ ， 1）； （ 3）存在． ∵ y=﹣ x2+2 x 的頂點坐標為（ ， 3）， 即為點 C， MP⊥ x 軸，垂足為 N，設(shè) PN=t； ∵∠ BOA=30176。1， ∴ 二次函數(shù)的解析式為： y=x2﹣ 2x 或 y=x2+2x； （ 2） ∵ m=2， ∴ 二次函數(shù) y=x2﹣ 2mx+m2﹣ 1 得： y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 拋物線的頂點為： D（ 2，﹣ 1）， 當 x=0 時， y=3， ∴ C 點坐標為：（ 0， 3）； （ 3）當 P、 C、 D 共線時 PC+PD 最短， 過點 D 作 DE⊥ y 軸于點 E， ∵ PO∥ DE， ∴ = ， ∴ = ， 解得：