【正文】 ， 由勾股定理得 BC= ∴ BC= ， ∴ BM= ∴ M 點坐標（ 點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，第一問考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，較為簡單．第二問結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強． 15．（ 2021?茂名）如圖，拋物線 與 x 軸交于點 A 和點 B，與 y 軸交于點 C，已知點 B 的坐標為（ 3， 0）． （ 1）求 a 的值和拋物線 的頂點坐標； （ 2）分別連接 AC、 BC．在 x 軸下方的拋物線上求一點 M，使 △ AMC 與 △ ABC 的面積相等； （ 3）設(shè) N 是拋物線對稱軸上的一個動點， d=|AN﹣ CN|．探究：是否存在一點 N，使 d 的值最大？若存在，請直接寫出點 N 的坐標和 d 的最大值；若不存在，請簡單說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）先把點 B 的坐標代入 y=ax2﹣ x+2，可求得 a 的值，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標； （ 2）先由拋物線的解析式 y=﹣ x2﹣ x+2，求出 與 x 軸的交點 A 的坐標，與 y 軸的交點 C 的坐標，再由△ AMC 與 △ ABC 的面積相等，得出這兩個三角形 AC 邊上的高相等，又由點 B 與點 M 都在 AC 的下方，得出 BM∥ AC，則點 M 既在過 B 點與 AC 平行的直線上，又在拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 上，所以先運用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式為 y= x+2，再設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n，將點 B（ 3， 0）代入，求出 n 的值，得到直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1，然后解方程組 ，即可求出點 M 的坐標； （ 3）連接 BC 并延長，交拋物線的對稱軸 x=﹣ 于點 N，連接 AN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得 出 AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大．運用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式，再將 x=﹣ 代入，求出 y 的值，得到點 N 的坐標，然后利用勾股定理求出 d 的最大值 BC 即可． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2﹣ x+2 經(jīng)過點 B（ 3， 0）， ∴ 9a﹣ 3+2=0， 解得 a=﹣ ， ∴ y=﹣ x2﹣ x+2， ∵ y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （ x2+3x） +2=﹣ （ x+ ） 2+ ， ∴ 頂點坐標為（﹣ ， ）； （ 2） ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 的對稱軸為直線 x=﹣ ， 與 x 軸交于點 A 和點 B，點 B 的坐標為（ 3， 0）， ∴ 點 A 的坐標為（﹣ 6， 0）． 又 ∵ 當 x=0 時， y=2， ∴ C 點坐標為（ 0， 2）． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b， 則 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y= x+2． ∵ S△ AMC=S△ ABC， ∴ 點 B 與點 M 到 AC 的距離相等， 又 ∵ 點 B 與點 M 都在 AC 的下方， ∴ BM∥ AC， 設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n， 將點 B（ 3， 0）代入，得 3+n=0， 解得 n=﹣ 1， ∴ 直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1． 由 ，解得 ， ， ∴ M 點的坐標 是（﹣ 9，﹣ 4）； （ 3）在拋物線對稱軸上存在一點 N，能夠使 d=|AN﹣ CN|的值最大．理由如下： ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 與 x 軸交于點 A 和點 B， ∴ 點 A 和點 B 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱． 連接 BC 并延長，交直線 x=﹣ 于點 N，連接 AN，則 AN=BN，此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大． 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+t，將 B（ 3， 0）， C（ 0， 2）兩點的坐標代入， 得 ， ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+2， 當 x=﹣ 時， y=﹣ （﹣ ） +2=3， ∴ 點 N 的坐標為（﹣ ， 3）， d 的最大值為 BC= = ． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，軸對稱的性質(zhì)等知識，難度適中．其中第（ 2）小題根據(jù)三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)得出 BM∥ AC 是關(guān)鍵，第（ 3）小題根據(jù)軸對稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點 N 的位置是關(guān)鍵． 16．（ 2021?瀘州）如圖，在直角坐標系中，點 A 的坐標為（﹣ 2， 0），點 B 的坐標為（ 1，﹣ ），已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）經(jīng)過三點 A、 B、 O（ O 為原點）． （ 1）求拋物線的解析 式； （ 2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點 C，使 △ BOC 的周長最小？若存在，求出點 C 的坐標；若不存在，請說明理由； （ 3）如果點 P 是該拋物線上 x 軸上方的一個動點，那么 △ PAB 是否有最大面積？若有，求出此時 P 點的坐標及 △ PAB 的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號） 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）直接將 A、 O、 B 三點坐標代入拋物線解析式的一般式，可求解析式； （ 2）因為點 A， O 關(guān)于對稱軸對稱，連接 AB 交對稱軸于 C 點， C 點即為所求，求直線 AB 的解析式，再根據(jù) C 點的橫坐標值，求縱坐標； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0），用割補法可表示 △ PAB 的面積，根據(jù)面積表達式再求取最大值時，x 的值． 解答： 解：（ 1）將 A（﹣ 2， 0）， B（ 1，﹣ ）， O（ 0， 0）三點的坐標代入 y=ax2+bx+c（ a≠0）， 可得： ， 解得： ， 故所求拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ x； （ 2）存在．理由如下： 如答圖 ①所示， ∵ y=﹣ x2﹣ x=﹣ （ x+1） 2+ ， ∴ 拋物線的對稱軸為 x=﹣ 1． ∵ 點 C 在對稱軸 x=﹣ 1 上， △ BOC 的周長 =OB+BC+CO； ∵ OB=2，要使 △ BOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小， ∵ 點 O 與點 A 關(guān)于直線 x=﹣ 1 對稱，有 CO=CA， △ BOC 的周長 =OB+BC+CO=OB+BC+CA， ∴ 當 A、 C、 B 三點共線，即點 C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點時， BC+CA 最小，此時 △ BOC 的周長最小． 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+t，則有： ，解得： ， ∴ 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x﹣ ， 當 x=﹣ 1 時， y=﹣ ， ∴ 所求點 C 的坐標為（﹣ 1，﹣ ）； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0）， 則 y=﹣ x2﹣ x ① 如答圖 ②所示，過點 P 作 PQ⊥ y軸于點 Q， PG⊥ x軸于點 G，過點 A作 AF⊥ PQ軸于點 F，過點 B作 BE⊥ PQ軸于點 E，則 PQ=﹣ x， PG=﹣ y， 由題意可得： S△ PAB=S 梯形 AFEB﹣ S△ AFP﹣ S△ BEP = （ AF+BE） ?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE = （ y+ +y）（ 1+2）﹣ y?（ 2+x）﹣ （ 1﹣ x）（ +y） = y+ x+ ② 將 ①代入 ②得： S△ PAB= （﹣ x2﹣ x） + x+ =﹣ x2﹣ x+ =﹣ （ x+ ） 2+ ∴ 當 x=﹣ 時， △ PAB 的面積最大，最大值為 ， 此時 y=﹣ + = ， ∴ 點 P 的坐標為（﹣ ， ）． 點評： 本題考查了坐標系中點的坐標求法，拋物線解析式的求法，根據(jù)對稱性求線段和最小的問題，也考查了在坐標系里表示面積及求面積最大值等問題；解答本題（ 3）也可以將直線 AB 向下平移至與拋物線相切的位置，聯(lián)立此時的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點 P 的坐標． 17．（ 2021?六盤水）已知．在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。 ∴∠ ADM=90176。 ∠ OAB+∠ CAD=90176。 A（ 1， 0）， B（ 0， 2），拋物線 y= x2+bx﹣ 2 的圖象過 C 點． （ 1）求拋物線的解析 式； （ 2）平移該拋物線的對稱軸所在直線 l．當 l移動到何處時，恰好將 △ ABC 的面積分為相等的兩部分？ （ 3）點 P 是拋物線上一動點，是否存在點 P，使四邊形 PACB 為平行四邊形？若存在，求出 P 點坐標；若不存在，說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： 如解答圖所示： （ 1）首先構(gòu)造全等三角形 △ AOB≌△ CDA，求出點 C 的坐標；然后利用點 C 的坐標求出拋物線的解析式； （ 2）首先求出直線 BC 與 AC 的解析式，設(shè)直線 l與 BC、 AC 交于點 E、 F，則可求出 EF 的表達式；根據(jù)S△ CEF= S△ ABC，列出方程求出直線 l的解析式； （ 3）首先作出 ?PACB，然后證明點 P 在拋物線上即可． 解答： 解：（ 1）如答圖 1 所示，過點 C 作 CD⊥ x 軸于點 D，則 ∠ CAD+∠ ACD=90176。求出兩直線間的距離，再求出 AC 間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+3 經(jīng)過點 A（ 1， 0），點 C（ 4， 3）， ∴ ， 解得 ， 所以，拋物線的解析式為 y=x2﹣ 4x+3； （ 2） ∵ 點 A、 B 關(guān)于對稱軸對稱， ∴ 點 D 為 AC 與對稱軸的交點時 △ BCD 的周長最小， 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， 則 ， 解得 ， 所以，直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∵ y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 拋 物線的對稱軸為直線 x=2， 當 x=2 時， y=2﹣ 1=1， ∴ 拋物線對稱軸上存在點 D（ 2， 1），使 △ BCD 的周長最小； （ 3）如圖，設(shè)過點 E 與直線 AC 平行線的直線為 y=x+m， 聯(lián)立 ， 消掉 y 得， x2﹣ 5x+3﹣ m=0， △ =（﹣ 5） 2﹣ 41（ 3﹣ m） =0， 即 m=﹣ 時，點 E 到 AC 的距離最大， △ ACE 的面積最大， 此時 x= ， y= ﹣ =﹣ ， ∴ 點 E 的坐標為（ ，﹣ ）， 設(shè)過點 E 的直線與 x 軸交點為 F，則 F（ ， 0）， ∴ AF= ﹣ 1= ， ∵ 直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∴∠ CAB=45176。 ∴△ EBD 為等腰直角三角形， BE= BD=6， ∵ B（ 5， 0）， ∴ E（﹣ 1， 0）， 設(shè)直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x+t， 將 E（﹣ 1， 0）代入，得 1+t=0，解得 t=﹣ 1 ∴ 直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1． 解方程組 ，得 ， ， ∴ 點 P 的坐標為 P1（ 2，﹣ 3）（與點 D 重合）或 P2（ 3，﹣ 4）． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識點，綜合性較強，考查學(xué)生運用方程組、數(shù)形結(jié)合的思想方法．（ 2）中弄清線段 MN 長度的函數(shù)意義是關(guān)鍵，（ 3）中確定 P 與 Q 的位置是關(guān)鍵． 2．（ 2021?重慶）如圖，對稱軸為直線 x=﹣ 1 的拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）與 x 軸相交于 A、 B 兩點，其中點 A 的坐標為（﹣ 3， 0）． （ 1）求點 B 的坐標； （ 2）已知 a=1， C 為拋物線與 y 軸的交點． ①若點 P 在拋物線上，且 S△ POC=4S△ BOC．求點 P 的坐標； ②設(shè)點 Q 是線段 AC 上的動點，作 QD⊥ x 軸交拋物線于點 D，求線段 QD 長度的最大值． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）由拋物線 y=ax2+bx+c 的對稱軸為直線 x=﹣ 1，交 x 軸于 A、 B 兩點，其中 A 點的坐標為（﹣ 3， 0），根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，即 可求得 B 點的坐標； （ 2） ①a=1 時，先由對稱軸為直線 x=﹣ 1，求出 b 的值，再將 B（ 1， 0）代入，求出二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x﹣ 3，得到 C 點坐標，然后設(shè) P 點坐標為（ x， x2+2x﹣ 3），根據(jù) S△ POC=4S△ BOC列出關(guān)于 x 的方程，解方程求出 x 的值，進而得到點 P 的坐標； ②先運用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3，再設(shè) Q 點坐標為（ x，﹣ x﹣ 3），則 D 點坐標為（ x，