【正文】 x2+2x﹣ 3），然后用含 x 的代數(shù)式表示 QD，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出線段 QD 長度的最大值． 解答： 解：（ 1） ∵ 對稱軸為直線 x=﹣ 1 的拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）與 x 軸相交于 A、 B 兩點， ∴ A、 B 兩點關(guān)于直線 x=﹣ 1 對稱， ∵ 點 A 的坐標(biāo)為（﹣ 3， 0）， ∴ 點 B 的坐標(biāo)為（ 1， 0）； （ 2） ①a=1 時， ∵ 拋物線 y=x2+bx+c 的對稱軸為直線 x=﹣ 1， ∴ =﹣ 1，解得 b=2． 將 B（ 1， 0）代入 y=x2+2x+c， 得 1+2+c=0，解得 c=﹣ 3． 則二次函數(shù)的解析式為 y=x2+2x﹣ 3， ∴ 拋物線與 y 軸的交點 C 的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 3）， OC=3． 設(shè) P 點坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3）， ∵ S△ POC=4S△ BOC， ∴ 3|x|=4 31， ∴ |x|=4， x=177。 中考復(fù)習(xí) 25題專題訓(xùn)練 (含詳細(xì)解答 ) 一．解答題（共 30小題） 1．（ 2021?重慶）如圖，已知拋物線 y=x2+bx+c 的圖象與 x 軸的一個交點為 B（ 5， 0），另一個交點為 A，且與 y 軸交于點 C（ 0， 5）． （ 1）求直線 BC 與拋物線的解析式； （ 2）若點 M 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動點，過點 M 作 MN∥ y 軸交直線 BC 于點 N，求 MN 的最大值； （ 3）在（ 2）的條件下， MN 取得最大值時，若點 P 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點，以 BC 為邊作平行四邊形 CBPQ，設(shè)平行四邊形 CBPQ 的面積為 S1， △ ABN 的面積為 S2，且 S1=6S2，求點 P 的坐標(biāo)． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+n，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點的坐標(biāo)代入，運用待定系數(shù)法即可求出直線 BC 的解析式；同理，將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點 ∑的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c，運用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （ 2） MN 的長是直線 BC 的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個關(guān)于 MN 的長和 M 點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 MN 的最大值； （ 3）先求出 △ ABN 的面積 S2=5，則 S1=6S2=30．再設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出 BD=3 ，過點 D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點 P，交 x 軸于點 E，在直線DE 上截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ 為平行四邊形．證明 △ EBD 為等腰直角三角形，則 BE= BD=6，求出 E 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 0），運用待定系數(shù)法求出直線 PQ 的解析式為 y=﹣ x﹣ 1，然后解方程組，即可求出點 P 的坐標(biāo)． 解答： 解：（ 1）設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+n， 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點的坐標(biāo)代入， 得 ，解得 ， 所以直 線 BC 的解析式為 y=﹣ x+5； 將 B（ 5， 0）， C（ 0， 5）兩點的坐標(biāo)代入 y=x2+bx+c， 得 ，解得 ， 所以拋物線的解析式為 y=x2﹣ 6x+5； （ 2）設(shè) M（ x， x2﹣ 6x+5）（ 1＜ x＜ 5），則 N（ x，﹣ x+5）， ∵ MN=（﹣ x+5）﹣（ x2﹣ 6x+5） =﹣ x2+5x=﹣（ x﹣ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x= 時， MN 有最大值 ； （ 3） ∵ MN 取得最大值時， x=， ∴ ﹣ x+5=﹣ +5=，即 N（ ， ）． 解方程 x2﹣ 6x+5=0，得 x=1 或 5， ∴ A（ 1， 0）， B（ 5， 0）， ∴ AB=5﹣ 1=4， ∴△ ABN 的面積 S2= 4=5， ∴ 平行四邊形 CBPQ 的面積 S1=6S2=30． 設(shè)平行四邊形 CBPQ 的邊 BC 上的高為 BD，則 BC⊥ BD． ∵ BC=5 ， ∴ BC?BD=30， ∴ BD=3 ． 過點 D 作直線 BC 的平行線，交拋物線與點 P，交 x 軸于點 E，在直線 DE 上截取 PQ=BC，則四邊形 CBPQ為平行四邊形． ∵ BC⊥ BD， ∠ OBC=45176。 ∴∠ EBD=45176。4． 當(dāng) x=4 時， x2+2x﹣ 3=16+8﹣ 3=21； 當(dāng) x=﹣ 4 時， x2+2x﹣ 3=16﹣ 8﹣ 3=5． 所以點 P 的坐標(biāo)為（ 4， 21）或（﹣ 4， 5）； ②設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+t，將 A（﹣ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3）代入， 得 ，解得 ， 即直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3． 設(shè) Q 點坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3）（﹣ 3≤x≤0），則 D 點坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3）， QD=（﹣ x﹣ 3）﹣（ x2+2x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x=﹣（ x+ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時， QD 有最 大值 ． 點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想． 3．（ 2021?雅安）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線 l， l與 x 軸交于點 H． （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）若點 P 是該拋物線對稱軸 l上的一個動點，求 △ PBC 周長的最小值； （ 3）如圖（ 2），若 E 是線段 AD 上的一個動點（ E 與 A、 D 不重合），過 E 點作平行 于 y 軸的直線交拋物線于點 F，交 x 軸于點 G，設(shè)點 E 的橫坐標(biāo)為 m， △ ADF 的面積為 S． ①求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點 E 的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可； （ 2）根據(jù) BC 是定值，得到當(dāng) PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小，根據(jù)點的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可； （ 3）設(shè)點 E 的橫坐標(biāo)為 m，表示出 E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3），最后表示出 EF 的長，從而表示出 S 于 m 的函數(shù)關(guān)系，然后求二次函數(shù)的最值即可． 解答： 解：（ 1）由題意可知： 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y=﹣ x2﹣ 2x+3； （ 2） ∵△ PBC 的周長為： PB+PC+BC ∵ BC 是定值， ∴ 當(dāng) PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小， ∵ 點 A、點 B 關(guān)于對稱軸 I 對稱， ∴ 連接 AC 交 l于點 P，即點 P 為所求的點 ∵ AP=BP ∴△ PBC 的周長最小是： PB+PC+BC=AC+BC ∵ A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）， ∴ AC=3 ， BC= ； 故 △ PBC 周長的 最小值為 3 + ． （ 3） ①∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ 2x+3 頂點 D 的坐標(biāo)為（﹣ 1， 4） ∵ A（﹣ 3， 0） ∴ 直線 AD 的解析式為 y=2x+6 ∵ 點 E 的橫坐標(biāo)為 m， ∴ E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3） ∴ EF=﹣ m2﹣ 2m+3﹣（ 2m+6） =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 ∴ S=S△ DEF+S△ AEF = EF?GH+ EF?AG = EF?AH = （﹣ m2﹣ 4m﹣ 3） 2 =﹣ m2﹣ 4m﹣ 3； ②S=﹣ m2﹣ 4m﹣ 3 =﹣（ m+2） 2+1； ∴ 當(dāng) m=﹣ 2 時， S 最大，最大值為 1 此時點 E 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 2）． 點評： 此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)的最值，根據(jù)點的坐標(biāo)表示出線段的長是表示出三角形的面積的基礎(chǔ)． 4．（ 2021?新疆）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+3 與 x 軸交于 A、 B 兩點，過點 A 的直線 l與拋物線交于點C，其中 A 點的坐標(biāo)是（ 1， 0）， C 點坐標(biāo)是（ 4， 3）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在（ 1）中拋物線的對稱軸上是否存在點 D，使 △ BCD 的周長最??？若存在，求出點 D 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由； （ 3）若點 E 是（ 1）中拋物線上的一個動點，且位于直線 AC 的下方，試求 △ ACE 的最大面積及 E 點的坐標(biāo)． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 代數(shù)幾何綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答即可； （ 2）利用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式，然后根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，直線 AC 與對稱軸的交點即為所求點 D； （ 3）根據(jù)直線 AC 的解析式，設(shè)出過點 E 與 AC 平行的直線，然后與拋物線解析式聯(lián)立消掉 y 得到關(guān)于 x的一元二次方程，利用根的判別式 △ =0 時， △ ACE 的面積最大，然后求出此時與 AC 平行的直線，然后求出點 E 的坐標(biāo)，并求出該直線與 x 軸的交點 F 的坐 標(biāo)，再求出 AF，再根據(jù)直線 l與 x 軸的夾角為 45176。 ∴ 點 F 到 AC 的距離為 = ， 又 ∵ AC= =3 ， ∴△ ACE 的最大面積 = 3 = ，此時 E 點坐標(biāo)為（ ，﹣ ）． 點評： 本題考查了二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，利用軸對稱確定最短路線問題，聯(lián)立兩函數(shù)解析式求交點坐標(biāo)，利用平行線確定點到直線的最大距離問題． 5．（ 2021?湘潭）如圖，在坐標(biāo)系 xOy 中， △ ABC 是等腰直角三角形， ∠ BAC=90176。． ∵∠ OBA+∠ OAB=90176。 ∴∠ OAB=∠ ACD， ∠ OBA=∠ CAD． ∵ 在 △ AOB 與 △ CDA 中， ∴△ AOB≌△ CDA（ ASA）． ∴ CD=OA=1， AD=OB=2， ∴ OD=OA+AD=3， ∴ C（ 3， 1）． ∵ 點 C（ 3， 1）在拋物線 y= x2+bx﹣ 2 上， ∴ 1= 9+3b﹣ 2，解得： b=﹣ ． ∴ 拋物線的解析式為： y= x2﹣ x﹣ 2． （ 2）在 Rt△ AOB 中， OA=1， OB=2，由勾股定理得： AB= ． ∴ S△ ABC= AB2= ． 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=kx+b， ∵ B（ 0， 2）， C（ 3， 1）， ∴ ， 解得 k=﹣ ， b=2， ∴ y=﹣ x+2． 同理求得直線 AC 的解析式為： y= x﹣ ． 如答圖 1 所示， 設(shè)直線 l與 BC、 AC 分別交于點 E、 F，則 EF=（﹣ x+2）﹣（ x﹣ ） = ﹣ x． △ CEF 中， EF 邊上的高 h=OD﹣ x=3﹣ x． 由題意得： S△ CEF= S△ ABC， 即： EF?h= S△ ABC， ∴ （ ﹣ x） ?（ 3﹣ x） = ， 整理得：（ 3﹣ x） 2=3， 解得 x=3﹣ 或 x=3+ （不合題意，舍去）， ∴ 當(dāng)直線 l解析式為 x=3﹣ 時，恰好將 △ ABC 的面積分為相等的兩部分． （ 3）存在． 如答圖 2 所示， 過點 C 作 CG⊥ y 軸于點 G，則 CG=OD=3， OG=1， BG=OB﹣ OG=1． 過點 A 作 AP∥ BC，且 AP=BC，連接 BP，則四邊形 PACB 為平行四邊形． 過點 P 作 PH⊥ x 軸于點 H，則易證 △ PAH≌△ BCG， ∴ PH=BG=1， AH=CG=3， ∴ OH=AH﹣ OA=2， ∴ P（﹣ 2， 1）． 拋物線解析式為： y= x2﹣ x﹣ 2，當(dāng) x=﹣ 2 時， y=1，即點 P 在拋物線上． ∴ 存在符合條件的點 P，點 P 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 1）． 點評： 本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、全等三角形、平行四邊形、等腰直角三角形等知識點．試題難度不大，但需要仔細(xì)分析，認(rèn)真計算． 6．（ 2021?梧州）如圖，拋物線 y=a（ x﹣ h） 2+k 經(jīng)過點 A（ 0， 1），且頂點坐標(biāo)為 B（ 1， 2），它的對稱軸與 x 軸交于點 C． （ 1）求此拋物線的 解析式． （ 2）在第一象限內(nèi)的拋物線上求點 P，使得 △ ACP 是以 AC 為底的等腰三角形，請求出此時點 P 的坐標(biāo)． （ 3）上述點是否是第一象限內(nèi)此拋物線上與 AC 距離最遠(yuǎn)的點？若是，請說明理由；若不是，請求出第一象限內(nèi)此拋物線上與 AC 距離最遠(yuǎn)的點