【正文】 寧夏）如圖，拋物線與 x 軸交于 A、 B 兩點，與 y 軸交 C 點，點 A 的坐標(biāo)為（ 2， 0），點 C 的坐標(biāo)為（ 0， 3）它的對稱軸是直線 x= （ 1）求拋物線的解析式； （ 2） M 是線段 AB 上的任意一點，當(dāng) △ MBC 為等腰三角形時，求 M 點的坐標(biāo)． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題． 分析： （ 1）根據(jù)拋物線的對稱軸得到拋物線的頂點式，然后代入已知的兩點理由待定系數(shù)法求解即可； （ 2）首先求得點 B 的坐標(biāo)，然后分 CM=BM 時和 BC=BM 時兩種情況根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求得點 M 的坐標(biāo)即可． 解答： 解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式 把 A（ 2， 0） C（ 0， 3）代入得： 解得： ∴ 即 （ 2）由 y=0 得 ∴ x1=2， x2=﹣ 3 ∴ B（﹣ 3， 0） ①CM=BM 時 ∵ BO=CO=3 即 △ BOC 是等腰直角三角形 ∴ 當(dāng) M 點在原點 O 時， △ MBC 是等腰三角形 ∴ M 點坐標(biāo)（ 0， 0） ②BC=BM 時 在 Rt△ BOC 中， BO=CO=3， 由勾股定理得 BC= ∴ BC= ， ∴ BM= ∴ M 點坐標(biāo)（ 點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，第一問考查了待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式，較為簡單．第二問結(jié)合二次函數(shù)的圖象考查了等腰三角形的性質(zhì)，綜合性較強． 15．（ 2021?茂名）如圖，拋物線 與 x 軸交于點 A 和點 B，與 y 軸交于點 C，已知點 B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）． （ 1）求 a 的值和拋物線 的頂點坐標(biāo)； （ 2）分別連接 AC、 BC．在 x 軸下方的拋物線上求一點 M，使 △ AMC 與 △ ABC 的面積相等； （ 3）設(shè) N 是拋物線對稱軸上的一個動點， d=|AN﹣ CN|．探究：是否存在一點 N，使 d 的值最大？若存在，請直接寫出點 N 的坐標(biāo)和 d 的最大值；若不存在，請簡單說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）先把點 B 的坐標(biāo)代入 y=ax2﹣ x+2，可求得 a 的值，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標(biāo)； （ 2）先由拋物線的解析式 y=﹣ x2﹣ x+2，求出 與 x 軸的交點 A 的坐標(biāo)，與 y 軸的交點 C 的坐標(biāo)，再由△ AMC 與 △ ABC 的面積相等，得出這兩個三角形 AC 邊上的高相等，又由點 B 與點 M 都在 AC 的下方，得出 BM∥ AC，則點 M 既在過 B 點與 AC 平行的直線上，又在拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 上，所以先運用待定系數(shù)法求出直線 AC 的解析式為 y= x+2，再設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n，將點 B（ 3， 0）代入，求出 n 的值，得到直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1，然后解方程組 ，即可求出點 M 的坐標(biāo)； （ 3）連接 BC 并延長，交拋物線的對稱軸 x=﹣ 于點 N，連接 AN，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得 出 AN=BN，并且根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大．運用待定系數(shù)法求出直線 BC 的解析式，再將 x=﹣ 代入，求出 y 的值，得到點 N 的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出 d 的最大值 BC 即可． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2﹣ x+2 經(jīng)過點 B（ 3， 0）， ∴ 9a﹣ 3+2=0， 解得 a=﹣ ， ∴ y=﹣ x2﹣ x+2， ∵ y=﹣ x2﹣ x+2=﹣ （ x2+3x） +2=﹣ （ x+ ） 2+ ， ∴ 頂點坐標(biāo)為（﹣ ， ）； （ 2） ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 的對稱軸為直線 x=﹣ ， 與 x 軸交于點 A 和點 B，點 B 的坐標(biāo)為（ 3， 0）， ∴ 點 A 的坐標(biāo)為（﹣ 6， 0）． 又 ∵ 當(dāng) x=0 時， y=2， ∴ C 點坐標(biāo)為（ 0， 2）． 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b， 則 ，解得 ， ∴ 直線 AC 的解析式為 y= x+2． ∵ S△ AMC=S△ ABC， ∴ 點 B 與點 M 到 AC 的距離相等， 又 ∵ 點 B 與點 M 都在 AC 的下方， ∴ BM∥ AC， 設(shè)直線 BM 的解析式為 y= x+n， 將點 B（ 3， 0）代入，得 3+n=0， 解得 n=﹣ 1， ∴ 直線 BM 的解析式為 y= x﹣ 1． 由 ，解得 ， ， ∴ M 點的坐標(biāo) 是（﹣ 9，﹣ 4）； （ 3）在拋物線對稱軸上存在一點 N，能夠使 d=|AN﹣ CN|的值最大．理由如下： ∵ 拋物線 y=﹣ x2﹣ x+2 與 x 軸交于點 A 和點 B， ∴ 點 A 和點 B 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱． 連接 BC 并延長，交直線 x=﹣ 于點 N，連接 AN，則 AN=BN，此時 d=|AN﹣ CN|=|BN﹣ CN|=BC 最大． 設(shè)直線 BC 的解析式為 y=mx+t，將 B（ 3， 0）， C（ 0， 2）兩點的坐標(biāo)代入， 得 ， ， ∴ 直線 BC 的解析式為 y=﹣ x+2， 當(dāng) x=﹣ 時， y=﹣ （﹣ ） +2=3， ∴ 點 N 的坐標(biāo)為（﹣ ， 3）， d 的最大值為 BC= = ． 點評： 本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，軸對稱的性質(zhì)等知識，難度適中．其中第（ 2）小題根據(jù)三角形的面積公式及平行線的性質(zhì)得出 BM∥ AC 是關(guān)鍵，第（ 3）小題根據(jù)軸對稱及三角形三邊關(guān)系定理確定點 N 的位置是關(guān)鍵． 16．（ 2021?瀘州）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點 A 的坐標(biāo)為（﹣ 2， 0），點 B 的坐標(biāo)為（ 1，﹣ ），已知拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠0）經(jīng)過三點 A、 B、 O（ O 為原點）． （ 1）求拋物線的解析 式； （ 2）在該拋物線的對稱軸上，是否存在點 C，使 △ BOC 的周長最小？若存在，求出點 C 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由； （ 3）如果點 P 是該拋物線上 x 軸上方的一個動點，那么 △ PAB 是否有最大面積？若有，求出此時 P 點的坐標(biāo)及 △ PAB 的最大面積；若沒有，請說明理由．（注意：本題中的結(jié)果均保留根號） 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 壓軸題． 分析： （ 1）直接將 A、 O、 B 三點坐標(biāo)代入拋物線解析式的一般式，可求解析式； （ 2）因為點 A， O 關(guān)于對稱軸對稱，連接 AB 交對稱軸于 C 點， C 點即為所求，求直線 AB 的解析式，再根據(jù) C 點的橫坐標(biāo)值，求縱坐標(biāo)； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0），用割補法可表示 △ PAB 的面積，根據(jù)面積表達(dá)式再求取最大值時，x 的值． 解答： 解：（ 1）將 A（﹣ 2， 0）， B（ 1，﹣ ）， O（ 0， 0）三點的坐標(biāo)代入 y=ax2+bx+c（ a≠0）， 可得： ， 解得： ， 故所求拋物線解析式為 y=﹣ x2﹣ x； （ 2）存在．理由如下： 如答圖 ①所示， ∵ y=﹣ x2﹣ x=﹣ （ x+1） 2+ ， ∴ 拋物線的對稱軸為 x=﹣ 1． ∵ 點 C 在對稱軸 x=﹣ 1 上， △ BOC 的周長 =OB+BC+CO； ∵ OB=2，要使 △ BOC 的周長最小，必須 BC+CO 最小， ∵ 點 O 與點 A 關(guān)于直線 x=﹣ 1 對稱，有 CO=CA， △ BOC 的周長 =OB+BC+CO=OB+BC+CA， ∴ 當(dāng) A、 C、 B 三點共線，即點 C 為直線 AB 與拋物線對稱軸的交點時， BC+CA 最小，此時 △ BOC 的周長最?。? 設(shè)直線 AB 的解析式為 y=kx+t，則有： ，解得： ， ∴ 直線 AB 的解析式為 y=﹣ x﹣ ， 當(dāng) x=﹣ 1 時， y=﹣ ， ∴ 所求點 C 的坐標(biāo)為（﹣ 1，﹣ ）； （ 3）設(shè) P（ x， y）（﹣ 2＜ x＜ 0， y＞ 0）， 則 y=﹣ x2﹣ x ① 如答圖 ②所示，過點 P 作 PQ⊥ y軸于點 Q， PG⊥ x軸于點 G，過點 A作 AF⊥ PQ軸于點 F，過點 B作 BE⊥ PQ軸于點 E，則 PQ=﹣ x， PG=﹣ y， 由題意可得： S△ PAB=S 梯形 AFEB﹣ S△ AFP﹣ S△ BEP = （ AF+BE） ?FE﹣ AF?FP﹣ PE?BE = （ y+ +y）（ 1+2）﹣ y?（ 2+x）﹣ （ 1﹣ x）（ +y） = y+ x+ ② 將 ①代入 ②得： S△ PAB= （﹣ x2﹣ x） + x+ =﹣ x2﹣ x+ =﹣ （ x+ ） 2+ ∴ 當(dāng) x=﹣ 時， △ PAB 的面積最大，最大值為 ， 此時 y=﹣ + = ， ∴ 點 P 的坐標(biāo)為（﹣ ， ）． 點評： 本題考查了坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)求法，拋物線解析式的求法，根據(jù)對稱性求線段和最小的問題，也考查了在坐標(biāo)系里表示面積及求面積最大值等問題；解答本題（ 3）也可以將直線 AB 向下平移至與拋物線相切的位置，聯(lián)立此時的直線解析式與拋物線解析式，可求唯一交點 P 的坐標(biāo)． 17．（ 2021?六盤水）已知．在 Rt△ OAB 中， ∠ OAB=90176。求出兩直線間的距離，再求出 AC 間的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解． 解答： 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=ax2+bx+3 經(jīng)過點 A（ 1， 0），點 C（ 4， 3）， ∴ ， 解得 ， 所以，拋物線的解析式為 y=x2﹣ 4x+3； （ 2） ∵ 點 A、 B 關(guān)于對稱軸對稱， ∴ 點 D 為 AC 與對稱軸的交點時 △ BCD 的周長最小， 設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+b（ k≠0）， 則 ， 解得 ， 所以，直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∵ y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ 拋 物線的對稱軸為直線 x=2， 當(dāng) x=2 時， y=2﹣ 1=1， ∴ 拋物線對稱軸上存在點 D（ 2， 1），使 △ BCD 的周長最??； （ 3）如圖，設(shè)過點 E 與直線 AC 平行線的直線為 y=x+m， 聯(lián)立 ， 消掉 y 得， x2﹣ 5x+3﹣ m=0， △ =（﹣ 5） 2﹣ 41（ 3﹣ m） =0， 即 m=﹣ 時，點 E 到 AC 的距離最大， △ ACE 的面積最大， 此時 x= ， y= ﹣ =﹣ ， ∴ 點 E 的坐標(biāo)為（ ，﹣ ）， 設(shè)過點 E 的直線與 x 軸交點為 F，則 F（ ， 0）， ∴ AF= ﹣ 1= ， ∵ 直線 AC 的解析式為 y=x﹣ 1， ∴∠ CAB=45176。4． 當(dāng) x=4 時， x2+2x﹣ 3=16+8﹣ 3=21； 當(dāng) x=﹣ 4 時， x2+2x﹣ 3=16﹣ 8﹣ 3=5． 所以點 P 的坐標(biāo)為（ 4， 21）或（﹣ 4， 5）； ②設(shè)直線 AC 的解析式為 y=kx+t，將 A（﹣ 3， 0）， C（ 0，﹣ 3）代入， 得 ，解得 ， 即直線 AC 的解析式為 y=﹣ x﹣ 3． 設(shè) Q 點坐標(biāo)為（ x，﹣ x﹣ 3）（﹣ 3≤x≤0），則 D 點坐標(biāo)為（ x， x2+2x﹣ 3）， QD=（﹣ x﹣ 3）﹣（ x2+2x﹣ 3） =﹣ x2﹣ 3x=﹣（ x+ ） 2+ ， ∴ 當(dāng) x=﹣ 時， QD 有最 大值 ． 點評： 此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形面積、線段長度問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是運用方程思想與數(shù)形結(jié)合思想． 3．（ 2021?雅安）如圖，已知拋物線 y=ax2+bx+c 經(jīng)過 A（﹣ 3， 0）， B（ 1， 0）， C（ 0， 3）三點，其頂點為D，對稱軸是直線 l， l與 x 軸交于點 H． （ 1）求該拋物線的解析式； （ 2）若點 P 是該拋物線對稱軸 l上的一個動點，求 △ PBC 周長的最小值； （ 3）如圖（ 2），若 E 是線段 AD 上的一個動點（ E 與 A、 D 不重合），過 E 點作平行 于 y 軸的直線交拋物線于點 F，交 x 軸于點 G，設(shè)點 E 的橫坐標(biāo)為 m， △ ADF 的面積為 S． ①求 S 與 m 的函數(shù)關(guān)系式； ②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此時點 E 的坐標(biāo)； 若不存在，請說明理由． 考點 ： 二次函數(shù)綜合題． 2364070 專題 ： 綜合題；壓軸題． 分析： （ 1）根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的三點，用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可； （ 2）根據(jù) BC 是定值，得到當(dāng) PB+PC 最小時， △ PBC 的周長最小，根據(jù)點的坐標(biāo)求得相應(yīng)線段的長即可； （ 3）設(shè)點 E 的橫坐標(biāo)為 m，表示出 E（ m， 2m+6）， F（ m，﹣ m2﹣ 2m+3），最后表