20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章31數(shù)乘向量練習(xí)題含答案-資料下載頁
2025-11-19 01:58本頁面
【導(dǎo)讀】若λa＝0(λ∈R)，則λ＝0是否成立？與多項(xiàng)式的運(yùn)算有什么相同之處？若向量a，b不共線，且λa＝μb，則λ，μ的值如何？試一試：教材P87習(xí)題2－3A組T1你會(huì)嗎？①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；④特別地(－λ)a＝－(λa)；解析：選AB→＝－12CD→，所以AB∥CD，且AB＝12CD，＝13a＋43b－43a＋23b＝2b－a.＜－1)上伸長(zhǎng)到|a|的|λ|倍；①當(dāng)a，b中有一個(gè)等于0，或λ＝0或1時(shí)，等式顯然成立；OB→＝a＋b，OB1→＝λa＋λb，由作法知AB→∥A1B1→，所以|A1B1→|＝λ|AB→|，斷共線；向量共線的應(yīng)用是存在實(shí)數(shù)，使兩向量可以互相表示，利用向量共線的條件列式，[解]①原式＝3a－6b＋3c－2c－b＋a＝4a－7b＋c.②原式＝25a－25b－23a－43b＋415a＋2615b＝????－25－43＋2615b＝0×a＋0×b＝0.①原方程可變?yōu)?x＋5a＋3x－3b＝0，②把第一個(gè)方程的左、右兩邊同乘－2，然后與第二個(gè)方程相加，得32y＝－2a＋b，從而y＝－43a＋23b.代入原來第二個(gè)方程得x＝－23a＋43b.
【正文】 － AD→ ＝－ 13a－ 13b＋ 23b ＝ 13(b－ a)． 10． 已知非零向量 e1， e2， a， b滿足 a＝ 2e1－ e2， b＝ ke1＋ e2. (1)若 e1與 e2不共線 ， a與 b共線 ， 求實(shí)數(shù) k 的值； (2)是否存在實(shí)數(shù) k， 使得 a與 b不共線 ， e1與 e2共線？若存在 ， 求出 k 的值 ， 否則說明理由 ． 解： (1)由 a＝ λb， 得 2e1－ e2＝ λke1＋ λe2， 而 e1與 e2不共線 ， 所以?????λ k＝ 2，λ ＝－ 1 ? k＝－ 2. (2)不存在 ． 若 e1與 e2共線 ， 則 e2＝ λe1， 有?????a＝（ 2－ λ） e1，b＝（ k＋ λ） e1， 因?yàn)?e1， e2， a， b為非零向量 ， 所以 λ≠ 2 且 λ≠ － k， 所以 12－ λa＝ 1k＋ λb， 即 a＝ 2－ λk＋ λb， 這時(shí) a與 b共線 ， 所以不存在實(shí)數(shù) k 滿足題意 ． [ ] 1． O 是平面上一定點(diǎn) ， A， B， C 是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn) ， 動(dòng)點(diǎn) P 滿足 OP→ ＝ OA→ ＋ λ(AB→＋ AC→ )， λ ∈ [0， ＋ ∞ )， 則 P 的軌跡一 定通過 △ ABC 的 ( ) A． 外心 B． 內(nèi)心 C． 重心 D． 垂心 解析： 選 OP→ ＝ OA→ ＋ λ(AB→ ＋ AC→ )， λ ∈ [0， ＋ ∞ )， 所以 AP→ ＝ λ(AB→ ＋ AC→ )， λ ∈ [0，＋ ∞ )， 即 AP→ 與 AB→ ＋ AC→ 共線 ， 而 AB→ ＋ AC→ 是以 AB→ ， AC→ 為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線表示的向量 ， 而對(duì)角線與 BC 的交點(diǎn)是中點(diǎn) ， 所以 P 的軌跡一定通過 △ ABC 的重心 ． 2． 對(duì)于 △ ABC 內(nèi)部一點(diǎn) O， 存在實(shí)數(shù) λ， 使得 OA→ ＋ OB→ ＝ λ (OA→ ＋ OC→ )成立 ， 則 △ OBC與 △ ABC 的面積之比是 ( ) A． 1∶ 2 B． 1∶ 1 C． 1∶ 3 D． 2∶ 3 解析： 選 ， 設(shè) D， E 分別是 AB， AC 的中點(diǎn) ， 以 OA， OB 為鄰邊 作 ?OAGB， 以 OA，OC 為鄰邊作 ?OAFC， 則 OA→ ＋ OB→ ＝ OG→ ＝ 2OD→ ， OA→ ＋ OC→ ＝ OF→ ＝ 2OE→ ， 因?yàn)?OA→ ＋ OB→ ＝ λ(OA→ ＋ OC→ )， 所以 OD→ ＝ λOE→ ， 所以點(diǎn) D， O， E 三點(diǎn)共線 ， 所以點(diǎn) O 在直線 DE 上 ， 又因?yàn)?D， E 分別為 AB， AC 的中點(diǎn) ， 所以 △ OBC 與 △ ABC 的面積之比為 1∶ 2. 3． 已知 P1P→ ＝ 23PP2→ ， 若 PP1→ ＝ λP1P2→ ， 則 λ＝ ________． 解析： 如圖 ， 因?yàn)?P1P→ ＝ 23PP2→ ， 所以點(diǎn) P 在線段 P1P2上 ， 且 |P1P→ ||PP2→ |＝ 23. 所以 PP1→ 與 P1P2→ 反向 ， 且 |PP1→ ||P1P2→ |＝ 25， 所以 PP1→ ＝－ 25P1P2→ ， 故 λ＝－ 25. 答案： － 25 4． 在平行四邊形 ABCD 中 ， AB→ ＝ e1， AC→ ＝ e2， NC→ ＝ 14AC→ ， BM→ ＝ 12MC→ ， 則 MN→ ＝ ________(用e1， e2表示 )． 解析： 因?yàn)?NC→ ＝ 14AC→ ＝ 14e2， 所以 CN→ ＝－ 14e2， 因?yàn)?BM→ ＝ 12MC→ ， BM→ ＋ MC→ ＝ BC→ ＝ AC→ － AB→ ＝ e2－ e1， 所以 MC→ ＝ 23(e2－ e1)， 所以 MN→ ＝ MC→ ＋ CN→ ＝ 23(e2－ e1)－ 14e2＝－ 23e1＋ 512e2. 答案： － 23e1＋ 512e2 5． 已知 O， A， M， B 為平面上四點(diǎn) ， 且 OM→ ＝ λOB→ ＋ (1－ λ)OA→ (λ∈ R， λ ≠ 1， λ ≠ 0)． (1)求證： A， B， M 三點(diǎn)共線； (2)若點(diǎn) B 在線段 AM 上 ， 求實(shí)數(shù) λ的范圍 ． 解： (1)證明： 因?yàn)?OM→ ＝ λOB→ ＋ (1－ λ)OA→ ， 所以 OM→ ＝ λOB→ ＋ OA→ － λOA→ ， OM→ － OA→ ＝ λOB→ － λOA→ ， 即 AM→ ＝ λAB→ ， 又 λ∈ R， λ ≠ 1， λ ≠ 0 且 AM→ ， AB→ 有公共點(diǎn) A， 所以 A， B， M 三點(diǎn)共線 ． (2)由 (1)知 AM→ ＝ λAB→ ， 若點(diǎn) B 在線段 AM 上 ， 則 AM→ ， AB→ 同向且 |AM→ |＞ |AB→ |(如圖所示 )． 所以 λ＞ 1. 6． (選做題 )在 △ ABC 中 ， 點(diǎn) D 和 E 分別在 BC， AC 上 ， 且 BD→ ＝ 13BC→ ， CE→ ＝ 13CA→ ， AD與 BE 交于 R， 證明： RD→ ＝ 17AD→ . 證明： 由 A， D， R 三點(diǎn)共線 ， 可得 CR→ ＝ λCD→ ＋ (1－ λ)CA→ ＝ 23λ CB→ ＋ (1－ λ)CA→ . 由 B， E， R 三點(diǎn)共線 ， 可得 CR→ ＝ μCB→ ＋ (1－ μ)CE→ ＝ μCB→ ＋ 13(1－ μ)CA→ . 所以???23λ ＝ μ，1－ λ＝ 13（ 1－ μ） ，所以???λ ＝ 67，μ ＝ 47， 所以 CR→ ＝ 47CB→ ＋ 17CA→ . 所以 AD→ ＝ CD→ － CA→ ＝ 23CB→ － CA→ ， RD→ ＝ CD→ － CR→ ＝ 23CB→ － ?? ??47CB→ ＋ 17CA→ ＝ 221CB→ － 17CA→ ＝ 17?? ??23CB→ － CA→ ＝ 17AD→ .
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