【導讀】相等向量的坐標相同嗎？求向量AB→的坐標需要知道哪些量？試一試：教材P91習題2－4A組T4你會嗎？若a＝，b＝，則a＝b?若a＝，b＝，則a＋b＝，a－b＝．即。已知向量AB→的起點A，終點B，則AB→＝，即一個向量。解析：選－＋m2＝0，所以m＝－1或m＝3.又AP→＝2PB→，所以＝2，當向量OA→平行移動到O1A1→時，向量不變，即O1A1→＝OA→＝(x，y)，但O1A1→的起點O1和終。a＝，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．。a1b2－a2b1＝0，其中a＝，b＝．這是代數運算，適用于向量平。[解]如圖，正三角形ABC的邊長為2，則頂點坐標A(0，0)，B(2，0)，C(2cos60°，12－2，32－0＝??????

　　

【正文】 E→ ＝ 13AC→ ， BF→ ＝ 13BC→ ，求證： EF→ ∥ AB→ . 證明： 設 E， F 兩點的坐標分別為 (x1， y1)， (x2， y2)． 由題意知 ， AC→ ＝ (2， 2)， BC→ ＝ (－ 2， 3)， AB→ ＝ (4， － 1)， AE→ ＝ (x1＋ 1， y1)， BF→ ＝ (x2－ 3，y2＋ 1)． 又 AE→ ＝ 13AC→ ＝ ?? ??23， 23 ， BF→ ＝ 13BC→ ＝ ?? ??－ 23， 1 ， 所以 (x1＋ 1， y1)＝ ?? ??23， 23 ， (x2－ 3， y2＋ 1)＝ ?? ??－ 23， 1 . 所以 (x1， y1)＝ ?? ??－ 13， 23 ， (x2， y2)＝ ?? ??73， 0 . 所以 EF→ ＝ (x2， y2)－ (x1， y1)＝ ?? ??73， 0 － ?? ??－ 13， 23 ＝ ?? ??83， － 23 . 因為 4 ?? ??－ 23 － (－ 1) 83＝ 0， 所以 EF→ ∥ AB→ . [ ] 1． 若 α， β 是一組基底 ， 向量 γ＝ xα＋ yβ(x， y∈ R)， 則稱 (x， y)為向量 γ 在基底 α， β下的坐標 ， 現已知向量 a 在基底 p＝ (1， － 1)， q＝ (2， 1)下的坐標為 (－ 2， 2)， 則向量 a 在另一組基底 m＝ (－ 1， 1)， n＝ (1， 2)下的坐標為 ( ) A． (2， 0) B． (0， － 2) C． (－ 2， 0) D． (0， 2) 解析： 選 ， 得 a＝－ 2(1， － 1)＋ 2(2， 1)＝ (2， 4)；設 a＝ xm＋ yn， 即 (2， 4)＝ x(－ 1， 1)＋ y(1， 2)＝ (－ x＋ y， x＋ 2y)， 則?????－ x＋ y＝ 2，x＋ 2y＝ 4， 解得 ?????x＝ 0，y＝ 2， 故選 D. 2． 向量 PA→ ＝ (k， 12)， PB→ ＝ (4， 5)， PC→ ＝ (10， k)， 若 A， B， C三點共線 ， 則 k的值為 ( ) A． － 2 B． 11 C． － 2 或 11 D． 2 或－ 11 解析： 選 → ＝ PA→ － PB→ ＝ (k， 12)－ (4， 5)＝ (k－ 4， 7)， CA→ ＝ PA→ － PC→ ＝ (k， 12)－ (10，k)＝ (k－ 10， 12－ k)， 因為 A， B， C 三點共線 ， 所以 BA→ ∥ CA→ ， 所以 (k－ 4)(12－ k)－ 7(k－ 10)＝ 0， 整理得 k2－ 9k－ 22＝ 0， 解得 k＝－ 2 或 11. 3． 已知 A(2， 3)， B(5， 4)， C(7， 10)， 若 AP→ ＝ AB→ ＋ λAC→ (λ∈ R)， 且點 P 在第一、三象限的角平分線上 ， 則 λ＝ ________． 解析： 因為 AP→ ＝ AB→ ＋ λAC→ ， 所以 OP→ ＝ OA→ ＋ AP→ ＝ OA→ ＋ AB→ ＋ λAC→ ＝ OB→ ＋ λAC→ ＝ (5， 4)＋ λ(5， 7)＝ (5＋ 5λ， 4＋ 7λ)， 由 5＋ 5λ＝ 4＋ 7λ， 得 λ＝ 12. 答案： 12 4． 在平面直角坐標系 xOy 中 ， 四邊形 ABCD 的邊 AB∥ DC， AD∥ A(－ 2，0)， B(6， 8)， C(8， 6)， 則 D 點的坐標為 ________． 解析：法一： 由題意知 ， 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， 所以 AB→ ＝ DC→ ， 設 D(x， y)， 則 (6， 8)－ (－ 2， 0)＝ (8， 6)－ (x， y)， 所以 x＝ 0， y＝－ 2， 即 D(0， － 2)． 法二： 由題意知 ， 四邊形 ABCD 為平行四邊形 ， 所以 AB→ ＝ DC→ ， 即 OB→ － OA→ ＝ OC→ － OD→ ， 所以 OD→ ＝ OA→ ＋ OC→ － OB→ ＝ (－ 2， 0)＋ (8， 6)－ (6， 8)＝ (0， － 2)． 即 D 點的坐標為 (0， － 2)． 答案： (0， － 2) 5． 已知 P1(2， － 1)， P2(－ 1， 3)， P 在直線 P1P2上 ， 且 |P1P→ |＝ 23|PP2→ |， 求 P 點坐標 ． 解 ： ① 當 P 點在線段 P1P2上時 ， 如圖 ． 則有 P1P→ ＝ 23PP2→ ， 設 P 點坐標為 (x， y)， 所以 (x－ 2， y＋ 1)＝ 23(－ 1－ x， 3－ y)， 所以???x－ 2＝ 23（－ 1－ x） ，y＋ 1＝ 23（ 3－ y） ，解得???x＝ 45，y＝ 35. 故 P 點坐標為 ?? ??45， 35 . ② 當 P 點在線段 P2P1的延長線上時 ， 如圖 ． 則有 P1P→ ＝－ 23PP2→ ， 設 P 點坐標為 (x， y)， 所以 (x－ 2， y＋ 1)＝－ 23(－ 1－ x， 3－ y)， 所以???x－ 2＝－ 23（－ 1－ x） ，y＋ 1＝－ 23（ 3－ y） ，解得?????x＝ 8，y＝－ 9. 故 P 點坐標為 (8， － 9)． 綜上可得 P 點坐標為 ?? ??45， 35 或 (8， － 9)． 6． (選做題 )已知向量 μ＝ (x， y)與 v＝ (y， 2y－ x)的對應關系可用 v＝ f(μ)表示 ． (1)證明：對于任意向量 a， b及常數 m， n， 恒有 f(ma＋ nb)＝ mf(a)＋ nf(b)成立； (2)設 a＝ (1， 1)， b＝ (1， 0)， 求向量 f(a)及 f(b)的坐標； (3)求使 f(c)＝ (p， q)(p， q 為常數 )的向量 c的坐標 ． 解： (1)證明： 設 a＝ (a1， a2)， b＝ (b1， b2)， 則 ma＋ nb＝ (ma1＋ nb1， ma2＋ nb2)． 所以 f(ma＋ nb)＝ (ma2＋ nb2， 2ma2＋ 2nb2－ ma1－ nb1)， mf(a)＋ nf(b) ＝ m(a2， 2a2－ a1)＋ n(b2， 2b2－ b1) ＝ (ma2＋ nb2， 2ma2＋ 2nb2－ ma1－ nb1)． 所以 f(ma＋ nb)＝ mf(a)＋ nf(b)， 即對于任意向量 a， b及常數 m， n， 恒有 f(ma＋ nb)＝ mf(a)＋ nf(b)． (2)f(a)＝ f((1， 1))＝ (1， 2 1－ 1)＝ (1， 1)， f(b)＝ f((1， 0))＝ (0， 2 0－ 1)＝ (0， － 1)． (3)設 c＝ (x， y)， 則 f(c)＝ (y， 2y－ x)＝ (p， q)， 所以?????y＝ p，2y－ x＝ q， 解得 ?????x＝ 2p－ q，y＝ p. 所以向量 c＝ (2p－ q， p)．