20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第三章章末優(yōu)化總結(jié)練習(xí)題含答案-資料下載頁
2025-11-19 00:14本頁面
【導(dǎo)讀】已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求cosα，sinα的值．。且tanα＝sinαcosα＝43，sin2α＋cos2α＝1，因為cos(α＋β)＝－1114，0°<α＋β<180°，又0°<β<90°，所以β＝60°.三角函數(shù)式的化簡，主要有以下幾類：①對和式，基本思路是降冪、消項和逆用公式；②對分式，基本思路是分子與分母的約分和逆用公式，最終變成整式或數(shù)值；③對二次根式，①直接應(yīng)用公式，包括公式的正用、逆用和變形用；＝2cosθcosθ·cos2θ＝2cos2θ.的重要應(yīng)用之一．證明的一般思路是由繁到簡，如果兩邊都較繁，則采用左右互推的思路，求證：tan2x＋1tan2x＝21－cos4x.
【正文】 in α cos α ＝ (cos α － sin α )2＝ cos2α － 2sin α cos α ＋ sin2α ＝ 1－ 2sin α cos α ＝ 1－ 2 18＝ 34. 又因為 π 4 α π 2 ， 所以 cos α sin α ， 即 cos α － sin α 0. 所以 cos α － sin α ＝－ 32 . (3)因為 α＝－ 31π3 ＝－ 6 2π ＋ 5π3 ， 所以 f?? ??－ 31π3 ＝ cos?? ??－ 31π3 sin?? ??－ 31π3 ＝ cos?? ??－ 6 2π ＋ 5π3 sin?? ??－ 6 2π ＋ 5π3 ＝ cos 5π3 sin 5π3 ＝ cos?? ??2π － π 3 sin?? ??2π － π 3 ＝ cosπ 3 ?? ??－ sinπ 3 ＝ 12 ??? ???－ 32 ＝－ 34 . 17． (本小題滿分 10 分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中 ， 以 Ox 軸的非負(fù)半軸為始邊作兩個銳角 α， β ， 它們的終邊分別與單位圓相交于 A， B 兩點 ， 已知 A， B的橫坐標(biāo)分別為 210， 2 55 . (1)求 tan(α＋ β)的值； (2)求 α＋ 2β的值 ． 解： 由條件知 cos α ＝ 210， cos β ＝ 2 55 ， 且 α， β 為銳角 ， 所以 sin α ＝ 7 210 ， sin β ＝ 55 ， 因此 tan α ＝ 7， tan β ＝ 12. (1)tan(α＋ β)＝ tan α ＋ tan β1－ tan α tan β ＝－ 3. (2)tan 2β ＝ 2tan β1－ tan2β ＝ 43， 所以 tan(α＋ 2β)＝ tan α ＋ tan 2β1－ tan α tan 2β ＝－ 1， 因為 α， β 為銳 角 ， 所以 0α＋ 2β3π2 ， 所以 α＋ 2β＝ 3π4 . 18． (本小題滿分 10 分 )已知向量 a＝ (sin θ ， － 2)與 b＝ (1， cos θ )互相垂直 ， 其中θ∈ ?? ??0， π2 . (1)求 sin θ 和 cos θ 的值； (2)若 5cos(θ－ φ )＝ 3 5cos φ ， 0φ π 2 ， 求 cos φ 的值 ． 解： (1)因為 a⊥ b， 所以 ab＝ sin θ － 2cos θ ＝ 0， 即 sin θ ＝ 2cos θ .又因為 sin2θ ＋ cos2θ ＝ 1， 所以 4cos2θ ＋ cos2θ ＝ 1， 即 cos2θ ＝ 15， 所以 sin2θ ＝ 45. 又 θ∈ ?? ??0， π2 ， 所以 sin θ ＝ 2 55 ， cos θ ＝ 55 . (2)因為 5cos(θ－ φ)＝ 5(cos θ cos φ ＋ sin θ sin φ ) ＝ 5cos φ ＋ 2 5sin φ＝ 3 5cos φ ， 所以 cos φ ＝ sin φ . 所以 cos2φ ＝ sin2φ ＝ 1－ cos2φ ， 即 cos2φ ＝ 12. 又因為 0φπ 2 ， 所以 cos φ ＝ 22 . 19． (本小題滿分 12 分 )已知向量 m＝ (－ 1， cos ω x＋ 3sin ω x)(其中 ω0)， n＝ (f(x)， cos ω x)， m⊥ n， 且函數(shù) f(x)的圖像任意兩相鄰對稱軸間距為 32π . (1)求 ω的值； (2)探討函數(shù) f(x)在 (－ π ， π )上的單調(diào)性 ． 解： (1)由題意 ， 得 mn＝ 0， 所以 f(x)＝ cos ω x (cos ω x＋ 3sin ω x)＝ cos 2ω x＋ 12 ＋3sin 2ω x2 ＝ sin????2ω x＋ π6 ＋12. 根據(jù)題意知 ， 函數(shù) f(x)的最小正周期為 3π ， 又 ω＞ 0， 所以 ω＝ 13. (2)由 (1)知 f(x)＝ sin?? ??23x＋ π 6 ＋ 12， 因為 x∈ (－ π ， π )， 所以－ π 2 ＜ 23x＋ π 6 ＜ 5π6 ， 當(dāng)－ π 2 ＜ 23x＋ π 6 ＜ π 2 ， 即－ π ＜ x＜ π 2 時 ， 函數(shù) f(x)是遞增的； 當(dāng) π 2 ≤ 23x＋ π 6 ＜ 5π6 ， 即 π 2 ≤ x＜ π 時 ， 函數(shù) f(x)是遞減的 ． 綜上可知 ， 函數(shù) f(x)在 ?? ??－ π ， π2 上是遞增的 ， 在 ?? ??π 2 ， π 上是遞減的 ． 20． (本小題滿分 13 分 )已知函數(shù) f(x)＝ sin xcos?? ??x＋ π3 ＋ 34 . (1)當(dāng) x∈ ?? ??－ π3 ， π6 時 ， 求函數(shù) f(x)的值域； (2)將函數(shù) y＝ f(x)的圖像向右平移 π 3 個單位后 ， 再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?12倍 ， 縱坐標(biāo)保持不變 ， 得到函數(shù) y＝ g(x)的圖像 ， 求函數(shù) g(x)的表達(dá)式及對稱軸方程 ． 解： (1)f(x)＝ sin xcos?? ??x＋ π3 ＋ 34 ＝ sin x?? ??cos xcosπ 3－ sin xsinπ 3 ＋ 34 ＝ 12sin xcos x－ 32 sin2x＋ 34 ＝ 14sin 2x－ 32 1－ cos 2x2 ＋ 34 ＝ 14sin 2x＋ 34 cos 2x＝ 12sin?? ??2x＋ π 3 . 由－ π 3 ≤ x≤ π 6 ， 得－ π 3 ≤ 2x＋ π 3 ≤ 2π3 ， 所以－ 32 ≤ sin?? ??2x＋ π 3 ≤ 1， － 34 ≤ 12sin?? ??2x＋ π 3 ≤ 12， 所以 f(x)∈ ??? ???－ 34 ， 12 . (2)由 (1)知 f(x)＝ 12sin?? ??2x＋ π 3 ， 將函數(shù) y＝ f(x)的圖像向右平移 π 3 個單位后 ， 得到 y＝ 12sin??? ???2?? ??x－ π3 ＋ π 3 ＝ 12sin?? ??2x－ π 3 的圖像 ， 再將得到的圖像上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?12倍 ， 縱坐標(biāo)保持不變 ， 得到函數(shù) y＝ 12sin?? ??4x－ π 3 的圖像 ， 所以 g(x)＝ 12sin?? ??4x－ π 3 ， 當(dāng) 4x－ π 3 ＝ kπ ＋ π 2 (k∈ Z)時 ， g(x)取最值 ， 所以 x＝ kπ4 ＋ 5π24 (k∈ Z)， 所以函數(shù)的對稱軸方程是 x＝ kπ4 ＋ 5π24 (k∈ Z)．
教學(xué)課件相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1