20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第二章章末優(yōu)化總結(jié)練習(xí)題含答案-資料下載頁
2024-11-28 00:13本頁面
【導(dǎo)讀】①若b⊥c，則(a＋c)·b＝a·b；②若a＝(1，k)，b＝，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.[解析]①因?yàn)閎⊥c，所以b·c＝0，所以(a＋c)·b＝a·b＋c·b＝a·b；a，b，a－b構(gòu)成等邊三角形，a與a＋b的夾角應(yīng)為30°.所以真命題為①②.用AB→和AC→分別表示BQ→和CR→；如果AI→＝AB→＋λBQ→＝AC→＋μCR→，求實(shí)數(shù)λ和μ的值；[解]由AQ→＝12AC→，可得BQ→＝BA→＋AQ→＝－AB→＋12AC→，又AR→＝13AB→，所以CR→＝CA→＋AR→。由，知AI→＝15AB→＋25AC→，所以BP→＝AP→－AB→＝nAI→－AB→＝n????15AB→＋25AC→－AB→＝2n5AC→＋????＝mBC→＝mAC→－mAB→，a·b＝x1x2＋，也可判斷直線與直線的關(guān)系，所以|x|＝55，|x＋2y|＝5|x|＝5.把a(bǔ)、b、c的坐標(biāo)代入c＝ta＋(1－t)b，得t＝2.如圖所示，G為△AOB的中線OM的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作直線分別交OA，OB于點(diǎn)P，在這一過程中，物體所受各力對(duì)物體做的功的代數(shù)和是多少；支持力對(duì)木塊所做的功為WFN＝FN·s＝0.
【正文】 所以 c＝ (2， 4)或 c＝ (－ 2， － 4)． (2)因?yàn)?a＋ 2b 與 2a－ b 垂直 ， 所以 (a＋ 2b)(2a－ b)＝ 0， 即 2|a|2＋ 3ab－ 2|b|2＝ 0， 將 |a|＝ 5， |b|＝ 52 代入 ， 得 ab＝－ 52. 所以 cos θ＝ ab|a||b|＝－ 1， 又由 θ∈ [0， π]， 得 θ＝ π， 即 a 與 b 的夾角為 π. 17． (本小題滿分 10 分 )在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ， 已知點(diǎn) A(1， 4)， B(－ 2， 3)， C(2，－ 1)． (1)求 AB→ ， AC→ 及 |AB→ ＋ AC→ |； (2)設(shè)實(shí)數(shù) t滿足 (AB→ － tOC→ )⊥ OC→ ， 求 t的值 ． 解： (1)因?yàn)?A(1， 4)， B(－ 2， 3)， C(2， － 1)． 所以 AB→ ＝ (－ 3， － 1)， AC→ ＝ (1， － 5)， AB→ ＋ AC→ ＝ (－ 2， － 6)， |AB→ ＋ AC→ |＝ （－ 2） 2＋（－ 6） 2＝ 2 10. (2)因?yàn)?(AB→ － tOC→ )⊥ OC→ ， 所以 (AB→ － tOC→ )OC→ ＝ 0， 即 AB→ OC→ － tOC→ 2＝ 0， 因?yàn)?AB→ OC→ ＝－ 3 2＋ (－ 1) (－ 1)＝－ 5， OC→ 2＝ 22＋ (－ 1)2＝ 5， 所以－ 5－ 5t＝ 0， 所以 t＝－ 1. 18． (本小題滿分 10 分 )已知向量 OP1→ 、 OP2→ 、 OP3→ 滿足條件 OP1→ ＋ OP2→ ＋ OP3→ ＝ 0， |OP 1→ |＝ |OP 2→ |＝ |OP 3→ |＝ 1. 求 證： △ P1P2P3是正三角形 ． 證明： 因?yàn)?OP 1→ ＋ OP 2→ ＋ OP 3→ ＝ 0， 所以 OP 1→ ＋ OP 2→ ＝－ OP 3→ ， 所以 (OP 1→ ＋ OP 2→ )2＝ (－ OP 3→ )2， 所以 |OP 1→ |2＋ |OP 2→ |2＋ 2OP 1→ OP 2→ ＝ |OP 3→ |2， 所以 OP 1→ OP 2→ ＝－ 12， 又 cos∠ P1OP2＝ OP1→ OP2→|OP1→ | |OP2→ |＝－ 12， 所以 ∠ P1OP2＝ 120176。. 所以 |P1P2→ |＝ |OP2→ － OP1→ |＝ （ OP2→ － OP1→ ） 2＝ OP1→ 2＋ OP2→ 2－ 2OP1→ OP2→ ＝ 3. 同理可得 |P2P3→ |＝ |P3P1→ |＝ 3. 故 △ P1P2P3是等邊三角形 ． 19． (本小題滿分 12 分 )已知正方形 ABCD， E、 F分別是 CD、 AD的中點(diǎn) ， BE、 CF 交于點(diǎn) ： (1)BE⊥ CF； (2)AP＝ AB. 證明： 如圖建立直角坐標(biāo)系 xOy， 其中 A為原點(diǎn) ， 不妨設(shè) AB＝ 2， 則 A(0， 0)， B(2， 0)， C(2， 2)， E(1， 2)， F(0， 1)． (1)BE→ ＝ OE→ － OB→ ＝ (1， 2)－ (2， 0)＝ (－ 1， 2)， CF→ ＝ OF→ － OC→ ＝ (0， 1)－ (2， 2)＝ (－ 2， － 1)， 因?yàn)?BE→ CF→ ＝－ 1 (－ 2)＋ 2 (－ 1)＝ 0， 所以 BE→ ⊥ CF→ ， 即 BE⊥ CF. (2)設(shè) P(x， y)， 則 FP→ ＝ (x， y－ 1)， CF→ ＝ (－ 2， － 1)， 因?yàn)?FP→ ∥ CF→ ， 所以－ x＝－ 2(y－ 1)， 即 x＝ 2y－ 2. 同理 ， 由 BP→ ∥ BE→ ， 得 y＝－ 2x＋ 4， 代入 x＝ 2y－ 2. 解得 x＝ 65， 所以 y＝ 85， 即 P?? ??65， 85 . 所以 AP→ 2＝ ?? ??652＋ ?? ??852＝ 4＝ AB→ 2， 所以 |AP→ |＝ |AB→ |， 即 AP＝ AB. 20． (本小題滿分 13 分 )(1)如圖 ， 設(shè)點(diǎn) P， Q是線段 AB的三等分點(diǎn) ，若 OA→ ＝ a， OB→ ＝ b， 試用 a， b 表示 OP→ ， OQ→ ， 并判斷 OP→ ＋ OQ→ 與 OA→ ＋ OB→ 的關(guān)系 ． (2)受 (1)的啟示 ， 如果點(diǎn) A1， A2， A3， ? ， An－ 1是 AB 的 n(n≥ 3)等分點(diǎn) ， 你能得到什么結(jié)論？請(qǐng)證明你的結(jié)論 ． 解： (1)OP→ ＝ OA→ ＋ AP→ ＝ OA→ ＋ 13AB→ ＝ OA→ ＋ 13(OB→ － OA→ )＝ 23OA→ ＋ 13OB→ ＝ 23a＋ 13b. 同理 OQ→ ＝ 13a＋ 23b. OP→ ＋ OQ→ ＝ a＋ b＝ OA→ ＋ OB→ . (2)結(jié)論： OA1→ ＋ OAn－ 1→ ＝ OA2→ ＋ OAn－ 2→ ＝ ? ＝ OA→ ＋ OB→ . 證明如下： 由 (1)可推出 OA1→ ＝ OA→ ＋ AA1→ ＝ OA→ ＋ 1nAB→ ＝ OA→ ＋ 1n(OB→ － OA→ )＝ n－ 1n OA→ ＋ 1n OB→ ， 所以 OA1→ ＝ n－ 1n a＋ 1nb， 同理 OAn－ 1→ ＝ 1na＋ n－ 1n b， 所以 OA1→ ＋ OAn－ 1→ ＝ a＋ b＝ OA→ ＋ OB→ . 又 OA2＝ n－ 2n a＋ 2nb， OAn－ 2→ ＝ 2na＋ n－ 2n b， 所以 OA2→ ＋ OAn－ 2→ ＝ a＋ b＝ OA→ ＋ OB→ ， ? ， 因此有 OA1→ ＋ OAn－ 1→ ＝ OA2→ ＋ OAn－ 2→ ＝ ? ＝ OA→ ＋ OB→ .
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