20xx高中數(shù)學人教a版必修四第二章5從力做的功到向量的數(shù)量積練習題含答案-資料下載頁
2025-11-19 00:13本頁面
【導讀】計算兩個向量的數(shù)量積時，需要確定哪幾個量？若兩個向量的數(shù)量積大于零，則這兩個向量的夾角一定是銳角嗎？試一試：教材P97習題2－5A組T2你會嗎？定義已知兩個向量a和b，它們的夾角為θ，把|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos_θ．特別規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積均為0. a·b＝0．(a，b為非。(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.2＝a2±2a·b＋b2＝|a|2±2a·b＋|b|2等等．。解析：選a在b方向上的投影為|a|cosθ＝a·b|b|＝－123＝－4，故選A.＝|a|2－|b|2＝32－42＝－7.解析：畫圖可知向量BC→與CA→的夾角為角C的補角，故BC→·CA→＝|BC→|³|CA→|cos(π－C). 已知△ABC內(nèi)接于以O為圓心，1為半徑的圓，且2OA→＋3OB→＋4OC→＝0，求OC→²AB→。[解]①a∥b，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a|·|b|cos0°＝4³5＝20；若a與b反向，則θ＝180°，
【正文】 b)2， 且 |a|＝ |b|＝ 1， 即 k2＋ 1＋ 2kab＝ 3(1＋ k2－ 2kab)， 所以 ab＝ k2＋ 14k .因為 k2＋ 1≠ 0， 所以 ab≠ 0， 即 a與 b不垂直 ． (2)因為 a與 b的夾角為 60176。 ， 且 |a|＝ |b|＝ 1， 所以 a b＝ |a||b|cos 60176。 ＝ 12. 所以 k2＋ 14k ＝12. 所以 k＝ 1. 10． 設向量 a， b滿足 |a|＝ |b|＝ 1， |3a－ b|＝ 5. (1)求 |a＋ 3b|的值； (2)求 3a－ b與 a＋ 3b夾角的正弦值 ． 解： (1)由 |3a－ b|＝ 5得 (3a－ b)2＝ 5， 所以 9a2－ 6ab＋ b2＝ 5. 因為 a2＝ |a|2＝ 1， b2＝ |b|2＝ 1， 所以 9－ 6ab＋ 1＝ 5， 所以 ab＝ 56. 所以 (a＋ 3b)2＝ a2＋ 6ab＋ 9b2＝ 1＋ 6179。 56＋ 9179。 1＝ 15. 所以 |a＋ 3b|＝ 15. (2)設 3a－ b與 a＋ 3b的夾角為 θ. 因為 (3a－ b)(a＋ 3b)＝ 3a2＋ 8ab－ 3b2＝ 3179。 1＋ 8179。 56－ 3179。 1＝ 203 . 所以 cos θ ＝ （ 3a－ b） （ a＋ 3b）|3a－ b||a＋ 3b| ＝2035179。 15＝4 39 . 因為 0176。 ≤ θ ≤ 180176。， 所以 sin θ ＝ 1－ cos2θ ＝ 1－ ??? ???4 392＝ 339 . 所以 3a－ b與 a＋ 3b夾角的正弦值為 339 . [ ] ， 在四邊形 ABCD中 ， AB⊥ BC， AD⊥ |AB→ |＝ a， |AD→ |＝ b，則 AC→ 178。 BD→ ＝ ( ) A． a2－ b2 B． b2－ a2 C． a2＋ b2 D． ab 解析： 選 AD→ ⊥ DC→ ， 所以 AC→ 在 AD→ 方向上的投影為 |AC→ | cos∠ CAD＝ |AD→ |， 又 AB→ ⊥BC→ ， 所以 AC→ 在 AB→ 方向上的投影為 |AC→ | cos∠ CAB＝ |AB→ |. 所以 AC→ BD→ ＝ AC→ (AD→ － AB→ )＝ AC→ AD→ － AC→ AB→ ＝ |AD→ ||AD→ |－ |AB→ ||AB→ |＝ b2－ a2. 2． 在 Rt△ ABC 中 ， 點 D 是斜邊 AB的中點 ， 點 P為線段 CD 的中點 ， 則 |PA|2＋ |PB|2|PC|2 ＝( ) A． 2 B． 4 C． 5 D． 10 解析： 選 D.|PA|2＋ |PB|2|PC|2 ＝PA→ 2＋ PB→ 2PC→ 2 ＝ （ PC→ ＋ CA→ ） 2＋（ PC→ ＋ CB→ ） 2PC→ 2 ＝ 2PC→ 2＋ 2PC→ CA→ ＋ 2PC→ CB→ ＋ CA→ 2＋ CB→ 2PC→ 2 ＝ 2|PC→ |2＋ 2PC→ （ CA→ ＋ CB→ ）＋ AB→ 2|PC→ |2 ＝ |AB→ |2|PC→ |2－ 6＝ 42－ 6＝ 10. 3． 設 e1， e2為單位向量 ， 非零向量 b＝ xe1＋ ye2， x， y∈ e1， e2的夾角為 π 6 ， 則 |x||b|的最大值等于 ________． 解析： 根據(jù)題意 ， 得 ?? ??|x||b|2＝ x2（ xe1＋ ye2） 2＝x2（ xe1） 2＋（ ye2） 2＋ 2xye1 e2 ＝ x2x2＋ y2＋ 2xycosπ 6＝ x2x2＋ y2＋ 3xy ＝ 11＋ ?? ??yx2＋ 3yx＝ 1??????yx＋322＋ 14. 因為 ??? ???yx＋ 322＋ 14≥ 14， 所以 0?? ??|x||b|2≤ 4， 所以 0|x||b|≤ |x||b|的最大值為 2. 答案： 2 4． 在平行四邊形 ABCD 中 ， AD＝ 1， ∠ BAD＝ 60176。 ， E 為 CD的中點 ． 若 AC→ 178。 BE→ ＝ 1，則 AB 的長為 ________． 解析： 設 AB 的長為 a(a0)， 又因為 AC→ ＝ AB→ ＋ AD→ ， BE→ ＝ BC→ ＋ CE→ ＝ AD→ － 12AB→ ， 于是 AC→ BE→ ＝(AB→ ＋ AD→ )?? ??AD→ － 12AB→ ＝ 12AB→ AD→ － 12AB→ 2＋ AD→ 2＝－ 12a2＋ 14a＋ 1， 由已知可得－ 12a2＋ 14a＋ 1＝ a0， 所以 a＝ 12， 即 AB 的長為 12. 答案： 12 ， 在 △ ABC中 ， O為中線 AM 上的一個動點 ， 如果 AM＝ 2，求 OA→ 178。 (OB→ ＋ OC→ )的最值 ． 解： 因為 OB→ ＋ OC→ ＝ 2OM→ ， 所以 OA→ (OB→ ＋ OC→ )＝ OA→ 2OM→ ＝ 2|OA→ ||OM→ | cos 180176。 ＝－ 2|OA→||OM→ |， |OA→ |＋ |OM→ |＝ 2， 設 |OM→ |＝ t(0≤ t≤ 2)? |OA→ |＝ 2－ t. 所以 OA→ (OB→ ＋ OC→ )＝－ 2(2－ t)t＝ 2t2－ 4t＝ 2(t－ 1)2－ 2(0≤ t≤ 2)． 所以當 t＝ 1 時 ， OA→ (OB→ ＋ OC→ )取 得最小值－ 2. 當 t＝ 0 或 2 時 ， OA→ (OB→ ＋ OC→ )取得最大值 0. 6． (選做題 )已知非零向量 a、 b， 設其夾角為 θ， 是否存在 θ， 使得 |a＋ b|＝ 3|a－ b|成立 ，若存在 ， 求出 θ的取值范圍 ， 若不存在 ， 請說明理由 ． 解： 假設存在滿足條件的 θ， 由 |a＋ b|＝ 3|a－ b|可得： (a＋ b)2＝ 3(a－ b)2， 即 |a|2＋ 2ab＋ |b|2＝ 3(|a|2－ 2ab＋ |b|2) ? |a|2－ 4ab＋ |b|2＝ 0? |a|2－ 4|a||b|cos θ ＋ |b|2＝ 0. 已知向量 a、 b為非零向量 ， 則 |b|≠ 0， 上式同除以 |b|2得到： ?? ??|a||b|2－ 4cos θ |a||b|＋ 1＝ 0， 由 Δ≥ 0 得到： (－ 4cos θ )2－ 4≥ 0， 解得 cos θ ≤ － 12或 cos θ ≥ 12， 又知 cos θ ∈ [－ 1， 1]， 則－ 1≤ cos θ ≤ － 12或 12≤ cos θ ≤ 1， 因為 θ∈ [0， π ]． 所以 θ∈ ?? ??0， π 3 ∪ ?? ??2π3 ， π 滿足題意 ． 因此 ， 當 θ∈ ?? ??0， π 3 ∪ ?? ??2π3 ， π 時 ， 使得 |a＋ b|＝ 3|a－ b|.
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