帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題例析-資料下載頁
2024-11-23 13:22本頁面
【導(dǎo)讀】感應(yīng)強(qiáng)度、時(shí)間等。均在過入射點(diǎn)、垂直入射速度的同一條直線上。左手定則，判斷出圓心在直線的哪一側(cè)，然后作出該垂線（如圖甲）。軌跡圓①和②為臨界軌跡圓。軌道半徑小于軌跡圓①或大于軌跡圓②的粒子，均可射出磁場(chǎng)而不打在極板。因?yàn)榱Ｗ釉诖艌?chǎng)外將做直線運(yùn)動(dòng)或其他運(yùn)動(dòng)，而且作多了還會(huì)遮蔽問題，影響對(duì)問題的判斷。界軌跡圓的半徑，結(jié)合半徑公式即可算出臨界速度，最后給出速度允許的范圍。例2：如圖所示，在0≤x≤a、0≤y≤2a范圍內(nèi)有垂直手xOy平面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。的夾角分布在0～090范圍內(nèi)。做圓周運(yùn)動(dòng)周期的四分之一。速度方向與y軸正方向夾角的正弦。小逐漸取大”是同樣的目的：避免打亂仗和漏掉其中一種情況。徑一定、圓心角都較小時(shí)，弦長(zhǎng)越長(zhǎng)，圓心角越大，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間越長(zhǎng)”的錯(cuò)誤，偏轉(zhuǎn)方向移動(dòng)圓心作圖。種粒子，這些粒子打到熒光屏上能在屏上形成一條亮線，P點(diǎn)處在亮線上，
【正文】 O2 O4 （ 1）初速度沿 Od 方向發(fā)射的粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖，其園心為 n，由幾何關(guān)系有： 6Onp ??? , 120 Tt ? 粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛侖茲力提供，根據(jù)牛頓第二定律得 RTmBqv 2)2( ?? ， TRv ?2? 得 06Btmq ?? (2)依題意，同一時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子到 O 點(diǎn)距離相等。在 t0時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子應(yīng)位于以 O 為園心， Op 為半徑的弧 pw 上。 由圖知 56pOw ??? 此時(shí)刻仍在磁場(chǎng)中的粒子數(shù)與總粒子數(shù)之比為 5/6 （ 3）在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子的軌跡應(yīng)該與磁場(chǎng)邊界 b 點(diǎn)相交，設(shè)此粒子運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)應(yīng)的圓心角為 θ，則 452sin ?? 在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間 045a r c s in122 tTt ??? ?? 所以從粒子發(fā)射到全部離開所用時(shí)間為 0)45a rc sin12( tt ??。 【易錯(cuò)提醒】本題因作圖不認(rèn)真易錯(cuò)誤地認(rèn)為軌跡 ② 經(jīng) 過 c 點(diǎn)，認(rèn)為軌跡 ② 對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)等于軌跡 ③ 對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)，于是將軌跡 ② 對(duì)應(yīng)粒子作為在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)的粒子進(jìn)行計(jì)算；雖然計(jì)算出來結(jié)果正確，但依據(jù)錯(cuò)誤。 【練習(xí) 3】 如圖所示， xOy平面內(nèi)存在著沿 y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一個(gè)質(zhì)量為 m，帶電荷量為＋ q 的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn) O 以速度 v0沿 x 軸正方向開始運(yùn)動(dòng)．當(dāng)它經(jīng)過圖中虛線上的 M(2 3a， a)點(diǎn)時(shí)，撤去電場(chǎng)，粒子繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后進(jìn)入一個(gè)矩形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域 (圖中未畫出 )，又從虛線上的某一位置 N 處沿 y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)并再次經(jīng)過 M點(diǎn)．已知磁場(chǎng)方向垂直 xOy 平面 (紙面 )向里， 磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B，不計(jì)粒子的重力，試求： (1)電場(chǎng)強(qiáng)度的大??； (2)N 點(diǎn)的坐標(biāo)； (3)矩形磁場(chǎng)的最小面積． 【 提示 】 本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之四： 已知初、末速度的方向（所在直線），但未知初速度大?。次粗壍腊霃酱笮。?.這類問題的特點(diǎn)是： 所有軌跡圓的圓心均在初、末速度延長(zhǎng)線形成的角的角平分線上。 【答案】 ⑴ 206mvE qa? ⑵ 23Nxa? ⑶ 220m in 1 2 224 mvS L L qB? ? ? 【 解答 】 ⑴ 粒子從 O 到 M 做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，則有 023a v t? 212 qEatm?? 得 206mvE qa? OPa bcdnWOa bcdY⑵ 設(shè)粒子運(yùn)動(dòng)到 M 點(diǎn)時(shí)速度為 v，與 x 方向的夾角為 α，則 033y qEv t vm?? 2200233yv v v v? ? ? 03tan 3yvv? ??， 即 30??? 粒子進(jìn)入 MN右側(cè)，初速度方向已知，另一方面，粒子末速度由 N 指向 M。初速度、末速度所在直線交于點(diǎn) M，過 M 點(diǎn)作 NMP? 角平分線 MO39。，粒子軌跡圓的圓心必在直線 MO39。上。取其上一點(diǎn) O39。為圓心作出軌跡圓（如圖所示）。 設(shè) 其 半徑為 R，則 2vqvB m r? 解得粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為 0233 mvmvR qB qB?? 由幾何關(guān)系知， 1 302 PM N? ? ? ? ? 所以 N 點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 02ta nN mvRy a aqB?? ? ? ? 橫坐標(biāo)為 23Nxa? ⑶ 當(dāng)矩形磁場(chǎng)為圖示虛線矩形時(shí)的面積最小。則矩形的兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為 01 432 3 mvLR qB?? 02 3sin mvL R R qB?? ? ? 所以矩形磁場(chǎng)的最小面積為 220m in 1 2 224 mvS L L qB? ? ? 【練習(xí) 4】 如圖所示，在 xOy平面 內(nèi)有一 半徑為 R、與 x軸相切于原點(diǎn) 的圓 形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi) 有垂直 于 xOy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在圓的左邊0y2R的區(qū)間內(nèi) 有 一束具有相同質(zhì)量 m、電荷量 q(q0)和初速度 v的帶電微粒沿 x軸正方向射 向該區(qū)域，其中沿半徑 AO39。方向 進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域 的帶電微粒 經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后 ，從坐標(biāo)原點(diǎn) O沿 y軸負(fù)方向離開 。 (1)求磁感應(yīng)強(qiáng)度 B的大小和方向。 (2)請(qǐng)指出這束帶電微粒與 x 軸相交的區(qū)域，并說明理由。 【 提示 】 本題是帶電粒子在有界磁場(chǎng) 中運(yùn)動(dòng)的臨界問題六大類型之六： 已知初速度方向（所在直線）和出射點(diǎn)，但入射點(diǎn)不確定 .這類問題的特點(diǎn)是： 所有軌跡圓的圓心均在 “以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線 ”上。 【 解答 】（ 1）從 A點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)域的微粒軌跡圓心在 A 點(diǎn)正下方相距 R 的 C處，微粒軌跡如圖 所示，可知微粒軌跡半徑為qBmvR?；（ 2） 所有這些微粒進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心均在如圖所示半圓虛線O39。CD 上 ， 在該曲線上由上到下取點(diǎn)作為圓心 、以 R 為半徑作 一系列軌跡圓，易由圖可知 這些微粒均與 x軸相交 于原點(diǎn) ——因?yàn)閳A心所在曲線半圓 O39。CD 的圓心是原點(diǎn) O。 C D C D 【答案】 (1)qRmvB?，方向垂直 xOy 平面 向外；（ 2）這束 微粒均與 x 軸相交 于原點(diǎn)。
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