帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題例析(編輯修改稿)
2024-12-29 13:22 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 30o y v L O P x 30o y v L O P Q C A 圖甲 x P L O y v 30o Q C A 圖乙 ① ② x 【 解答 】過 P點作末速度所在直線，交 x軸于 Q點， 經(jīng)分析可知，粒子在磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡的圓心必在 OPQ? 的角平分線 QC上，如圖甲所示。 設(shè)粒子在磁場中作勻速圓周運(yùn)動的軌道半徑為 r，則由牛頓第 二定律，有 2vqvB m r? 則 mvrqB? ① 由此可知粒子速度越大，其軌道半徑越大，由圖乙可知，速度 最大的粒子在磁場中運(yùn)動軌跡的圓心是 y軸上的 C點。 （ 1） 如圖丙所示，速度最大時粒子的軌跡圓過 O點、且與 PQ 相切于 A點 。 由幾何關(guān)系有 tan 30OQ L??， 1 tan 30r OQ??， 可得 1 3Lr? ② 由 ① 、 ② 求得 3qBLv m? ③ （ 2）將 6qBLv m? 代入 ① 式，可得2 6Lr?，粒子的運(yùn)動軌跡是 如圖丁所示的 軌跡圓 ② ，該軌跡圓與 x 軸相切于 D 點、與 PQ 相切 于 E 點。連接 DE，由幾何關(guān)系可知 23DE r? 由于 D 點、 E 點必須在磁場內(nèi)，即線段 DE 在磁場內(nèi)，故可知 磁場面積最小時必定是以 DE 為直徑（如圖丁中 ③ 所示）。即面積最 小的磁場半徑為 12R DE? 則磁場的最小面積為 2223 ππ π ()1 2 4 8Ls R L? ? ? 【例 2】 如圖所示，長方形 abcd 的長 ad=，寬 ab=， O、 e分別是 ad、bc 的中點，以 e 為圓心 eb 為半徑的圓弧和以 O 為圓心 Od 為半徑的圓弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場 (eb 邊界上無磁場 )磁感應(yīng)強(qiáng)度 B=。一群不計重力、質(zhì)量 m=3107kg、電荷量 q=+2103C 的帶正電粒子以速度 v=5l02m/s 沿垂直 ad 方向且垂直于磁場射 入 磁場區(qū)域，則下列判斷正確的是（ ） A. 從 Od 邊射入的粒子，出射點全部分布在 Oa 邊 B. 從 aO 邊射入的粒子，出射點全部分布在 ab 邊 C. 從 Od 邊射入的粒子，出射點分布在 ab 邊 D. 從 ad 邊射人的粒子，出射點全部通過 b 點 【 提示 】 本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之五： 已知初速度的大?。匆阎壍腊霃酱笮。┖头较?，但入射點不確定 .這類問題的特點是： 所有軌跡圓的圓心均在將入射點組成的邊界沿垂直入射速度方向平移一個半徑距離的曲線上。 【 解答 】 所有進(jìn)入磁場的粒子的入射點均在 dOb 線上， 將該曲線垂直速度向上平移一個半徑 mvrqB?后得到曲線 Oaf，此即所有粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心所在曲線 ， 在該曲線上從下到上取點作為圓心 、圖丙 L y 30o v O Q C A P ① x P y 30o x ② L O ③ 圖丁 A v C Q D E mvr qB? 為 半徑 作一系列軌跡圓，其中 ① 為從 d 點射入粒子的軌跡（圓心在 O 點）， ② 為從 O 點射入粒子的軌跡（圓心在 a點）， ③ 為從 a 點射入粒子的軌跡，從 d、 O之間入射粒子在磁場中轉(zhuǎn)過 1/4圓周后沿 eb邊界 作直線運(yùn)動最終匯聚于 b 點， 從 O、 a 之間入射粒子先作直線運(yùn)動再進(jìn)入磁場做圓周運(yùn)動，由作圖易知這些粒子也匯聚于 b 點。 【答案】 D 【例 3】 如圖所示，現(xiàn)有一質(zhì)量為 m、電量為 e 的電子從 y軸上的 P（ 0， a）點以初速度 v0平行于 x軸射出，在 y軸右側(cè) 某一圓形區(qū)域 加一垂直于 xoy平面向里勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B. 為了使電子 能從 x 軸上的 Q（ b， 0）點 射出磁場 。試求 滿足條件的 磁場的最小面積，并求出該磁場圓圓心的坐標(biāo) 。 【 提示 】 本題是帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題六大類型之六： 已知初速度方向（所在直線）和出射點，但入射點不確定 .這類問題的特點是： 所有軌跡圓的圓心均在 “以初速度所在直線為準(zhǔn)線、出射點為焦點的拋物線 ”上。 【解答】 本題中，電子初速度所在直線已知，電子進(jìn)入磁場的入射點在該直線上，則可知電子在磁場中作圓周運(yùn)動的軌跡圓與該直線相切、且經(jīng)過 Q點，所以電子軌跡圓圓心到該直 線和到 Q 點的距離相等，即電子軌跡圓圓心在以該直線為準(zhǔn)線、 Q 點為焦點的拋物線上。 在該拋物線上從左向右去不同點為圓心，做出一些列軌跡圓，可以看出所有這些軌跡中軌跡 ① 所需圓形磁場的直徑最小。 【答案】 2π41a ，（ b,2a ） f f ① ② f ③ ① 練習(xí) 【練習(xí) 1】 兩平面熒光屏互相垂直放置，在兩屏內(nèi)分別取垂直于兩屏交線的直線為 x 軸和 y 軸，交點 O為原點， 如圖所示。在 y0， 0xa 的區(qū)域有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場，在 y0， xa的區(qū)域有垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，兩區(qū)域內(nèi)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為 B。在 O 點處有一小孔，一束質(zhì)量為
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