【正文】 場(chǎng)圍成中空區(qū)域，中空區(qū)域中的帶電粒子只要速度不是很大，都不會(huì)穿出磁場(chǎng)的外邊緣而被約束在該區(qū)域內(nèi)。設(shè)環(huán)狀磁場(chǎng)的內(nèi)半徑為R1=，外半徑R2=，磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度B=，若被束縛帶電粒子的荷質(zhì)比為q/m=4C/㎏，中空區(qū)域內(nèi)帶電粒子具有各個(gè)方向的速度。試計(jì)算（1）粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。圖8r1 （2）所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度。解析：（1）要粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)，則粒子的臨界軌跡必須要與外圓相切,軌跡如圖8所示。由圖中知，解得由得圖9OO2所以粒子沿環(huán)狀的半徑方向射入磁場(chǎng)，不能穿越磁場(chǎng)的最大速度為。（2）當(dāng)粒子以V2的速度沿與內(nèi)圓相切方向射入磁場(chǎng)且軌道與外圓相切時(shí)，則以V1速度沿各方向射入磁場(chǎng)區(qū)的粒子都不能穿出磁場(chǎng)邊界，如圖9所示。由圖中知由得所以所有粒子不能穿越磁場(chǎng)的最大速度六、帶電粒子在有“圓孔”的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)abcdSo圖10例如圖10所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，外電極接地，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d，外筒的外半徑為r，在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度的大小為B。在兩極間加上電壓，使兩圓筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng)。一質(zhì)量為ｍ、帶電量為＋q的粒子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速為零。如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S，則兩電極之間的電壓U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）解析：如圖11所示，帶電粒子從S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿過(guò)狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。，粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過(guò)c、b，再回到S點(diǎn)。設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的速度大小為V，根據(jù)動(dòng)能定理，有abcdSo圖11設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有由前面分析可知，要回到S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過(guò)圓周，所以半徑R必定等于筒的外半徑r，即R=。.七、帶電粒子在相反方向的兩個(gè)有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例如圖12所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)。左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng)；中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直紙面向里。一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場(chǎng)的左邊緣的O點(diǎn)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到O點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程。求：（1） 中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d。BBELdO圖12（2） 帶電粒子從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第一次回到O點(diǎn)所用時(shí)間t.解析：（1）帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理，可得： 帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得：由以上兩式，可得。可見(jiàn)在兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，如圖13所示，三段圓弧的圓心組成的三角形ΔO1O2O3是等邊三角形，其邊長(zhǎng)為2R。所以中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為OO3O1O2圖13600（2）在電場(chǎng)中，在中間磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間在右側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則粒子第一次回到O點(diǎn)的所用時(shí)間為。綜上所述，運(yùn)動(dòng)的帶電粒子垂直進(jìn)入有界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，若僅受洛侖茲力作用時(shí)，它一定做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，這類問(wèn)題雖然比較復(fù)雜，但只要準(zhǔn)確地畫(huà)出軌跡圖，并靈活運(yùn)用幾何知識(shí)和物理規(guī)律，找到已知量與軌道半徑R、周期T的關(guān)系，求出粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的角度或距離以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間不太難。帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的討論帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題是高三物理復(fù)習(xí)教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，也是歷年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。要想在有限的考試時(shí)間內(nèi)快速準(zhǔn)確求解這類問(wèn)題，需要有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)和較強(qiáng)的綜合分析能力。如果能掌握帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)情況的基本類型及相關(guān)問(wèn)題的解法，就可成竹在胸、從容應(yīng)試?；诳季V要求，本文只討論帶電粒子（不計(jì)重力）在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中垂直磁場(chǎng)方向的幾種運(yùn)動(dòng)情況。 　一、帶電粒子在無(wú)界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（以下所畫(huà)都是垂直磁場(chǎng)方向的截面圖）如圖1，空間存在無(wú)邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，帶電荷量為q、質(zhì)量為m的帶電粒子以垂直于B的速度v運(yùn)動(dòng)，它所受洛侖茲力提供向心力，作完整的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。軌道半徑為r、運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)，則　　 　得　　　　若粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)所用時(shí)間為t，則　　　　　得　　　二、帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（一）有單平面邊界的磁場(chǎng)如圖2，直線MN右側(cè)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。帶電粒子由邊界上P點(diǎn)以圖示方向進(jìn)入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)內(nèi)做部分圓周運(yùn)動(dòng)，將以關(guān)于邊界對(duì)稱的方向從Q點(diǎn)射出。則有　　　　　　　　幾何關(guān)系：PQ＝　　當(dāng)＜900時(shí)，θ＞1800，軌跡為一段優(yōu)弧，圓心在磁場(chǎng)中?！　‘?dāng)＝900時(shí)，θ＝1800，軌跡為半圓周，圓心在線段PQ的中點(diǎn)?！　‘?dāng)＞900時(shí)，＜ 1800，軌跡為一段劣弧，圓心在磁場(chǎng)外?？偨Y(jié)：這類問(wèn)題中要特別注意出入磁場(chǎng)的速度方向關(guān)于邊界對(duì)稱的特點(diǎn)。更重要的是要能用“動(dòng)態(tài)”的觀點(diǎn)分析問(wèn)題，即當(dāng)粒子速度大小一定從P點(diǎn)進(jìn)入方向變化時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)時(shí)間、出磁場(chǎng)的位置都隨之變化，但軌跡半徑不變，所有可能軌跡的圓心應(yīng)分布在以P點(diǎn)為圓心、為半徑的半圓上。若帶電粒子從P點(diǎn)射入時(shí)速度大小變化而方向一定時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡、軌跡半徑、出磁場(chǎng)的位置都隨之變化，但運(yùn)動(dòng)時(shí)間和偏轉(zhuǎn)方向不變，所有可能軌跡的圓心應(yīng)分布在PO及其延長(zhǎng)線上。（二）有平行雙平面邊界的磁場(chǎng)（只討論粒子垂直邊界進(jìn)入磁場(chǎng)）1．當(dāng)時(shí)（如圖3中r1），粒子在磁場(chǎng)中做半圓周運(yùn)動(dòng)后由進(jìn)入邊界的Q1點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。則有　　　　　　幾何關(guān)系：PQ1=2r1　　粒子運(yùn)動(dòng)方向改變180176。　　2．當(dāng)時(shí)（如圖中），粒子將從另一邊界Q2點(diǎn)飛出磁場(chǎng)。則有　　　　　　幾何關(guān)系：　　　　　　　　粒子運(yùn)動(dòng)方向改變。　　總結(jié)：這類問(wèn)題要特別注意粒子能否出另一邊界的臨界條件。還有正三棱柱面邊界磁場(chǎng)、正四棱柱面邊界磁場(chǎng)的問(wèn)題，其分析方法與上面相似。　　〔例題〕：如圖4，有很多質(zhì)量為m、電荷量為＋q的帶電粒子以等大速度從P點(diǎn)沿垂直于磁場(chǎng)的不同方向連續(xù)射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、磁場(chǎng)寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，求解下列問(wèn)題：　　要使粒子不從右邊界射出，粒子速度大小應(yīng)滿足的條件是什么？　　若粒子恰好不從右邊界射出，這些粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域的面積是多少？　　若所有粒子都從P點(diǎn)垂直左邊界進(jìn)入磁場(chǎng)并從右邊界Q點(diǎn)射出，速度方向改變角，求粒子的速度大小和粒子的偏轉(zhuǎn)距離？　　解析：根據(jù)題意畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖4?！　∮膳ｎD第二定律得　　……………①　　要使粒子不從右邊界射出，應(yīng)有　　…………………②　　聯(lián)立①②式解得　　　　若粒子恰好不從右邊界射出，應(yīng)有　　　　此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中所能到達(dá)的區(qū)域的面積為：　　　?。?）設(shè)此時(shí)粒子速度為V2，軌跡半徑為，由題意及幾何知識(shí)得　　 故有　　……………③　　由牛頓第二定律得　　…………④　　聯(lián)立③④式解得　　　　粒子偏轉(zhuǎn)距離為（三）有圓柱面邊界的磁場(chǎng)（磁場(chǎng)方向與圓柱軸線平行）1．帶電粒子對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心射入磁場(chǎng)　如圖5所示，磁場(chǎng)圓半徑為R，粒子軌跡圓半徑為r，帶電粒子從P點(diǎn)對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心O射入，由幾何知識(shí)容易證明粒子從Q點(diǎn)飛出的速度方向的反向延長(zhǎng)線必過(guò)磁場(chǎng)圓心O點(diǎn)。則有如下關(guān)系：　　物理關(guān)系：　　，　　　　，　　　　　幾何關(guān)系：　　，　　特別地當(dāng)時(shí)，即粒子速度方向改變。2．帶電粒子不對(duì)準(zhǔn)磁場(chǎng)圓心射入磁場(chǎng)如圖5所示，帶電粒子從P點(diǎn)射入方向發(fā)生變化時(shí)，則軌跡圓心的位置隨之變化。當(dāng)粒子沿圖6所示軌跡運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)、方向偏轉(zhuǎn)角最大。此時(shí)有：　　　　　　　　　　　　　　　　　聯(lián)立以上四式可解得和，并由可求得入射方向角?！　∮懻摚骸　。?）由圖6看出，在軌跡半徑和運(yùn)動(dòng)方向偏轉(zhuǎn)角一定的情況下，可實(shí)現(xiàn)此偏轉(zhuǎn)的最小磁場(chǎng)圓即為以PQ為直徑的圓?！　。?）如圖7所示，由幾何知識(shí)很容易證明當(dāng)時(shí)，相同帶電粒子從P點(diǎn)沿紙面內(nèi)不同方向射入磁場(chǎng)，它們離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的方向卻是平行的?！　】偨Y(jié)：處理這類問(wèn)題時(shí)一定要分清磁場(chǎng)圓和軌跡圓。再如圓環(huán)形磁場(chǎng)區(qū)域問(wèn)題可參考（二）、（三）的分析方法求解?！怖}〕在平面內(nèi)有許多電子（質(zhì)量為、電量為），從坐標(biāo)原點(diǎn)不斷以相同速率沿不同方向射入第一象限，如圖所示?，F(xiàn)加一個(gè)垂直于xoy平面向內(nèi)、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些電子穿過(guò)磁場(chǎng)后都能平行于x軸向x軸正方向運(yùn)動(dòng)，求符合該條件磁場(chǎng)的最小面積?！　〗馕觯河深}意可得電子在磁場(chǎng)中做半徑為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。沿軸正方向射入的電子做圓周運(yùn)動(dòng)后從Q點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，聯(lián)想圖7所示特點(diǎn)，若存在一半徑為R、圓心在O1圓形磁場(chǎng)區(qū)域即可到達(dá)題意要求年，如圖8所示。顯然，符合條件的最小磁場(chǎng)區(qū)域應(yīng)是圓OA1相交的部分。所以：?！　　　囊陨戏治鲇懻摽闯觯瑤щ娏Ｗ釉诖艌?chǎng)中運(yùn)動(dòng)問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是利用磁場(chǎng)控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)方向。解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵是找到帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的圓心，依據(jù)題意畫(huà)出示意圖，再綜合運(yùn)用物理規(guī)律和數(shù)學(xué)知識(shí)求解同源帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)求解思路帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)是理科綜合考試大綱中的II級(jí)要求，是近幾年高考的熱點(diǎn)問(wèn)題。從同一離子源射出的帶電粒子進(jìn)入有邊界的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，更能考查學(xué)生的理解能力、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決物理問(wèn)題的能力。這類問(wèn)題能很好的體現(xiàn)考試大綱對(duì)考生的能力要求。解決這類問(wèn)題一般都要畫(huà)出解題示意圖，但往往由于有界磁場(chǎng)限制了思路而不能準(zhǔn)確畫(huà)出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡。如果把有界磁場(chǎng)擴(kuò)大為無(wú)界磁場(chǎng)來(lái)考慮，問(wèn)題將變得很簡(jiǎn)單。下面舉例說(shuō)明。1. 同源等速異向帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例1. 如圖1所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直于紙面向里，PQ為該磁場(chǎng)的右側(cè)邊界線，磁場(chǎng)中有一點(diǎn)O，O點(diǎn)到PQ的距離為r?，F(xiàn)從點(diǎn)O以同一速率將相同的帶負(fù)電粒子向紙面內(nèi)各個(gè)不同的方向射出，它們均做半徑為r的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求帶電粒子打在邊界PQ上的范圍。（粒子的重力不計(jì)）圖2分析：帶電粒子的運(yùn)動(dòng)受到磁場(chǎng)右側(cè)邊界的限制，打在PQ上的范圍不易確定。我們可以假設(shè)磁場(chǎng)沒(méi)有邊界PQ，很容易就得出所有帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的范圍，不同的帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r是相同的，從O點(diǎn)向各個(gè)方向發(fā)射帶電粒子，O為這些軌跡圓周的公共點(diǎn)，帶電粒子能運(yùn)動(dòng)到的范圍是以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑的大圓(虛線)，如圖2所示。在這個(gè)基礎(chǔ)上再將邊界線PQ復(fù)原就可以得到帶電粒子打在邊界線上的范圍，如圖3。圖3PQMN需要注意的是打到邊界線上的最上邊的點(diǎn)是大圓（虛線）與PQ的交點(diǎn)，打到最下面的點(diǎn)是小圓與PQ的切點(diǎn)。實(shí)際上由于帶電粒子都帶負(fù)電，它們?cè)诩埫鎯?nèi)都是做順時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，邊界線右側(cè)沒(méi)有磁場(chǎng)，粒子穿出PQ線后已飛離磁場(chǎng)，邊界右邊的軌跡不可能存在，因此打到邊界上的范圍并不對(duì)稱。解：如圖3所示， P點(diǎn)在以為圓心的圓上，過(guò)O點(diǎn)作PQ的垂線OM，在直角三角形OMP中，則粒子能到達(dá)邊界線最下面的點(diǎn)的軌跡圓是以為圓心的圓，該圓正好與邊界線PQ相切，N為切點(diǎn)。由圖3的幾何關(guān)系可知。所以帶電粒子打到邊界線上的范圍應(yīng)是線段PN的長(zhǎng)度，圖42. 同源異速同向帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)例2. 如圖4所示，A、B為水平放置的足夠長(zhǎng)的平行板，板間距離為，A板上有一電子源P，Q點(diǎn)為P點(diǎn)正上方B板上的一點(diǎn)，在紙面內(nèi)從P點(diǎn)向Q點(diǎn)發(fā)射速度在0～范圍內(nèi)的電子。若垂直紙面內(nèi)加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度，已知電子的質(zhì)量，電子的電量，不計(jì)電子的重力和電子間的相互作用力，且電子打到板上均被吸收，并轉(zhuǎn)移到大地，求電子擊在A、B兩板上的范圍。分析：本題中帶電粒子的速度方向相同，速度大小不同，仍然是在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)。圖5同上題一樣，假設(shè)電子在無(wú)界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，根據(jù)左手定則可以判斷：沿PQ方向以大小不同的速度射出的電子均做順時(shí)針?lè)较虻膭蛩賵A周運(yùn)動(dòng)，這些半徑不等的圓均相內(nèi)切于點(diǎn)P，并與PQ相切，它們的圓心都在過(guò)P點(diǎn)的水平直線上，如圖5所示。設(shè)電子運(yùn)動(dòng)的最大軌跡半徑為，洛侖茲力提供向心力：，所以APQBMNH圖6代入數(shù)據(jù)得，即在圖5的基礎(chǔ)上再加上與直線AP平行且間距為d的直線BQ，AP與BQ相當(dāng)于磁場(chǎng)的兩條邊界線，如圖6所示，只需畫(huà)出半徑分別是d和2d的兩個(gè)特殊圓，所求范圍即可求得。隨著速度不斷增大，電子的運(yùn)動(dòng)半徑也隨之增大，這些電子運(yùn)動(dòng)半個(gè)圓后打到A板上，而當(dāng)電子的運(yùn)動(dòng)半徑增大到d即圖6中的小圓時(shí)，圓正好與B板相切，切點(diǎn)為N，電子開(kāi)始打到B板上，運(yùn)動(dòng)半徑大于d的電子將被B板擋住，不再打到A板上，故此圓也是電子打到A板上最遠(yuǎn)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的圓，這樣電子打在A板上的范圍應(yīng)是PH段。APQBMNH圖7而從此刻開(kāi)始，隨著速度的增大，電子打到B板上的點(diǎn)逐漸向左移動(dòng)，一直到電子的速度達(dá)到最大，此時(shí)電子打在圖6中大圓與B板相交的位置M，這樣電子打在B板上的范圍是MN段。由圖7，根據(jù)幾何關(guān)系，有代入數(shù)據(jù)故電子擊中A板P點(diǎn)右側(cè)與P點(diǎn)相距0～的范圍，即PH段；擊中B板Q點(diǎn)右側(cè)與Q點(diǎn)相距～的范圍，即MN段。通過(guò)上面兩個(gè)例題分析可知，求解帶電粒子在有界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)范圍問(wèn)題，可以假設(shè)磁場(chǎng)無(wú)限大，把有界磁場(chǎng)變成無(wú)界磁場(chǎng)，畫(huà)出帶電粒子的可能運(yùn)動(dòng)軌跡，確定帶電粒子的運(yùn)動(dòng)范圍后，根據(jù)題設(shè)要求再補(bǔ)畫(huà)邊界線，就可以得到所求的范圍。