【導讀】所成的角θ滿足cosθ＝.如圖，設AB為平面α的一條斜線段，角坐標系，則有D1，E，F(xiàn)，∴直線EC1與FD1所成的角的余弦值為2114.方法二延長BA至點E1，使AE1＝1，連結E1F、DE1、D1E1、DF，則四邊形D1E1EC1是平行四邊形．則E1D1∥EC1.E1F＝E1B2＋BF2＝52＋12＝26.＝AE21＋AD2＋DD21＝12＋32＋22＝14.＝CF2＋CD2＋DD21＝22＋42＋22＝24.如圖，在四棱錐O—ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，證明作AP⊥CD于點P.

　　

【正文】 在 E點且 E為 PB的中點時 PC⊥ 平面 ADE. 【 點評 】 這類探索問題用向量法來分析容易發(fā)現(xiàn)結論 . ABCDPzxyE由 PC⊥ AE, PC⊥ DE, 得 8 4 0,PC DE ?? ? ? ?此時 E(1,1,1). .例 611A B B B C C?又 平 面 ，1A B B C?? ，11 .B C A B C P?? 平 面.例 8269 6 ,12ACFESx? ? ?四 邊 形( ) 0Vx? ? ，M222( 4 2 ) ( 4 2 ) ( 6 2 )2 4 2 4 2?????2 1 2 ,M B B E? ? ?例 9 . （ 09 安徽 ）如圖， ABCD 是 邊長為 2 的正方形，直線 l與平面 ABCD 平行， E 和 F 是 l 上的兩個不同點，且 EA = ED ，F(xiàn)B = FC , E ? 和 F ? 是平面 ABCD 內的兩點， EE ? 和 FF ? 都與平面 ABCD 垂直 ． （ 1 ）證明：直線 EF ?? 垂直且平分線段 AD ； （ 2 ）若∠ E A D = ∠ EAB ? 60 ? , EF ? 2, 求多面 體 A B C D E F 的體積 ． ABCDE FE ? F ?A BCDE FE ? F ?A BCDE FE ? F ?M例 1 0 . 如圖所示，在棱長 為 2 的 正 方 體ABCD — A1B1C1D1中， E 、 F 分別為 A1D1和 CC1的中點 . ? 1 ? 求證： EF ∥ 平面 ACD1； ? 2 ? 求異面直線 EF 與 AB 所成角的余弦值； ? 3 ? 在棱 BB1上是否存在一點 P ，使得二面角P — AC — B 的大小為 30 176。 ？若存在，求出 BP 的長，若不存在，請說明理由 . ? 1 ? 證明 如圖所示，分別以 DA 、 DC 、 DD 1 所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 D — xy z ， 由已知得 D ? 0 ， 0 ， 0 ? ， A ? 2 ， 0 ， 0 ? ， B ? 2 ， 2 ， 0 ? ，C ? 0 ， 2 ， 0 ? ， , B 1 ? 2 ， 2 ， 2 ? ， D 1 ? 0 ， 0 ， 2 ? ， E ? 1 ， 0 ， 2 ? ，F(xiàn) ? 0 ， 2 ， 1 ? . 易知平面 ACD 1 的一個法向量是1DB＝ ? 2 ， 2 ， 2 ? . 又 ∵ EF ＝ ? － 1 ， 2 ，－ 1 ? ， ∴ EF ?1DB＝－ 2 ＋ 4 － 2 ＝ 0 ， ∴ EF ⊥1DB, 而 EF ? 平面 A CD 1 ， ∴ EF ∥ 平面 A CD 1 . ? 1 ? 證明 如圖所示，分別以 DA 、 DC 、 DD 1 所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 D — xy z ， 由已知得 D ? 0 ， 0 ， 0 ? ， A ? 2 ， 0 ， 0 ? ， B ? 2 ， 2 ， 0 ? ，C ? 0 ， 2 ， 0 ? ， , B 1 ? 2 ， 2 ， 2 ? ， D 1 ? 0 ， 0 ， 2 ? ， E ? 1 ， 0 ， 2 ? ，F(xiàn) ? 0 ， 2 ， 1 ? . 易知平面 ACD 1 的一個法向量是1DB＝ ? 2 ， 2 ， 2 ? . 又 ∵ EF ＝ ? － 1 ， 2 ，－ 1 ? ， ∴ EF ?1DB＝－ 2 ＋ 4 － 2 ＝ 0 ， ∴ EF ⊥1DB, 而 EF ? 平面 A CD 1 ， ∴ EF ∥ 平面 A CD 1 . ? 1 ? 證明 如圖所示，分別以 DA 、 DC 、 DD 1 所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 D — xy z ， 由已知得 D ? 0 ， 0 ， 0 ? ， A ? 2 ， 0 ， 0 ? ， B ? 2 ， 2 ， 0 ? ，C ? 0 ， 2 ， 0 ? ， , B 1 ? 2 ， 2 ， 2 ? ， D 1 ? 0 ， 0 ， 2 ? ， E ? 1 ， 0 ， 2 ? ，F(xiàn) ? 0 ， 2 ， 1 ? . 易知平面 ACD 1 的一個法向量是 1DB ＝ ? 2 ， 2 ， 2 ? . 又 ∵ EF ＝ ? － 1 ， 2 ，－ 1 ? ， ∴ EF ? 1DB ＝－ 2 ＋ 4 － 2 ＝ 0 ， ∴ EF ⊥ 1DB , 而 EF ? 平面 A CD 1 ， ∴ EF ∥ 平面 A CD 1 . ? 1 ? 證明 如圖所示，分別以 DA 、 DC 、 DD 1 所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 D — xy z ， 由已知得 D ? 0 ， 0 ， 0 ? ， A ? 2 ， 0 ， 0 ? ， B ? 2 ， 2 ， 0 ? ，C ? 0 ， 2 ， 0 ? ， , B 1 ? 2 ， 2 ， 2 ? ， D 1 ? 0 ， 0 ， 2 ? ， E ? 1 ， 0 ， 2 ? ，F(xiàn) ? 0 ， 2 ， 1 ? . 易知平面 ACD 1 的一個法向量是 1DB ＝ ? 2 ， 2 ， 2 ? . 又 ∵ EF ＝ ? － 1 ， 2 ，－ 1 ? ， ∴ EF ? 1DB ＝－ 2 ＋ 4 － 2 ＝ 0 ， ∴ EF ⊥ 1DB , 而 EF ? 平面 A CD 1 ， ∴ EF ∥ 平面 A CD 1 . ? 1 ?證明 如圖所示，分別以 DA 、 DC 、 DD 1 所在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標系 D — xy z ， 由已知得 D ? 0 ， 0 ， 0 ?， A ? 2 ， 0 ， 0 ?， B ? 2 ， 2 ， 0 ?，C ? 0 ， 2 ， 0 ?， , B 1 ? 2 ， 2 ， 2 ?， D 1 ? 0 ， 0 ， 2 ?， E ? 1 ， 0 ， 2 ?，F(xiàn) ? 0 ， 2 ， 1 ? . 易知平面 ACD 1 的一個法向量是 1DB ＝ ? 2 ， 2 ， 2 ? . 又 ∵ EF ＝ ?－ 1 ， 2 ，－ 1 ?， ∴ EF ? 1DB ＝－ 2 ＋ 4 － 2 ＝ 0 ， ∴ EF ⊥ 1DB ,而 EF ? 平面 A CD 1 ， ∴ EF ∥ 平面 A CD 1 . ? 2 ? 解 ∵ AB ＝ ? 0 ， 2 ， 0 ? ， 46c o s ,326?? ? ?? ? ??E F A BE F A BE F A B??? 3 ? 解 設點 P ? 2 ， 2 ， t ? ? 0 t ≤ 2 ? ， ∵ AP ＝ ? 0 ， 2 ， t ? ， AC = ? － 2 ， 2 ， 0 ? ， 平面 A C P 的一個法向量為 n ＝ ? x ， y ， z ? ， 則 0,0.ACAP? ????????nn 0,0.??????xyy tz－ ＋ ＝＋ ＝ 取 y ＝ 1 ，則 x ＝ 1 ， z ＝－ 2t， ∴ n ＝ (1 ， 1 ， 2?t). ? 3 ? 解 ： 設點 P ? 2 ， 2 ， t ? ? 0 t ≤ 2 ? ， ∵ AP ＝ ? 0 ， 2 ， t ? ， AC = ? － 2 ， 2 ， 0 ? ， 平面 A CP 的一個法向量為 n ＝ ? x ， y ， z ? ， 則 0,0.ACAP? ????????nn 0,0.???? ??xyy tz－ ＋ ＝＋ ＝ 取 y ＝ 1 ，則 x ＝ 1 ， z ＝－ 2t， ∴ n ＝ ( 1 ， 1 ， 2? t ). ? 3 ? 解 ： 設點 P ? 2 ， 2 ， t ? ? 0 t ≤ 2 ? ， ∵ AP ＝ ? 0 ， 2 ， t ? ， AC = ? － 2 ， 2 ， 0 ? ， 平面 A CP 的一個法向量為 n ＝ ? x ， y ， z ? ， 則 0,0.ACAP? ????????nn 0,0.??????xyy tz－ ＋ ＝＋ ＝ 取 y ＝ 1 ，則 x ＝ 1 ， z ＝－ 2t， ∴ n ＝ ( 1 ， 1 ， 2?t). ? 3 ? 解 ： 設點 P ? 2 ， 2 ， t ? ? 0 t ≤ 2 ? ， ∵ AP ＝ ? 0 ， 2 ， t ? ， AC = ? － 2 ， 2 ， 0 ? ， 平面 A CP 的一個法向量為 n ＝ ? x ， y ， z ? ， 則 0,? ???? ????nn 0,0.??????xyy tz－ ＋ ＝＋ ＝ 取 y ＝ 1 ，則 x ＝ 1 ， z ＝－ 2t ， ∴ n ＝ ( 1 ， 1 ， 2? t ). ? 3 ?解 ： 設點 P ? 2 ， 2 ， t ? ? 0 t ≤ 2 ?， ∵ AP ＝ ? 0 ， 2 ， t?， AC = ?－ 2 ， 2 ， 0 ?， 平面 A CP 的一個法向量為 n ＝ ? x ， y ， z ? ， 則 0,? ???? ????nn 0,0.??????xyy tz－ ＋ ＝＋ ＝ 取 y ＝ 1 ，則 x ＝ 1 ， z ＝－ 2t ， ∴ n ＝ ( 1 ， 1 ， 2? t ). 易知平面 ABC 的一個法向量?BB＝ ? 0 ， 0 ， 2 ? ， 依題意知 , 〈?BB， n 〉＝ 30 176。 或〈?BB， n 〉＝ 150176。 ， 1243c os .2422tB B nt?? ? ???〈 ， 〉即2244( 2 ) ,4tt??? 解得 t ＝ 63或 t ＝－ 63?? 舍去 ? . ∴ 在棱 BB 1 上存在一點 P ，當 BP 的長為 63時，二面角 P — AC — B 的大小為 30176。 . 即2244 ( 2 ) ,4tt??? 解得 t ＝ 63或 t ＝－ 63?? 舍去 ? . ∴ 在棱 BB 1 上存在一點 P ，當 BP 的長為 63時，二面角 P — AC — B 的大小為 30176。 . 2244( 2 ) ,4tt???即. 2 2P AB C AB BC P A P B P C AB a? ? ? ? ? ?例 11 在 三 棱 錐 中 ,若 , 求 異 面 直 線 與 所 成 角 的 大 小 。( 1 ) BC AB AB P C?設 , 問 取 何 值 時 , 此 三 棱 錐 的 體 積 最 大 , 并 求 出 此 最 大 體 積 .( 2 ) B C x x?(1) 解 : 作 平 面 于 ,P O AB C O?A P B C o ,PA PB PC??O A B C? 為 外 心 .△又 且 ,A B B C A B B C??為 中 點 .O A C?, 為坐標原點以連 OOB 分別為、 OPOCOBz x y x y z軸 、 軸 、 軸 正 向 建 立 空 間 直 角 坐 標 系 .設 的夾角為 θ, 2 2 1 4( 0 ) , ( , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , ) ,2 2 2A a B a P a?則 ， ， 0 ， ， 02( 0 ) .2Ca， ， 022( ) ,22A B a a?? ， ，2 1 4( 0 ) .22P C a a??|| 1c o s .4| | | |A B P CA B P C? ????則A B P C? 1異 面 直 線 與 所 成 角 的 余 弦 值 為 .4A P B C o z x y AB P C與22( 2 ) ,AC x a??? ? 2 222 2 2 211 4 1 5 ,2 4 2xaP O P A A C a a x?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 21 1 1 1 5 ( 1 5 )3 3 2 2 1 2P A B C A B C a x aV S P O a x x a x?? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 31 5 5 .1 2 2 8a x a x a????≤3最 大即 時 ,30 5 .28x a V a??2當 且 僅 當 時2215 ,x a x?? A P B C o z x y 18.269 6 ,12ACFESx? ? ?四 邊 形( ) 0Vx? ? ，M222( 4 2 ) ( 4 2 ) ( 6 2 )2 4 2 4 2?????2 1 2 ,M B B E? ? ?