北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)88空間向量的應(yīng)用-資料下載頁
2025-11-10 04:09本頁面
【導(dǎo)讀】第八章立體幾何初步。4．能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平。面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題。從近三年高考試題來看，利用空間向量證明平行或垂直，求空間角是高?？嫉臒狳c內(nèi)容，題型有選擇、填空題，尤以解答題為主，難度中檔偏上．此。類問題主要考查空間坐標(biāo)系的建立及空間向量坐標(biāo)的運算能力及應(yīng)用。一種是已知空間角的大小，求相關(guān)點的位置或相關(guān)線段的長．。預(yù)測2020年高考對本節(jié)內(nèi)容的考查仍將以求空間角和距離為主，題型。延續(xù)解答題的形式．以多面體為載體，求空間角的命題趨勢較強，2020. 年高考應(yīng)予以高度關(guān)注.2．直線方向向量與平面法向量在確定直線、平面位置關(guān)。若l∥α，則u⊥n?若l⊥α，則u∥n?sinθ＝______或cosθ＝sinφ.[解析]∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.法向量是n＝，則下列點P中在平面α內(nèi)的是(). ，在選項A中，MP. 向量分別是a＝，b＝，那么這條斜線與平面所成。[解析]∵cos<a，b>＝
【正文】 2＋ 4 a2－ 2 4 a2??????－12＝ 2 3 a . S △ABC＝12 AB BC sin ∠ ABC ＝12 2 a 2 a 32＝ 3 a2. 在 △ SBC 中 ， SB ＝ SA2＋ AB2＝ 13 a . BC ＝ 2 a ， SC ＝ SA2＋ AC2＝ 21 a ， c os ∠ SBC ＝13 a2＋ 4 a2－ 21 a22 13 a 2 a＝－113. ∴ sin ∠ SBC ＝ 1 －113＝2 3913. ∴ S △S B C＝12 SB BC sin ∠ S BC ＝12 13 a 2 a 2 3913＝ 2 3a2.于是 h ＝SA S △ABCS △S B C＝3 a 3 a22 3 a2＝32a . 解法 3 ：如圖，以 A 為坐標(biāo)原點，以 AC 、 AS 所在直線為y 軸、 z 軸，以過 A 點且垂直于 y Oz 平面直線為 x 軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵△ ABC 中， AB ＝ BC ＝ 2 a ， ∠ ABC ＝ 120176。 ， ∴ AC ＝ AB2＋ BC2－ 2 AB BC c os ∠ ABC ＝ 2 3 a . 于是 A ( 0,0,0) ， B ( a ， 3 a, 0) ， C ( 0,2 3 a, 0) ， S ( 0,0,3 a ) ， 設(shè)平面 SBC 的一個法向量 n ＝ ( x ， y ， z ) ， ∵ SB→＝ ( a ， 3 a ，－ 3 a ) ， SC→＝ ( 0,2 3 a ，－ 3 a ) ， ∴????? n SB→＝ a x ＋ 3 a y － 3 a z ＝ 0 ，n SC→＝ 0 ＋ 2 3 a y － 3 a z ＝ 0， 即????? x ＋ 3 y － 3 z ＝ 02 3 y － 3 z ＝ 0， ∴????? x ＝32zy ＝32z. 不妨取 n ＝ (3 ， 3 ， 2) ，設(shè) A 到平面 SBC 的距離為 d ， 則 d ＝| AS→n || n |＝|0 ＋ 0 ＋ 6 a |9 ＋ 3 ＋ 4＝32a . 易 錯 警 示 如圖， 四邊形 AB CD 為正方形， PD ⊥ 平面AB CD ， PD ∥ QA ， QA ＝ AB ＝12PD . ( 1) 證明：平面 PQ C ⊥ 平面 DCQ ； ( 2) 求二面角 Q － BP － C 的余弦值． [ 錯解 ] 如圖，以 D 為坐標(biāo)原點，線段 DA 的長為單位長度，射線 DA 為 x 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 D － xyz . ( 1) 依題意有 Q ( 1,1,0) ， C ( 0,0,1) ， P ( 0,2,0) ． 則 DQ→＝ ( 1,1,0) ， DC→＝ ( 0,0,1) ， PQ→＝ (1 ，－ 1,0) ． 所以 PQ→ DQ→＝ 0 ， PQ→ DC→＝ 0. 即 PQ ⊥ DQ ， PQ ⊥ DC .又 DQ ∩ DC ＝ D ， 故 PQ ⊥ 平面 DCQ . 又 PQ 平面 PQ C ，所以平面 PQ C ⊥ 平面 DCQ . ( 2) 依題意有 B ( 1,0,1) ， CB→＝ ( 1,0,0) ， BP→＝ ( － 1,2 ，－ 1) ． 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 PBC 的法向量， 則????? n CB→＝ 0 ，n BP→＝ 0 ，即????? x ＝ 0 ，－ x ＋ 2 y － z ＝ 0. 令 y ＝ 1 ，則 n ＝ (0,1,2 ) ． 同理，設(shè) m 是平面 PB Q 的法向量，則????? m BP→＝ 0 ，m PQ→＝ 0. 可取 m ＝ (1,1,1 ) ， 所以 c os m ， n ＝155. 故二面角 Q － BP － C 的余弦值為155. [ 錯因分析 ] 利用空間向量求空間角的方法固定，思路簡潔，但在利用平面的法向量求二面角大小時，兩個向量的夾角與二面角相等還是互補是這種解法的難點，也是學(xué)生的易錯易誤點． 如圖平面 BPC ，與平面 BPQ 的法向量分別為 n ＝ ( 0, 1,2) ，m ＝ ( 1,1,1) ，設(shè)二面角 Q － BP － C 的大小為 θ ，則 θ ≠ m ， n ，θ ＝ π － m ， n . [ 正確解答 ] ( 1) 同上 ( 2) 依題意有 B ( 1,0,1) ， CB→＝ ( 1,0,0) ， BP→＝ ( － 1,2 ，－ 1) ． 設(shè) n ＝ ( x ， y ， z ) 是平面 PBC 的法向量， 則????? n CB→＝ 0 ，n BP→＝ 0 ，即????? x ＝ 0 ，－ x ＋ 2 y － z ＝ 0. 因此可取 n ＝ (0 ，－ 1 ，－ 2) ． 設(shè) m 是平面 PBQ 的法向量，則????? m BP→＝ 0 ，m PQ→＝ 0. 可取 m ＝ ( 1,1,1) ，所以 c os 〈 m ， n 〉＝－155. 故二面角 Q － BP － C 的余弦值為－155. [ 誤區(qū)警示 ] 正確判斷法向量的方向，同指向二面角內(nèi)或外則向量夾角與二面角互補，一個指向內(nèi)另一個指向外則相等 . 名 師 點 睛 一種距離 點到平面的距離 求點到平面距離是向量數(shù)量積運算 ( 求投影 ) 的具體應(yīng)用，也是求異面直線之間距離，直線與平面距離和平面與平面距離的基礎(chǔ)． 兩個關(guān)系 主要利用直線的方向向量和平面的法向量解決下列問題： ( 1) 平行????? 直線與直線平行直線與平面平行平面與平面平行 ( 2) 垂直????? 直線與直線垂直直線與平面垂直平面與平面垂直 三角范圍 ( 1) 異面直線所成的角的范圍是 (0 ，π2] ； ( 2) 直線與平面所成角的范圍是 [0 ，π2] ； ( 3) 二面角的范圍是 [0 ， π] ．
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