線性代數(shù)：二000年上半年高教育自學(xué)考試全國統(tǒng)一命題考試-資料下載頁
2025-07-13 18:51本頁面
【導(dǎo)讀】題28分，非選擇題72分，滿分100分?？荚嚂r(shí)間150分種。題目要求的，請(qǐng)將其代碼填在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選或末選均無分。線性無關(guān)的充分必要條件是。矩陣，則n元齊次線性方程組0?Ax存在非零解的充分必要條件是。TA為A的轉(zhuǎn)置，則BAT=。則行列式det的值為.（1，2），（3，4），（4，6）的秩為.是3元非齊次線性方程組bAx?的兩個(gè)解向量，則對(duì)應(yīng)齊次。Ax有一個(gè)非零解?A的全部特征值為。23．設(shè)λ1和λ2是3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的兩個(gè)不同的特征值，T1)31,1,(ξ?的屬于特征值λ1、λ2的特征向量，則實(shí)常數(shù)a=.xxxx的基礎(chǔ)解系與通解。30．已知二次型22545),(yxyxyxf???若能尋角化,求一個(gè)可逆矩陣P及對(duì)角矩陣D,使得。試證明：向量組332123211,,aaaaaa?????????nn階方陣，且B的元素全都是1，E是n階單位位矩陣。
【正文】 意xxx xx 即 ).( 112021是任意常數(shù)kkx???????????????????????? ………… 6分 29． B的特征值為 ,1121 ??? ………… 2分 ………… 9分 .91)d et( 21 ?? ??B ………… 6分 30． f的矩陣為 .2 2 2 5 ???????A………… 1分 A的特征值為λ 1=7，λ 2=3， ………… 2分 對(duì)應(yīng)的特征向量依次可取為 ,) 1 ,1 ( ,) 1 ,1 ( 21 TT ??? ?? ………… 5分 故所求正交矩陣可取為 ??????? 1 1 1 121P………… 6分 31．特征多項(xiàng)式 4 8 43 6 3 3 6 3|λ|??????? AE ………… 1分 )1(2 ?? ?? A的特征值是λ 1=λ 2=0，λ 3=1………… 2分 屬于λ 1=λ 2=0，的線性無關(guān)特征向量可取為 ξ 1（ =（ 2， 1， 0） T ，ξ 2=（ 1， 0， 1） ………… 4分 屬于λ 3=1的特征向量可為ξ 3=（ 3， 3， 4） T， ………… 5分 故 A可相似于對(duì)角陣???????????100D 所求可逆矩陣 P可取為 ,4 1 03 0 13 1 2][ 321???????????? ???P 91)31( 22 ???它使得 P1AP=D…………6 分 四、證明題（本大題共 2題，每小題 5分，共 10分） ：設(shè)有數(shù) 321 , xxx 使 ,0332211 ??? ??? xxx …………1 分 即 0)()()( 331221121 ?????? axxaxxaxx 由 321 , aaa 線性無關(guān)，有 ???????????0 0 0 312121xxxxxx …………1 分 該方程組只有零解 0321 ??? xxx 故 321 , ??? 線性無關(guān)。 …………5 分 證二：因 321 , aaa 線性無關(guān)， 321 , ??? 用 321 , aaa 線性表出的系數(shù)行列式 021 1 1 11 0 00 1 11 1 1?????? 故線性無關(guān)。 （若只證明△≠ 0，不強(qiáng)調(diào) 321 , aaa 線性無關(guān)這一條件就得出 321 , ??? 線性無關(guān)的結(jié)論，扣 2分）。 33．只須證明 ,)11)(( EBnEBE ???? …………1 分 由 ,1111)11)(( 2BnBBnEBnEBE ????????? 及 ,2 nBB ? 得 )11)(( BnEBE ??? Bn nnE ?????? ?????? 1111 E? …………5 分 故命題得證。
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