【正文】 jjjjVx s xy t ystjnst???????????????????? ? ? ????????()D其中 為松弛變量 ， 為剩余變量 。 12( , , ) Tms s s s? 12( , , ) Tpt t t t?第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 83 例 1 設有 4個決策單元， 2個投入指標和 1個產(chǎn)出指標的評價系統(tǒng)，寫出評價第 1個決策單元相對效率的 C2R模型。 1 3 3 4 3 1 3 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 1 2 1 2 3 4 11 2 3 4 21 2 3 4 11 2 3 4 1 2 1m in3 3 43 3 2 3..21, , , 0 。 , , 0DVssstts s t?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ???解得： 00( 1 , 0, 0, 0 ) , 1 ,T????1 2 1 0s s t? ? ?第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 84 2． 系統(tǒng)的 DEA有效性 定義 1 如果 LP問題 (P)的最優(yōu)解 滿足條件 則稱決策單元 j0為弱 DEA有效。 0 0 1TPVy???00,??定義 2 如果 LP問題 (P)的最優(yōu)解 滿足條件 并且 則稱決策單元 j0為 DEA有效。 , 0, 0,??0 0 1TP ?定理 1 （ 1）如果 (D)的最優(yōu)值 VD=1，則 j0為弱 DEA有效；反之亦然。 （ 2）如果 (D)的最優(yōu)值 VD=1， 并且每個最優(yōu)解 都滿足條件 則 j0為 DEA有效；反之亦然。 0 0 0 0, , ,st??000, 0,st??第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 85 3． 系統(tǒng) DEA有效性的判定 為使模型計算簡便易行， 查恩斯和庫伯 引入非阿基米德無窮小量 ε， 得： 00( ) : m ax0, ( 1 )1..TpTTjjTTTTTP V yx y j nxstee???????????? ? ? ? ?????? ????0101( ) : m in ( )..0, 1 , 2, , 。0, 0TTDnjjjnjjjjD V e s e tx s xy t ystjnst??????????? ? ????????????? ? ? ????????610? ?具 體 計 算 時 ，可 取第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 86 定理 2 設 LP問題 (Dε )的最優(yōu)解為 則 （ 1）若 θ0=1，則 j0為弱 DEA有效； （ 2）若 θ0=1， 并且 s 0=0， t 0=0， 則 j0為 DEA有效。 0 0 0 0, , , ,st??0101( ) : m in ( )..0, 1 , 2, , 。0, 0TTDnjjjnjjjjD V e s e tx s xy t ystjnst??????????? ? ????????????? ? ? ????????第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 87 例如，例 1中評價第 4個決策單元相對有效性的 C2R模型為： 1 3 3 4 3 1 3 2 1 2 3 4 1 1 2 1 1 1 2 1 2 11 2 3 4 11 2 3 4 21 2 3 4 11 2 3 4 1 2 1: m in [ 1 ( ) ]3 3 4 43 3 2 2..21, , , 0, , , 0D s s sssstssss??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????????? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ??????第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 88 利用單純形法求解 ， 得到最優(yōu)解： 因為 θ 01，故決策單元 4不是弱 DEA有效，也不是 DEA有效。 0 1 2 1 03 1 3( 0, , , 0 ) , 0,5 5 5T s s t??? ? ? ? ?同理， 可判定決策單元 3為 DEA有效。 第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 89 三、 DEA有效性的經(jīng)濟意義 1． 生產(chǎn)函數(shù) 生產(chǎn)函數(shù) y=f(x)表示理想的生產(chǎn)狀態(tài)，即投入量 x所能獲得的最大產(chǎn)出量 y。 y=f(x) x y A C B “規(guī)模有效 ”， 是指投入量既不偏大，也不過小，是介于規(guī)模收益由遞增到遞減之間的一種狀態(tài)（邊際報酬遞減規(guī)律） “技術有效 ”是指輸出相對輸入而言已達到最大． 第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 90 設 LP問題 (Dε )的最優(yōu)解為 0 0 0 0, , ,st??（ 1）當 θ0=1，且 s 0=0， t 0=0時， j0為 DEA有效。 （ 2）當 θ0=1，但至少有某個 si 00(i=1,…, m)，或至少有某個 tk 00(k=1,…, s)時， j0為弱 DEA有效。 （ 3）當 θ01， j0不是 DEA有效。 0101( ) : m in ( )..0, 1 , 2, , 。0, 0TTDnjjjnjjjjD V e s e tx s xy t ystjnst??????????? ? ????????????? ? ? ????????第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 91 實證研究 —— 企業(yè)技術進步分析 取年份為決策單元，表中前 2個指標是投入指標，后 4個是指標是產(chǎn)出指標。根據(jù)表中數(shù)據(jù)可寫出評價決策單元 1991年相對有效性的 C2R模型： 指標年份 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 RD經(jīng)費 (萬元 ) 11 152 251 130 558 817 898 1128 固定資產(chǎn) 凈值 (萬元 ) 4642 6666 6528 10096 18046 33501 42175 40905 銷售收入 (萬元 ) 7618 19356 45175 58303 71291 80380 84494 114963 新產(chǎn)品 產(chǎn)值率 (%) 10 全員勞動 生產(chǎn)率 (%) 產(chǎn)品開發(fā) 周期 (月 ) 6 6 1 1 1 1 1 第六節(jié) 數(shù)據(jù)包絡分析法 92 min θ106(s1+ s2+ t1+t2+t3+t4) . 11λ 1+152λ 2+251λ 3+130λ 4+558λ 5+817λ 6 +898λ 7+1128λ 8+s1= 11θ 4642λ 1+6666λ 2+6528λ 3+10096λ 4+18046λ 5+33501λ 6 +42175λ 7+40905λ 8+s2= 4642θ 7618λ 1+19356λ 2+45175λ 3+58303λ 4+71291λ 5+80380λ 6 +84494λ 7+114963λ 8t1=7618 1+10λ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 + 7+ 8t2= 1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6 + 7+ 8t3= 6λ 1+6λ 2+λ 3+λ 4+λ 5+λ 6+λ 7+ 8t4=6 λj≥0,j=1,2,…,8 ； si≥0,i=1,2； tk≥0,k=1,2,3,4； θ ≥0 93 在上述模型中，用各年份 2個投入指標分別替換約束條件中第 1﹑第 2個等式中 y的系數(shù)，用 4個產(chǎn)出指標分別替換第 3﹑ 第 4﹑ 第 5﹑ 第 6個等式中右端常數(shù)，則可得到各年份的 C2R模型。 C2R 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 y* 1 1 1 s1* s2* t1* t2* t3* t4* 結(jié)論 有效 非有效 有效 有效 非 有效 非 有效 非有效 非有效 由定理 1，決策單元 4即 9 9 94年同時為技術效率最佳和規(guī)模收益不變，其余年份為非同時技術效率最佳和規(guī)模收益不變。其中 1992年 s1*=59(萬元 )，表示 RD投入有那么多未真正起作用；t1*=1582(萬元 )﹑ t2*=18(%),分別表示銷售收入和新產(chǎn)品產(chǎn)值率有那么多的不足。 94 某快餐企業(yè)擁有 12個分店 ,總經(jīng)理擬對分店業(yè)績進行評估 ,以確定分店員工獎金 ,分店投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)如下 : 分店 利潤 滿意度 衛(wèi)生 工作小時 運營成本 1 92 2 99 3 98 4 87 5 94 6 88 7 90 8 100 9 89 10 89 11 93 12 97 快餐分店相對有效性分析 95 00001 1 2 211 1 21 2 11 1 21 212 1 22 2 12 1 22 213 1 23 2 13 1 23 21 1 2 21 2 1 2m ax00. . 010L j jjjV b ba a b ba a b bs t a a b baa??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??????? ?? ， ， ，仿照上述公式 ,寫出求分店 1效率的 DEA模型 : 1 2 31 2 3 1 21 2 3 1 21 2 3 1 2121 2 1 2 3m ax 92 92 0 99 0.. 97 0 1, , , , 0LVst? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?????? ? ? ? ??? ??????分店 1加權產(chǎn)出 分店 1效率約束 分店 2效率約束 分店 12效率約束 分店 1投入約束 96